蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件3.7 正余弦定理.ppt

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些三角形度量問題,第7課時(shí) 正弦定理、余弦定理,1對(duì)解斜三角形的考查在高考試題中時(shí)常出現(xiàn)，主要考查正弦定理、余弦定理、運(yùn)用三角公式進(jìn)行恒等變形及運(yùn)算能力以化簡、求值或判斷三角形的形狀為主來考查有關(guān)的定理的應(yīng)用、三角恒等變形、運(yùn)算能力及轉(zhuǎn)化思想 2題目類型有判斷三角形形狀的填空題，求三角形邊角關(guān)系的解答題，三角形中有關(guān)三角變換的解答題，但都以較容易的題目出現(xiàn),【命題預(yù)測(cè)】,1利用正弦定理可將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，應(yīng)注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一特殊關(guān)系的應(yīng)用在ABC中，ABab sin Asin B，但要注意命題成立的前提必須是在三角形中，脫離了三角形這個(gè)前提條件

2、，命題是不成立的 2判斷三角形的形狀，實(shí)質(zhì)是判斷三角形的三邊或三角具備怎樣的關(guān)系由于正弦定理非常好地描述了三邊與三角的數(shù)量關(guān)系，所以，可利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的統(tǒng)一，便于尋找三邊或三角具備的關(guān)系利用正弦 定理判定三角形的形狀常運(yùn)用正弦定理的變形形式，將邊化為角，有時(shí)結(jié)合三角函數(shù)的有關(guān)公式(如誘導(dǎo)公式，和差公式)得出角的大小或等量關(guān)系 3已知三角形三邊或三邊之比，可用余弦定理求出這個(gè)三角形的三個(gè)角使用余弦定理求角時(shí)，一般在判斷三條邊的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于60，最小角大于60可知三角形無解,【應(yīng)試對(duì)策】,ABC中的常用結(jié)論 (1)tan Atan Btan Ctan

3、Atan Btan C； A、B、C成等差數(shù)列的充要條件是B60； ABC是正三角形的充要條件是A、B、C成等差數(shù)列且a、b、c成等比數(shù)列； abABsin Asin B；,【知識(shí)拓展】,在ABC中，給定A、B的正弦或余弦值，則C的正弦或余弦有解(即存在)的充要條件是cosAcosB0.簡證如下：C有解(AB)有解0cos(B)cos Acos Bcos Acos B0.因此判斷C是否有解，只需考慮cos Acos B的符號(hào)即可,(2)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，cos sin . (3)三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊

4、 (4)等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊,1正弦定理、余弦定理及相關(guān)知識(shí),b2c22bccosA,c2a22cacosB,a2b22abcosC,2RsinA,2RsinB,2RsinC,sinAsinBsinC,2.在ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下,1(蘇州市高三教學(xué)調(diào)研考試)在ABC中，A，B，C對(duì)應(yīng)的三邊長為a，b，c，若a2(bc)2bc，則A的大小等于_ 解析：根據(jù)余弦定理得cos A ， A 答案： 2(2010東臺(tái)中學(xué)高三診斷)若ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長分別為a、b、c，向量m(ac，ba)，n(ac，b)，若mn，則C等于_ 答案：60,3在

5、ABC中，如果A60，c4，a2 ， 則此三角形有_個(gè)解 解析：A60，c4，a2 ， 由正弦定理得： ，即 sin C1.又0C180，C90，B30. 因此三角形只有一個(gè)解 答案：一,在ABC中，已知acos Abcos B，則ABC的形狀為_ 解析：由已知acos Abcos B得 ，又由正弦定理，得 所以 ，整理得：sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B. 因?yàn)锳、B為三角形內(nèi)角，所以2A2B或2A2B， 所以AB或AB ，即ABC為等腰三角形或直角三角形 答案：等腰三角形或直角三角形,4,5(江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)在ABC中，a，b，c分別是角A

6、，B，C的對(duì)邊，且a，b，c成等差數(shù)列，sin A，sin B，sin C成等比數(shù)列，則該三角形的形狀是_ 解析：由a，b，c成等差數(shù)列得2bac，由sin A，sin B，sin C成等比數(shù)列得sin2Bsin Asin C，所以由正弦定理得b2ac. ac，所以abc，所以三角形是等邊三角形 答案：等邊三角形,這類題型主要是已知三角形中的某些邊或角，去求另外的邊或角一般地，如果已知兩角和一邊，求其他兩邊和一角或者已知兩邊或其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角問題則考慮用正弦定理；如果已知三邊求三角或者已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角問題則考慮用余弦定理考試中這類題型在填空及解答題中均可

7、能出現(xiàn)，試題難度以低、中檔題為主,【例1】已知ABC中，sin Asin Bsin C ，求最大角 思路點(diǎn)撥：由三個(gè)角的正弦比，得出三邊比，再判斷哪個(gè)角最大， 然后運(yùn)用余弦定理求解 解：由正弦定理，知 2R， abc 不妨設(shè)a 1，b 1，c ，由在三角形中大邊對(duì)大角知， C最大由余弦定理，知cos C ，C120.,變式1：已知ABC中，abc2 1)， 求ABC中的各角的大小 解：設(shè)a2k，b k，c( 1)k(k0)， 利用余弦定理，有cos A A45.同理可得cos B ，B60. C180(AB)75.,這類題型主要是利用正、余弦定理及其變形，把題設(shè)條件中的邊、 角關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角或

