測(cè)度與可測(cè)函數(shù)

1、第一章 實(shí)變函數(shù)初步,第一節(jié) 直線上點(diǎn)集的勒貝格測(cè)度與可測(cè)函數(shù),勒貝格測(cè)度與勒貝格可測(cè)集,可測(cè)函數(shù),測(cè)度：歐氏空間中長(zhǎng)度、面積和體積概念的推廣,可測(cè)函數(shù)列的極限問(wèn)題,一、點(diǎn)集的勒貝格測(cè)度與可測(cè)集,1. 幾個(gè)特殊點(diǎn)集的測(cè)度,設(shè)E為直線R上的有限區(qū)間a,b(或(a,b)或a,b)或(a,b), 則其測(cè)度定義為：m(E)=m(a,b)=b-a.,(2) 設(shè)E為平面上有界閉區(qū)域D, 則其測(cè)度定義為: m(E)=SD,(4) 若E =，則定義m(E)=m()= 0,(3) 設(shè)E為空間上有界閉區(qū)域, 則其測(cè)度定義為:m(E)=V,(6) 若E為一隨機(jī)事件，則定義m(E)=P(E) (古典概率）,(5) 若

2、E=x是單點(diǎn)集，則定義m(E)=0,2.直線上非空有界開(kāi)集與有界閉集的測(cè)度,定義1 設(shè)E R非空點(diǎn)集，a R.,(1) 設(shè) 0, 稱開(kāi)區(qū)間(a , a + )=O(a, )為a 的鄰域。,直線上包含a的任一開(kāi)區(qū)間(, )均可稱為點(diǎn)a的鄰域,(2) 設(shè)aE, 若存在a的一個(gè)鄰域(,),使得(,) E，則稱a是E的內(nèi)點(diǎn)；,定義2 設(shè)E R非空點(diǎn)集. 如果E中的所有點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E是開(kāi)集；,定義3 設(shè)G是直線R上的一個(gè)有界開(kāi)集。如果開(kāi)區(qū)間(, ) 滿足條件:,1) (, )G 2) G, G,則稱(, )為開(kāi)集G 的一個(gè)構(gòu)成區(qū)間,定義4 設(shè)G為直線R上的有界開(kāi)集(即(a,b)G), (ai,bi)

3、(iI)為G的構(gòu)成區(qū)間，則定義 m(G)=(biai) (0m(G)b-a),定義5 設(shè)F(a,b)R為有界閉集，G=(a,b) F, 則定義：,m(F)=(b-a) m(G),注: m(F)0, 且m(F)的值與區(qū)間(a,b)的選取無(wú)關(guān).,定理1（開(kāi)集的構(gòu)造定理）設(shè)GR為有界開(kāi)集.,(1) 對(duì)aG，必有G的一個(gè)構(gòu)成區(qū)間(,)，使得a(,)；,(2) G可以表示為至多可數(shù)個(gè)互不相交的構(gòu)成區(qū)間的并，,即G= (k,k). (其中(k,k) (i,i)=)， (k,k)為G的構(gòu)成區(qū)間.,現(xiàn)在我們可以定義開(kāi)集和閉集的測(cè)度.,定義6（確界）設(shè)AR使非空數(shù)集。 （1）如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)，滿足： 1）xA

4、，有x ； 2） 0, x0 則稱 為A的上確界, 記作：,（2）如果存在一個(gè)實(shí)數(shù) ，滿足： 1） xA ，有x ； （2） 0, x0 + , 則稱 為A的下確界, 記作：,定理2（確界存在公理）任何有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界。,3.直線上一般有界點(diǎn)集的勒貝格（Lebesgue)測(cè)度,3.直線上一般有界點(diǎn)集的勒貝格（Lebesgue)測(cè)度,定義7 設(shè)ER為任一有界集.,稱一切包含E的有界開(kāi)集的測(cè)度的下確界為E的L外測(cè)度，記為m*(E), 即,m*(E)=inf m(G)| G為有界開(kāi)集, EG ,(2) 稱一切包含于E的有界集的測(cè)度的上確界為E的L內(nèi)測(cè)度，記為m(E), 即,m(E)

5、= supm(F)| F為有界閉集, FE,(3) 如果m(E)=m(E), 則稱E的內(nèi)測(cè)度與外測(cè)度的共同值為E的L測(cè)度，記為m(E), 即,這時(shí), 也稱E是勒貝格可測(cè)集(簡(jiǎn)稱L可測(cè)集),m(E)=m*(E)=m(E),注:,1)對(duì)于有界開(kāi)集G, 有m(G)=m*(G),2)對(duì)于有界閉集F, 有m(F)=m(F),3)對(duì)于任一非空有界集E, 有m(E)m*(E) (根據(jù)定義),定理3 設(shè)X=(a,b)是基本集(有界), E, EiX (i=1,2,)均為有界可測(cè)集, 則有 EC=X-E、E1E2、E1E2、E1-E2、Ei、Ei均可測(cè)，且,1) m(E)0, 且E=時(shí), m(E)=0 (非負(fù)性

