相似矩陣與方陣的對(duì)角化

1、一、 相似矩陣及其性質(zhì),4.3相似矩陣與方陣的對(duì)角化,相似矩陣有相同的秩。 相似矩陣的行列式相等。 相似矩陣或都可逆或都不可逆。 當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆矩陣也相似。,相似矩陣的性質(zhì)：,矩陣的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系！,4.,證明,推論 若 階方陣A與對(duì)角陣,證明 必要性：,二、 n 階矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件,矩陣 的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置 要相互對(duì)應(yīng),充分性：,說(shuō)明,如果 的特征方程有重根，此時(shí)不一定有 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能 對(duì)角化，但如果能找到 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量， 還是能對(duì)角化（充分而不必要）,例1,特征值-2，1（二重），相應(yīng)特征向量： (-1,1,1)T,

2、 (-2,1,0)T, (0,0,1)T,定理4.6實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù).,證明,（一）、對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì),說(shuō)明：本節(jié)所提到的對(duì)稱(chēng)矩陣，除非特別說(shuō) 明，均指實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,三、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化,于是有,兩式相減，得,定理4.6的意義,證明,于是,定理4.7,定理4.8,如果n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A有m個(gè)不同的特征值 其重?cái)?shù)分別為 則,4.8,根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱(chēng)矩陣化 為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：,（二）、利用正交矩陣將對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的方法,2.,1.,5.,將這n個(gè)兩兩正交的單位特征向量 構(gòu)成正交陣P.,矩陣 的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置 要相互對(duì)應(yīng),解,例 對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，分別求

3、出正交矩陣 ， 使 為對(duì)角陣.,(1)第一步 求 的特征值,解之得基礎(chǔ)解系,解之得基礎(chǔ)解系,解之得基礎(chǔ)解系,第三步 將特征向量正交化,第四步 將特征向量單位化,相似矩陣有相同的秩。 相似矩陣的行列式相等。 相似矩陣或都可逆或都不可逆。 當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆矩陣也相似。,1. 相似矩陣,三、小結(jié),d),性質(zhì)：,2.對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)：,(1)特征值為實(shí)數(shù)； (2)屬于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的 特征向量的個(gè)數(shù)相等； (4)必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣， 且對(duì)角矩陣對(duì)角元素即為特征值,3.利用正交矩陣將對(duì)稱(chēng)陣化為對(duì)角陣的步驟：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3