數(shù)學建模之層次分析法

1、層次分析法層次分析法是一種解決多目標的復(fù)雜問題的定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。該方法將定量分析與定性分析結(jié)合起來，用決策者的經(jīng)驗判斷各衡量目標能否實現(xiàn)的標準之間的相對重要程度，并合理地給出每個決策方案的每個標準的權(quán)數(shù)，利用權(quán)數(shù)求出各方案的優(yōu)劣次序，比較有效地應(yīng)用于那些難以用定量方法解決的課題。缺點：（1）層次分析法的主觀性太強，模型的搭建，判斷矩陣的輸入都是決策者的主觀判斷，往往會因為決策者的考慮不周、顧此失彼而造成失誤。（2）層次分析法模型的內(nèi)部結(jié)構(gòu)太過理想化，完全分離、彼此獨立的層次結(jié)構(gòu)在實踐中很難做到。（5）層次分析法只能從給定的決策方案中去選擇，而不能給出新的、更優(yōu)的策略。1.模型的

2、應(yīng)用用于解決多目標的復(fù)雜問題的定性與定量相結(jié)合的決策分析。（1）公司選拔人員，（2）旅游地點的選取，（3）產(chǎn)品的購買等，（4）船舶投資決策問題（下載文檔），（5）煤礦安全研究，（6）城市災(zāi)害應(yīng)急能力，（7）油庫安全性評價，（8）交通安全評價等。2.步驟建立層次結(jié)構(gòu)模型 首先明確決策目標，再將各個因素按不同的屬性從上至下搭建出一個有層次的結(jié)構(gòu)模型，模型如下圖所示。目標層：表示解決問題的目的，即層次分析要達到的總目標。通常只有一個總目標。準則層：表示采取某種措施、政策、方案等實現(xiàn)預(yù)定總目標所涉及的中間環(huán)節(jié)。方案層：表示將選用的解決問題的各種措施、政策、方案等。通常有幾個方案可選。注意：（1）任一元

3、素屬于且僅屬于一個層次；任一元素僅受相鄰的上層元素的支配，并不是任一元素與下層元素都有聯(lián)系； （2）雖然對準則層中每層元素數(shù)目沒有明確限制，但通常情況下每層元素數(shù)最好不要超過 9 個。這是因為，心理學研究表明，只有一組事物在 9 個以內(nèi)，普通人對其屬性進行判別時才較為清楚。當同一層次元素數(shù)多于 9 個時，決策者對兩兩重要性判斷可能會出現(xiàn)邏輯錯誤的概率加大，此時可以通過增加層數(shù)，來減少同一層的元素數(shù)。構(gòu)造判斷（成對比較）矩陣以任意一個上一層的元素為準則，對其支配的下層各因素之間進行兩兩比較。得到判斷矩陣，再求出各元素的權(quán)重。重要程度的衡量用Santy的19標度方法給出。即設(shè)各元素C1,C2, ,

4、 Cn對目標O兩兩比較后的重要性，則得到比較矩陣層次單排序及其一致性檢驗對判斷矩陣A，用w表示一非零向量，計算滿足：，即的特征值和特征向量。由得矩陣A的秩為1，所以A僅有一個非零特征值。由A的特征值之和即A的主對角線元素之和為n，得到n是A的唯一非零特征值，A的特征值滿足的關(guān)系為：因為只有判斷矩陣A有完全一致性時，才能滿足。所以我們對判斷矩陣的一致性進行檢驗。用CI作為一致性指標，CI=0，有完全的一致性，CI接近于0，有滿意的一致性，CI越大，不一致程度越嚴重。但僅僅用CI的值作為衡量判斷矩陣A的一致性檢驗標準是不準確的，因此，引進平均隨機一致性指標RI檢驗成對比較陣A是否具有滿意的一致性。

5、用CR作為判斷矩陣的一致性比例，。當時，認為判斷矩陣具有滿意的一致性；當時，認為判斷矩陣不具有基本滿意一致性。若矩陣A不具有滿意的一致性，則需要對判斷矩陣進行修改。即求得特征向量w后，將的值按照第i行第j列的位置進行排序，構(gòu)造新的判斷矩陣和原判斷矩陣對應(yīng)位置相比較，差值的絕對值最大者為要修改的數(shù)據(jù)。 層次總排序及其一致性檢驗上邊已得出一組元素對其上一層中某元素的權(quán)重向量。我們需要從最高層次到最低層次依次計算，若某一層A層m個元素的層次總排序權(quán)重分別為，其下層B層有n個元素，它們相對于的層次單排序權(quán)重為分別是（和沒有關(guān)聯(lián)時，），則得到B層各個元素對決策目標的權(quán)重，即B層各個元素的層次總排序權(quán)重為： 由上一步求得單排序一致性指標，相應(yīng)的平均隨機一致性指標，則B層總排序的隨機一致性比例為 當時，認為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。例題：挑選合適的工作。經(jīng)雙方懇談，已有三個單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生要如何選擇工作？模型的建立我們根據(jù)已有信息建立了一個層次結(jié)