2013年江西省高考數(shù)學試卷（理科）

1、2013年江西省高考數(shù)學試卷（理科）一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1（5分）已知集合M=1，2，zi，i為虛數(shù)單位，N=3，4，MN=4，則復數(shù)z=（）A2iB2iC4iD4i2（5分）函數(shù)y=ln（1x）的定義域為（）A（0，1）B0，1）C（0，1D0，13（5分）等比數(shù)列x，3x+3，6x+6，的第四項等于（）A24B0C12D244（5分）總體由編號為01，02，19，20的20個個體組成利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編

2、號為（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A08B07C02D015（5分）（x2）5的展開式中的常數(shù)項為（）A80B80C40D406（5分）若S1=x2dx，S2=dx，S3=exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為（）AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S17（5分）閱讀如下程序框圖，如果輸出i=5，那么在空白矩形框中應(yīng)填入的語句為（）AS=2*i2BS=2*i1CS=2*iDS=2*i+48（5分）如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且ABCD，正方體的六個面所在的

3、平面與直線CE，EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m+n=（）A8B9C10D119（5分）過點（）引直線l與曲線y=相交于A，B兩點，O為坐標原點，當ABO的面積取得最大值時，直線l的斜率等于（）ABCD10（5分）如圖，半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線l1，l2之間，ll1，l與半圓相交于F，G兩點，與三角形ABC兩邊相交于E，D兩點設(shè)弧的長為x（0x），y=EB+BC+CD，若l從l1平行移動到l2，則函數(shù)y=f（x）的圖象大致是（）ABCD二第卷填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分11（5分）函數(shù)y=sin2x+2sin2x最小正周期T為12（5分）設(shè)，為單位

4、向量且、的夾角為，若=+3，=2，則向量在方向上的射影為13（5分）設(shè)函數(shù)f（x）在（0，+）內(nèi)可導，且f（ex）=x+ex，則f（1）=14（5分）拋物線x2=2py（p0）的焦點為F，其準線與雙曲線=1相交于A，B兩點，若ABF為等邊三角形，則p=三第卷選做題：請在下列兩題中任選一題作答，若兩道題都做，按第一題評卷計分本題共5分15（5分）（坐標系與參數(shù)方程選做題）設(shè)曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為16（不等式選做題）在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式|x2|1|1的解集為四第卷解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文

5、字說明、證明過程或演算步驟17（12分）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+（cosAsinA）cosB=0（1）求角B的大??；（2）若a+c=1，求b的取值范圍18（12分）正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：Sn2（1）求數(shù)列an的通項公式an；（2）令b，數(shù)列bn的前n項和為Tn證明：對于任意nN*，都有T19（12分）小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學校合唱團還是參加學校排球隊，游戲規(guī)則為：以0為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如圖）這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X若X=0就參加學校合唱團，否則就參加學校排球隊

6、（1）求小波參加學校合唱團的概率；（2）求X的分布列和數(shù)學期望20（12分）如圖，四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，E為BD的中點，G為PD的中點，DABDCB，EA=EB=AB=1，PA=，連接CE并延長交AD于F（1）求證：AD平面CFG；（2）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值21（13分）如圖，橢圓C：經(jīng)過點P（1，），離心率e=，直線l的方程為x=4（1）求橢圓C的方程；（2）AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦（不經(jīng)過點P），設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3問：是否存在常數(shù)，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，說明理由22（14

7、分）已知函數(shù)f（x）=，a為常數(shù)且a0（1）f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱；（2）若x0滿足f（f（x0）=x0，但f（x0）x0，則x0稱為函數(shù)f（x）的二階周期點，如果f（x）有兩個二階周期點x1，x2，試確定a的取值范圍；（3）對于（2）中的x1，x2，和a，設(shè)x3為函數(shù)f（f（x）的最大值點，A（x1，f（f（x1），B（x2，f（f（x2），C（x3，0），記ABC的面積為S（a），討論S（a）的單調(diào)性2013年江西省高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1（5分）（2013江西）已知

8、集合M=1，2，zi，i為虛數(shù)單位，N=3，4，MN=4，則復數(shù)z=（）A2iB2iC4iD4i【分析】根據(jù)兩集合的交集中的元素為4，得到zi=4，即可求出z的值【解答】解：根據(jù)題意得：zi=4，解得：z=4i故選C2（5分）（2013江西）函數(shù)y=ln（1x）的定義域為（）A（0，1）B0，1）C（0，1D0，1【分析】由函數(shù)的解析式可直接得到不等式組，解出其解集即為所求的定義域，從而選出正確選項【解答】解：由題意，自變量滿足，解得0x1，即函數(shù)y=的定義域為0，1）故選B3（5分）（2013江西）等比數(shù)列x，3x+3，6x+6，的第四項等于（）A24B0C12D24【分析】由題意可得（3x