6、),3) m(E1E2)m(E1)+m(E2) (次可加性),若E1E2, 則 m(E1) m(E2) (單調(diào)性),m(E2E1)=m(E2)-m(E1),4.可測(cè)集的性質(zhì),4) 若E1E2=, 則m(E1E2)=m(E1)+m(E2) (有限可加性),5) 若Ei Ej= (ij, i,j=1,2,), 則m(Ei)=m(Ei),(可列可加性),1) 若E1 E2 Ek, 則E=Ek可測(cè), m(E)=lim m(Ek),定理4 設(shè)X=(a,b)是基本集, Ek是X上的可測(cè)集列。,2) 若E1 E2 Ek, 則E=Ek可測(cè), m(E)=lim m(Ek),定理5 設(shè)ER有界, 則E 可測(cè)存在開(kāi)

7、集G和閉集F,使 FEG, 且m(G-F),證:,“” E可測(cè) m(E)= m*(E)=m(E),“” 0, 開(kāi)集G和閉集F,使FEG, 且m(G-F),0, 開(kāi)集G E 和閉集FE,使, m(E)-m(E)m(G)-m(F), m(E)m(E) (由的任意性）,例1 有限集是有界閉集, 其測(cè)度為零.,例2 任何有界的可數(shù)點(diǎn)集是L可測(cè)集，且其測(cè)度為零.,注: (1) 有理點(diǎn)集合無(wú)力點(diǎn)集都是非開(kāi)非閉集。,證：應(yīng)用“可列可加性”.,（3）0, 1中的無(wú)理點(diǎn)集雖然是不可列集, 但它是L可測(cè)集，且其測(cè)度為1.,證：應(yīng)用“有限可加性”或“閉記的定義”,(2) 0, 1中的有理點(diǎn)集是可列集，因而是L可測(cè)集

8、，且其測(cè)度為零.,5.幾個(gè)值得注意的問(wèn)題,1）關(guān)于無(wú)界集的測(cè)度問(wèn)題,定義4 設(shè)ER為任一無(wú)界點(diǎn)集，如果對(duì)x0, 有界集(-x, x)E可測(cè), 則稱E是可測(cè)的. 并記,注:,1)無(wú)界點(diǎn)集的測(cè)度可能是有限值, 也可能是無(wú)窮大. 例如, 有理數(shù)集Q是無(wú)界的零測(cè)集, E=(0,+)是測(cè)度為+的可測(cè)集.,2)對(duì)于無(wú)界集, 上述定理3的結(jié)論也成立.,2）L可測(cè)集類與波賴爾(Borel)集,定義5 (1) R中所有L可測(cè)集構(gòu)成的集合稱為L(zhǎng)可測(cè)集類.,(2) 對(duì)R中的開(kāi)集和并集進(jìn)行至多可列次的交、并、差運(yùn)算所得到的集合稱為波賴爾(Borel)集. 所有波賴爾(Borel)集都是L可測(cè)集.,注：大多數(shù)集合都是L

9、可測(cè)集，但L不可測(cè)集確實(shí)存在.,二、點(diǎn)集上的勒貝格可測(cè)函數(shù),1.可測(cè)函數(shù)的定義,定義6 設(shè)ER為任一可測(cè)集（有界或無(wú)界）, f(x)為定義在E上的實(shí)值函數(shù).若R, E的子集 E(f )=x|f(x), xE 都是L有限可測(cè)集, 則稱f (x)是E上的L可測(cè)函數(shù),E(f )=x1,x2x3,b E(f )=x4,x5,2. 函數(shù)可測(cè)的充分必要條件,定理4 f(x)在可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)，即E(f )可測(cè), R, E(f)=x|f(x) , xE可測(cè),R, E(f=)=x|f(x)=, xE可測(cè),R, E(f)=x|f(x), xE可測(cè),R, E(f)=x|f(x), xE可測(cè),R, E(f)=x

10、|f(x), xE可測(cè),證:,(1) E(f)=E(f)-E(f)可測(cè) E(f)= E(f+n),(5) E(f=)=E(f )-E(f ),(4) E(f)=E-E(f),(3) E(f)=E-E(f)=f+1/n,(2) E(f)=E(f+1/n), E(f)=E(f1/n),例5 定義在R上連續(xù)函數(shù)都是L可測(cè)函數(shù).,f(x)連續(xù)x0E(f)R, f(x)f(x0) (xx0),O(x0,), 使xO(x0,), 有f(x)，即x E(f) (極限保號(hào)性）,證：x0E(f)f(x0),(只要證明R, 集E(f)是開(kāi)集, 則它一定是可測(cè)集),f(x)是可測(cè)函數(shù),O(x0, )E(f)x0 是