8、者邊的簡單關(guān)系式，進(jìn)而進(jìn)行判斷 【例2】在ABC中，如果lg alg clg sin Blg ，且B為銳角，試判斷此三角形的形狀 思路點(diǎn)撥：先進(jìn)行對(duì)數(shù)的運(yùn)算，再將邊化角即可,解：由lg alg clg sin Blg ，得sin B ， 又B為銳角，B45. 同時(shí) ， . sin C2sin A2sin(135C)， 即sin Csin Ccos C， cos C0，所以C90.故此三角形為等腰直角三角形,變式2：在ABC中，已知sin C2sin(BC)cos B，那么ABC的形狀是_ 解析：由sin C2sin(BC)cos B，得sin C2sin Acos B. 再結(jié)合正、余弦定理得：

9、 整理得a2b2，所以ABC一定是等腰三角形也可由sin C2sin Acos B， 可得sin(AB)2sin Acos B，sin(AB)0，從而AB. 答案：等腰三角形,1這類題型同一般三角函數(shù)中三角函數(shù)的求值與證明相類似，但也有著不同之處，如涉及到的關(guān)系式中除角外還可能涉及到邊，因而轉(zhuǎn)化方式有角的轉(zhuǎn)化和邊的轉(zhuǎn)化 2三角形中三角函數(shù)的證明問題主要是圍繞三角形的邊和角的三角函數(shù)展開的，從某種意義上來看，這類問題就是有了目標(biāo)的含邊和角的式子的化簡問題,【例3】在ABC中，證明： 思路點(diǎn)撥：等式左邊有邊也有角，右邊只有邊，故考慮把等式左邊的角轉(zhuǎn)化為邊 證明：左邊 右邊故原命題得證,【例4】 在

10、ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊長已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2acbc，求A的大小及 的值 思路點(diǎn)撥：把已知條件a2c2acbc變形，構(gòu)造余弦定理結(jié)構(gòu)求出A的值，然后再利用正弦定理變形求出 的值,解：(1)a、b、c成等比數(shù)列，b2ac，又a2c2acbc， b2c2a2bc. 在ABC中，由余弦定理得cos A ，A60. (2)在ABC中，由正弦定理sin B ， b2ac，A60，,變式3：(2010北京海淀區(qū)高考模擬題)在ABC中，a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，且AB， 求證：ABC是直角三角形,證

11、明：由已知得：a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB) 利用兩角和、差的三角函數(shù)公式可得2a2cos Asin B2b2sin Acos B. 由正弦定理得asin Bbsin A，acos Abcos B. 又由正弦定理得2Rsin Aa,2Rsin Bb， 2Rsin Acos A2Rsin Bcos B，即sin 2Asin 2B. AB，2A2B，AB .ABC是直角三角形,變式4： 在ABC中，A、B、C所對(duì)的邊的長分別為a，b，c，設(shè)a，b，c滿足條件b2c2bca2和 ，求A和tan B的值 解：b2c2bca2， b2c2a2bc.由余弦定理得cosA

12、又A為三角形一內(nèi)角， A .在ABC中，C(AB) B B.,由已知條件及正弦定理得 tan B .,【規(guī)律方法總結(jié)】,1根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角； (2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換 2用正弦(余弦)定理解三角形問題時(shí)可適當(dāng)應(yīng)用向量數(shù)量積求三角形內(nèi) 角與應(yīng)用向量的模求三角形邊長等 3在判斷三角形形狀或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重 挖掘隱含條件 4注意體會(huì)函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,【高考真題】,【例5】(2009天津卷)在ABC中，BC ，AC3，sin C2sin A. (1)求AB的值；(2)求sin 的值 分析

13、：根據(jù)正弦定理求AB的值，根據(jù)余弦定理求出A的余弦，根據(jù)倍角公式求出2A的正弦值、余弦值，再根據(jù)兩角和、差的正弦公式 求sin 的值,規(guī)范解答：(1)在ABC中，根據(jù)正弦定理， 于是AB BC2BC2 . (2)在ABC中，根據(jù)余弦定理，得cos A 于是sin A 從而sin 2A2sin Acos A ， cos 2Acos2Asin2A . 所以,本題沒有按照常規(guī)出題方式給出三角形中角的大小，而是給出了兩個(gè)角的正弦之間的關(guān)系，根據(jù)正弦定理的特點(diǎn)就可以通過約分的方式將其約掉，達(dá)到解決問題的目的，試題設(shè)計(jì)頗有新意,【命題探究】,【全解密】,三角恒等變換中經(jīng)常用到的角度變換，如：()()，2(

14、)()()()， ， 等， 通過這些角的變換實(shí)現(xiàn)利用已知條件達(dá)到整體求解的目的,【知識(shí)鏈接】,一般地，已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，可以根據(jù)正弦定理的變式abcsin Asin Bsin C，在知道了兩個(gè)角的正弦比值時(shí)也可以使用正弦定理求解三角形，本題就是這種情況；當(dāng)已知三角形三邊時(shí)可以根據(jù)余弦定理求出任意一個(gè)角的余弦值,【方法探究】,正弦定理是一個(gè)連比等式，在使用這個(gè)定理時(shí)不一定要知道其中的三個(gè)量才能求第四個(gè)量，只要知道了其比值或等量關(guān)系就可以通過約分達(dá)到解決問題的目的，在解題中要注意這個(gè)技巧的使用，不要一味地尋找使用正弦定理的具體條件.,【技巧點(diǎn)撥】,1在ABC中，a ，b ，B45，解此三角形 分析：根據(jù)已知條件，此題是已知兩邊和一邊的對(duì)角的題目，要根據(jù)條件先求出A，然后根據(jù)A的值討論解的情況,解：由 ，得sin A ab，AB45，A為銳角或鈍角，A60或A120. 當(dāng)A60時(shí)，C180604575， c 當(dāng)A120時(shí)，C1801204515， c,2已知方程x2(bcos A)xacos B0的兩根之積等于兩根之和，且a，b為ABC的兩邊，A，B為a，b的對(duì)角，試判斷ABC的形