9、+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比數(shù)列的前三項，從而求得此等比數(shù)列的公比，從而求得第四項【解答】解：由于 x，3x+3，6x+6是等比數(shù)列的前三項，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=3，故此等比數(shù)列的前三項分別為3，6，12，故此等比數(shù)列的公比為2，故第四項為24，故選A4（5分）（2013江西）總體由編號為01，02，19，20的20個個體組成利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）78166572080263140702436997280198320492344935820

10、03623486969387481A08B07C02D01【分析】從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個數(shù)字開始向右讀，依次為65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，其中08，02，14，07，01符合條件，故可得結(jié)論【解答】解：從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個數(shù)字開始向右讀，第一個數(shù)為65，不符合條件，第二個數(shù)為72，不符合條件，第三個數(shù)為08，符合條件，以下符合條件依次為：08，02，14，07，01，故第5個數(shù)為01故選：D5（5分）（2013江西）（x2）5的展開式中的常數(shù)項為（）A80B80

11、C40D40【分析】利用（x）5展開式中的通項公式Tr+1=x2（5r）（2）rx3r，令x的冪指數(shù)為0，求得r的值，即可求得（x）5展開式中的常數(shù)項【解答】解：設(shè)（x）5展開式中的通項為Tr+1，則Tr+1=x2（5r）（2）rx3r=（2）rx105r，令105r=0得r=2，（x）5展開式中的常數(shù)項為（2）2=410=40故選C6（5分）（2013江西）若S1=x2dx，S2=dx，S3=exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為（）AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S1【分析】先利用積分基本定理計算三個定積分，再比較它們的大小即可【解答】解：由于S1=x2dx=|=，S

12、2=dx=lnx|=ln2，S3=exdx=ex|=e2e且ln2e2e，則S2S1S3故選：B7（5分）（2013江西）閱讀如下程序框圖，如果輸出i=5，那么在空白矩形框中應(yīng)填入的語句為（）AS=2*i2BS=2*i1CS=2*iDS=2*i+4【分析】題目給出了輸出的結(jié)果i=5，讓我們分析矩形框中應(yīng)填的語句，根據(jù)判斷框中內(nèi)容，即s10，我們模擬程序執(zhí)行的過程，從而得到答案【解答】解：當空白矩形框中應(yīng)填入的語句為S=2*I時，程序在運行過程中各變量的值如下表示：i S 是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前1 0/第一圈 2 5 是第二圈 3 6 是第三圈 4 9 是第四圈 5 10 否故輸出的i值為：5，符合

13、題意故選C8（5分）（2013江西）如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且ABCD，正方體的六個面所在的平面與直線CE，EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m+n=（）A8B9C10D11【分析】判斷CE與EF與正方體表面的關(guān)系，即可推出正方體的六個面所在的平面與直線CE，EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，求出m+n的值【解答】解：由題意可知直線CE與正方體的上底面平行在正方體的下底面上，與正方體的四個側(cè)面不平行，所以m=4，直線EF與正方體的左右兩個側(cè)面平行，與正方體的上下底面相交，前后側(cè)面相交，所以n=4，所以m+n=8故選A9（5分）（2013江西）過點（）引直線l與曲線y

14、=相交于A，B兩點，O為坐標原點，當ABO的面積取得最大值時，直線l的斜率等于（）ABCD【分析】由題意可知曲線為單位圓在x軸上方部分（含與x軸的交點），由此可得到過C點的直線與曲線相交時k的范圍，設(shè)出直線方程，由點到直線的距離公式求出原點到直線的距離，由勾股定理求出直線被圓所截半弦長，寫出面積后利用配方法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值【解答】解：由y=，得x2+y2=1（y0）所以曲線y=表示單位圓在x軸上方的部分（含與x軸的交點），設(shè)直線l的斜率為k，要保證直線l與曲線有兩個交點，且直線不與x軸重合，則1k0，直線l的方程為y0=，即則原點O到l的距離d=，l被半圓截得的半弦長為則=令，則，當，即

15、時，SABO有最大值為此時由，解得k=故答案為B10（5分）（2013江西）如圖，半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線l1，l2之間，ll1，l與半圓相交于F，G兩點，與三角形ABC兩邊相交于E，D兩點設(shè)弧的長為x（0x），y=EB+BC+CD，若l從l1平行移動到l2，則函數(shù)y=f（x）的圖象大致是（）ABCD【分析】由題意可知：隨著l從l1平行移動到l2，y=EB+BC+CD越來越大，考察幾個特殊的情況，計算出相應(yīng)的函數(shù)值y，結(jié)合考查選項可得答案【解答】解：當x=0時，y=EB+BC+CD=BC=；當x=時，此時y=AB+BC+CA=3=2；當x=時，F(xiàn)OG=，三角形OFG為正三