11、E(f)的內(nèi)點(diǎn)， E(f)是開(kāi)集,E(f)是可測(cè)集,例6 區(qū)間0,1上的狄里克來(lái)函數(shù)D(x)是L可測(cè)函數(shù).,證:,當(dāng)1時(shí), E(D)=是可測(cè)集,當(dāng)0時(shí), E(D)=0,1是可測(cè)集. 因此, D(x)是L可測(cè)函數(shù),當(dāng)0)=x| x為0,1中的有理數(shù)是可測(cè)集,例7 定義在零測(cè)集E上的任何函數(shù)f(x)都是L可測(cè)函數(shù).,證: R, E(f)=x|f(x), xEE, f(x)是可測(cè)函數(shù),m(E(f)=0,m(E(f)m(E)=0,E(f)也是零測(cè)集,例8 集E的特征函數(shù)E(x)是R上的可測(cè)函數(shù).,證:,定理6 f(x)、g(x)是E上的可測(cè)函數(shù),kf(x)、f(x)g(x)、f(x)g(x)、f(x)

12、/g(x)(g(x)0)、,及f(x)都E上的可測(cè)函數(shù),當(dāng)1時(shí), E(E)=是可測(cè)集,當(dāng)0時(shí), E(E)=R是可測(cè)集,當(dāng)01時(shí), E(E )=E是可測(cè)集,(x)是L可測(cè)函數(shù),三、函數(shù)列的收斂性問(wèn)題,1 函數(shù)列的處處收斂性與一致收斂性概念,定義7 設(shè)fn(x)是定義在點(diǎn)集上的一個(gè)函數(shù)列，f(x)是定義 在上的一個(gè)函數(shù).,fn(x)在點(diǎn)集E上處處收斂于f(x),(2) fn(x)在點(diǎn)集E上一致收斂于f(x),0, xE, N=N(), 當(dāng)nN時(shí), 有fn(x)-f(x)。,記作 fn(x)f(x) (n),0, xE, N=N(x, ),當(dāng)nN時(shí), 有fn(x)-f(x)。,1) 在處處收斂的定義

13、中, N=N(x, )不但與有關(guān), 而且與x點(diǎn)有關(guān)，即便對(duì)于同一個(gè), 當(dāng)x不同時(shí), 求出的N也不相同.,注:,2) 在一致收斂的定義中, N=N()只與有關(guān), 而與x點(diǎn)位置無(wú)關(guān). 一致收斂的幾何意義如下：,在幾何上表示: 當(dāng)nN時(shí), 曲線列fn(x)的圖形都在曲線 f(x)的帶形鄰域內(nèi).,x(0,1)時(shí), fn(x)=xn0 (n),N既與有關(guān),又與x有關(guān),要使曲線fn(x)=xn上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落到極限函數(shù)f(x)=0的帶形鄰域內(nèi),在x1處,只要 n2即可,而在x2處,則要n10才行,3) fn(x)一致收斂于f(x)fn(x)一處處斂于f(x), 反之不然。例如,在點(diǎn)集E上, 函數(shù)列fn(x)一

14、致收斂于f(x),證:,定理6 (柯西定理), xE, fn(x)是基本列 。,0, xE, N=N(), 當(dāng)m, nN時(shí), 有fm(x)-fn(x),定理7 (連續(xù)性) 設(shè)fn(x)是E上的連續(xù)函數(shù)列. 如果fn(x)在E上一致收斂于f(x),則極限函數(shù)f(x)也在E上連續(xù).,2 函數(shù)列一致收斂的性質(zhì),定理8（可積性）設(shè)fn(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)列. 如果fn(x)在a,b上一致收斂于f(x), 則極限函數(shù)f(x)在E上區(qū)間a,b上可積, 且,推論 設(shè)fn(x)是區(qū)間a,b上的可積函數(shù)列. 如果fn(x)在a,b上一致收斂于f(x), 則極限函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積. 且,3）

15、求極限與求微分（求導(dǎo)）可以交換次序,注: 函數(shù)序列一致收斂時(shí), 有,1）函數(shù)序列的連續(xù)性、可積性都 可以傳遞給極限函數(shù),2）求極限與求積分可以交換次序,3 可測(cè)函數(shù)列的幾乎處處收斂、依測(cè)度收斂及近一致收斂,定義8 設(shè)fn(x)是可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)列，f(x)是定義 在E上的函數(shù). 則,fn(x)在集E上幾乎處處收斂于f(x),定理9 設(shè)fn(x)是可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)列, 且 lim fn(x)=f(x) (a.e.), 則f(x)也是E上的可測(cè)函數(shù).,記作：fn(x)f(x) (a.e.)(n),E0E，m(E0)=0, 且當(dāng)xEE0時(shí), fn(x)f(x) (n),m(xlimfn(x)

16、f(x), xE)=0,0, lim m(Exfn(x)-f(x)=0,fn(x)在集E上依測(cè)度收斂于f(x),0, 0, N, 當(dāng)nN時(shí), 有m(E(fn(x)-f(x),定義9 設(shè)fn(x)是可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)列，f(x)是定義 在E上的可測(cè)函數(shù). 則,定義10 設(shè)fn(x)是可測(cè)集E上的幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列, 如果0, 可測(cè)子集E E, 使m(E-E), 且fn(x)在E 上一致收斂于f(x), 則稱fn(x)在E上近一致收斂于f(x) .,定理10 設(shè)fn(x)是可測(cè)集E上的幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列, f(x)是定義在E上的幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù), 且lim fn(x)=f(x) (a.e.), 則,定理11 (Riesz定理