高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)案例1.2獨(dú)立性檢驗(yàn)1.2.1條件概率與獨(dú)立事件知識(shí)導(dǎo)航素材北師大版選修1_220200925341（通用）

1、1.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)1.2.1 條件概率與獨(dú)立事件自主整理1.已知B發(fā)生的條件下,A發(fā)生的概率,稱為_,記為_.2.一般地,對(duì)兩個(gè)事件A、B,如果P(AB)=P(A)P(B),則稱_.高手筆記1.解答概率問題,首先要區(qū)分是條件概率,還是無條件概率,條件概率的前提條件是:在知道事件A必然發(fā)生的前提下,只需局限在A發(fā)生的范圍內(nèi)考慮問題,在事件A發(fā)生的前提下事件B發(fā)生,等價(jià)于事件A和事件B同時(shí)發(fā)生,即AB發(fā)生,由古典概型知其條件概率為:P(B|A)=,其中n()為一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù),n(A)為事件A所包含的結(jié)果數(shù),n(AB)為AB同時(shí)發(fā)生時(shí)的結(jié)果數(shù).2.如果B、C是兩個(gè)互斥事件,在事件A發(fā)生的

2、前提下,互斥事件B、C有一個(gè)發(fā)生的概率為P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).特殊地.若事件A是一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果就與無條件的概率統(tǒng)一起來.3.區(qū)別事件間的“互斥”與“相互獨(dú)立”概念，兩事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒有影響.4.應(yīng)用公式時(shí)要注意前提條件,只有對(duì)于相互獨(dú)立事件才能用P(AB)=P(A)P(B),而1-P(A)P(B)是表示相互獨(dú)立事件A與B中至少有一個(gè)不發(fā)生的概率,它在求概率計(jì)算中經(jīng)常用到.而在一般情況下,對(duì)于n個(gè)隨機(jī)事件A1,A2,An,有P(A1+A2+An)=1-P().5.如果A、B相互獨(dú)立,則A與

3、,與B,與也相互獨(dú)立,如果A1,A2, ,An相互獨(dú)立,則有P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An).名師解惑如果A、B相互獨(dú)立,證明A與,與B,與也相互獨(dú)立.證明:A、B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B)=,從而P(|A)=1-P(B|A)=1-P(B)=P(B)=,P(A)=P(A)P().A與相互獨(dú)立.同理,與B也相互獨(dú)立.P(B)=P()P(B).又P(B|)=1-P(B|)=1-P(B)=P()=,P()=P()P().與也相互獨(dú)立.講練互動(dòng)【例1】在由12道選擇題和4道填空題組成的考題中,如果不放回地依次抽取2道題.求:(1)第一次抽到填空題的概率;(2)第一次和第二次都

4、抽到填空題的概率;(3)在第一次抽到填空題的前提下,第二次抽到填空題的概率.分析：(1)為無條件古典概型,(2)為相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,(3)為條件概率,可由(1)(2)求出.解：設(shè)第一次抽到填空題為事件A,第二次抽到填空題為事件B,則第一次和第二次都抽到填空題為事件AB.(1)P(A)= =.(2)P(AB)=.(3)P(B|A)=.綠色通道 求概率時(shí)分清是否為條件概率,并弄清事件A、事件B及計(jì)算公式.變式訓(xùn)練1.甲、乙兩人參加普法知識(shí)競賽,共有10個(gè)不同的題目,其中選擇題6個(gè),判斷題4個(gè),甲、乙兩人依次各抽1題,在甲抽到選擇題的前提下,乙抽到判斷題的概率是多少?解:設(shè)甲抽到選擇題為事

5、件A,乙抽到判斷題為事件B,則P(A)=,P(AB)=.則P(B|A)=.答:在甲抽到選擇題的前提下,乙抽到判斷題的概率是.【例2】10張獎(jiǎng)券中有3張有獎(jiǎng),甲、乙兩人從中各抽1張,甲先抽、乙后抽,求:(1)甲中獎(jiǎng)的概率;(2)乙中獎(jiǎng)的概率;(3)在甲未中獎(jiǎng)的情況下,乙中獎(jiǎng)的概率.分析：甲未中獎(jiǎng)與甲中獎(jiǎng)是對(duì)立事件,(3)為條件概率.解：設(shè)甲中獎(jiǎng)為事件A,乙中獎(jiǎng)為事件B.(1)則P(A)=,(2)P(B)=P(AB+B)=P(AB)+P(B),P(AB)=,P(B)=,P(B)= + = =.(3)P()=,P(B)=,P(B|)=.答:甲中獎(jiǎng)的概率為,乙中獎(jiǎng)的概率為,在甲未中獎(jiǎng)的條件下,乙中獎(jiǎng)的