16、角形，此時AM=OH=，在正AED中，AE=ED=DA=1，y=EB+BC+CD=AB+BC+CA（AE+AD）=321=22如圖又當x=時，圖中y0=+（2）=22故當x=時，對應(yīng)的點（x，y）在圖中紅色連線段的下方，對照選項，D正確故選D二第卷填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分11（5分）（2013江西）函數(shù)y=sin2x+2sin2x最小正周期T為【分析】函數(shù)解析式第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期【解答】解：y=sin2x+2=sin2xcos2x+=2（sin2xcos2

17、x）+=2sin（2x）+，=2，T=故答案為：12（5分）（2013江西）設(shè)，為單位向量且、的夾角為，若=+3，=2，則向量在方向上的射影為【分析】根據(jù)題意求得的值，從而求得的值，再根據(jù)在上的射影為 ，運算求得結(jié)果【解答】解：、為單位向量，且 和 的夾角等于，=11cos=+3，=2，=（+3）（2）=2+6=2+3=5在上的射影為 =，故答案為 13（5分）（2013江西）設(shè)函數(shù)f（x）在（0，+）內(nèi)可導，且f（ex）=x+ex，則f（1）=2【分析】由題設(shè)知，可先用換元法求出f（x）的解析式，再求出它的導數(shù)，從而求出f（1）【解答】解：函數(shù)f（x）在（0，+）內(nèi)可導，且f（ex）=x+e

18、x，令ex=t，則x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，f（x）=+1，故f（1）=1+1=2故答案為：214（5分）（2013江西）拋物線x2=2py（p0）的焦點為F，其準線與雙曲線=1相交于A，B兩點，若ABF為等邊三角形，則p=6【分析】求出拋物線的焦點坐標，準線方程，然后求出拋物線的準線與雙曲線的交點坐標，利用三角形是等邊三角形求出p即可【解答】解：拋物線的焦點坐標為（0，），準線方程為：y=，準線方程與雙曲線聯(lián)立可得：，解得x=，因為ABF為等邊三角形，所以，即p2=3x2，即，解得p=6故答案為：6三第卷選做題：請在下列兩題中任選一題作答，若兩道題都做，按

19、第一題評卷計分本題共5分15（5分）（2013江西）（坐標系與參數(shù)方程選做題）設(shè)曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為cos2sin=0【分析】先求出曲線C的普通方程，再利用x=cos，y=sin代換求得極坐標方程【解答】解：由（t為參數(shù)），得y=x2，令x=cos，y=sin，代入并整理得cos2sin=0即曲線C的極坐標方程是cos2sin=0故答案為：cos2sin=016（2013江西）（不等式選做題）在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式|x2|1|1的解集為0，4【分析】利用絕對值不等式的等價形式，利用絕對值不等式幾何意義求

20、解即可【解答】解：不等式|x2|1|1的解集，就是1|x2|11的解集，也就是0|x2|2的解集，0|x2|2的幾何意義是數(shù)軸上的點到2的距離小于等于2的值，所以不等式的解為：0x4所以不等式的解集為0，4故答案為：0，4四第卷解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（12分）（2013江西）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+（cosAsinA）cosB=0（1）求角B的大?。唬?）若a+c=1，求b的取值范圍【分析】（1）已知等式第一項利用誘導公式化簡，第二項利用單項式乘多項式法則計算，整理后根據(jù)sinA不為0求出tanB的值，

21、由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；（2）由余弦定理列出關(guān)系式，變形后將a+c及cosB的值代入表示出b2，根據(jù)a的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出b2的范圍，即可求出b的范圍【解答】解：（1）由已知得：cos（A+B）+cosAcosBsinAcosB=0，即sinAsinBsinAcosB=0，sinA0，sinBcosB=0，即tanB=，又B為三角形的內(nèi)角，則B=；（2）a+c=1，即c=1a，cosB=，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB，即b2=a2+c2ac=（a+c）23ac=13a（1a）=3（a）2+，0a1，b21，則b118（12分）（20

22、13江西）正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：Sn2（1）求數(shù)列an的通項公式an；（2）令b，數(shù)列bn的前n項和為Tn證明：對于任意nN*，都有T【分析】（I）由Sn2可求sn，然后利用a1=s1，n2時，an=snsn1可求an（II）由b=，利用裂項求和可求Tn，利用放縮法即可證明【解答】解：（I）由Sn2可得，（Sn+1）=0正項數(shù)列an，Sn0Sn=n2+n于是a1=S1=2n2時，an=SnSn1=n2+n（n1）2（n1）=2n，而n=1時也適合an=2n（II）證明：由b=19（12分）（2013江西）小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學校合唱團還是參加學校排球隊，游戲規(guī)則為：以0為起點，再

23、從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如圖）這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X若X=0就參加學校合唱團，否則就參加學校排球隊（1）求小波參加學校合唱團的概率；（2）求X的分布列和數(shù)學期望【分析】（1）先求出從8個點中任意取兩個點為向量的終點的不同取法，而X=0時，即兩向量夾角為直角，求出結(jié)果數(shù)，代入古典概率的求解公式可求（2）先求出兩向量數(shù)量積的所有可能情形及相應(yīng)的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（1）從8個點中任意取兩個點為向量的終點的不同取法有=28種X=0時，兩向量夾角為直角共有8種情形所以小波參加學校合唱團的概率P（X=0）=（2）兩

24、向量數(shù)量積的所有可能情形有2，1，0，1X=2時有2種情形X=1時有8種情形X=1時，有10種情形X的分布列為： X21 01 PEX=20（12分）（2013江西）如圖，四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，E為BD的中點，G為PD的中點，DABDCB，EA=EB=AB=1，PA=，連接CE并延長交AD于F（1）求證：AD平面CFG；（2）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值【分析】（1）利用直角三角形的判定得到BAD=，且ABE=AEB=由DABDCB得到EABECB，從而得到FED=FEA=，所以EFAD且AF=FD，結(jié)合題意得到FG是PAD是的中位線，可得FGPA，根據(jù)PA平面ABC

25、D得FG平面ABCD，得到FGAD，最后根據(jù)線面垂直的判定定理證出AD平面CFG；（2）以點A為原點，AB、AD、PA分別為x軸、y軸、z軸建立如圖直角坐標系，得到A、B、C、D、P的坐標，從而得到、的坐標，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出=（1，）和=（1，2）分別為平面BCP、平面DCP的法向量，利用空間向量的夾角公式算出、夾角的余弦，即可得到平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值【解答】解：（1）在DAB中，E為BD的中點，EA=EB=AB=1，AE=BD，可得BAD=，且ABE=AEB=DABDCB，EABECB，從而得到FED=BEC=AEB=EDA=EAD=，可得EFAD

26、，AF=FD又PAD中，PG=GD，F(xiàn)G是PAD是的中位線，可得FGPAPA平面ABCD，F(xiàn)G平面ABCD，AD平面ABCD，F(xiàn)GAD又EF、FG是平面CFG內(nèi)的相交直線，AD平面CFG；（2）以點A為原點，AB、AD、PA分別為x軸、y軸、z軸建立如圖直角坐標系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（，0），D（0，0），P（0，0，）=（，0），=（，），=（，0）設(shè)平面BCP的法向量=（1，y1，z1），則解得y1=，z1=，可得=（1，），設(shè)平面DCP的法向量=（1，y2，z2），則解得y2=，z2=2，可得=（1，2），cos，=因此平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值等于co

27、s，=21（13分）（2013江西）如圖，橢圓C：經(jīng)過點P（1，），離心率e=，直線l的方程為x=4（1）求橢圓C的方程；（2）AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦（不經(jīng)過點P），設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3問：是否存在常數(shù)，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，說明理由【分析】（1）由題意將點P （1，）代入橢圓的方程，得到，再由離心率為e=，將a，b用c表示出來代入方程，解得c，從而解得a，b，即可得到橢圓的標準方程；（2）方法一：可先設(shè)出直線AB的方程為y=k（x1），代入橢圓的方程并整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=，再求點M的坐標，分別表示出k1，k2，k3比較k1+k2=k3即可求得參數(shù)的值；方法二：設(shè)B（x0，y0）（x01），以之表示出直線FB的方程為，由此方程求得M的坐標，再與橢圓方程聯(lián)立，求得A的坐標，由此表示出k1，k2，k3比較k1+k2=k3即可求得參數(shù)的值【解答】解：（1）橢圓C：經(jīng)過點P （1，），可得由離心率e=得=，即a=2c，則b2=3c2，代入解得c=1，a=2，b=故橢圓的方程為（2）方法一：由題意可設(shè)AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x1）代入橢圓方程并整理得（4k2+3）x28k2x+4k212=0設(shè)A（x1，y1）