6、概率為.綠色通道 在無任何條件下,甲、乙不論誰先、誰后中獎(jiǎng)概率相同,但在已知甲未中獎(jiǎng)的情況下乙中獎(jiǎng)的概率就變大了.變式訓(xùn)練2.15張獎(jiǎng)券中有5張能中獎(jiǎng),甲、乙、丙三人依次抽1張.解:設(shè)甲中獎(jiǎng)為事件A,乙中獎(jiǎng)為事件B,丙中獎(jiǎng)為事件C,則P(A)=,P(B)=,P(C)=.設(shè)甲、乙都未中獎(jiǎng)為事件D,則P(D)=P()=,P(CD)=,P(C|D)=.在甲、乙都未中獎(jiǎng)的前提下,丙中獎(jiǎng)的概率是.求:(1)甲中獎(jiǎng)的概率;(2)乙中獎(jiǎng)的概率;(3)在甲、乙都未中獎(jiǎng)的前提下,丙中獎(jiǎng)的概率.【例3】甲射擊命中目標(biāo)的概率是,乙命中目標(biāo)的概率是,丙命中目標(biāo)的概率是,現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo),求目標(biāo)被擊中的概率.分析：

7、甲、乙、丙分別射中目標(biāo)是相互獨(dú)立的,利用獨(dú)立事件來求概率,目標(biāo)被擊中是指甲、乙、丙三人至少有一人射中目標(biāo).解：設(shè)甲擊中目標(biāo)為事件A,乙擊中目標(biāo)為事件B,丙擊中目標(biāo)為事件C,目標(biāo)未被擊中為事件,則目標(biāo)被擊中的概率P=1-P()=1-P()P()P()=1-1-P(A)1-P(B)1-P(C)=1-(1)(1)(1)=.答:目標(biāo)被擊中的概率為.綠色通道 已知事件A、事件B、事件C為相互獨(dú)立事件,則A、B、C也為相互獨(dú)立事件,P()=P()P()P().變式訓(xùn)練3.甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊,如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.6.求:(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率;(2)其中恰有1人擊中目標(biāo)的概率;(3)至少

8、有1人擊中目標(biāo)的概率.答案：設(shè)甲擊中目標(biāo)為事件A,乙擊中目標(biāo)為事件B,則P(A)=0.6,P(B)=0.6,P()=0.4,P()=0.4.(1)P(AB)=P(A)P(B)=0.60.6=0.36.(2)P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.60.4+0.40.6=0.48.(3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率為P(AB)+P(A+B)=0.36+0.48=0.84或1-P()=1-P()P()=1-0.40.4=0.84.【例4】有三種產(chǎn)品,合格率分別為0.90,0.95,0.95,各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn),(1)求恰有一件不合格的概率;(2)求至少有兩件不合格的概率.

9、分析：恰有一件不合格分三種情況,可以看成由三個(gè)基本事件構(gòu)成的,三個(gè)事件之間又是相互獨(dú)立的,至少有兩件不合格,正面考慮情況復(fù)雜,可考慮此事件的對(duì)立事件.解：設(shè)三種產(chǎn)品各抽取一件,抽到合格產(chǎn)品的事件分別是A、B和C,P(A)=0.90,P(B)=P(C)=0.95,P()=0.10,P()=P()=0.05.(1)事件A、B、C相互獨(dú)立,恰有一件不合格的概率為P(AB)+P(AC)+P(BC)=P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)+P()P(B)P(C)=20.900.950.05+0.10.950.95=0.176.答:恰有一件產(chǎn)品不合格的概率為0.176.(2)方法一:至少有兩件不合

10、格的概率為P(A)+P(B)+P(C)+P()=0.900.052+20.100.050.95+0.100.052=0.012.答:至少有兩件不合格的概率為0.012.方法二:三件產(chǎn)品都合格的概率是P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.90.952=0.812,由(1),知恰有一件不合格的概率為0.176,至少有兩件不合格的概率為1-P(ABC)+0.176=1-(0.812+0.176)=0.012.答:至少有兩件不合格的概率為0.012.綠色通道 把一個(gè)籠統(tǒng)事件等價(jià)轉(zhuǎn)化后,分解成幾個(gè)具體的相互獨(dú)立的事件是解決問題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練4.某工人看管三臺(tái)設(shè)備,在一天內(nèi)不需要工人維護(hù)的概率,第一臺(tái)為0.9,第二臺(tái)為0.8,第三臺(tái)為0.85.問一天內(nèi):(1)3臺(tái)機(jī)器都要維護(hù)的概率是多少?(2)其中恰有一臺(tái)要維護(hù)的概率是多少?(3)至少有一臺(tái)要維護(hù)的概率是多少?解:用A、B、C分別表示事件第一、第二、第三臺(tái)設(shè)備不需要維護(hù),這三個(gè)事件是相互獨(dú)立的.(1)三臺(tái)機(jī)器都要維護(hù)的概率為P=P()=P()P()P()=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003.(2)恰有一臺(tái)要維護(hù)的概率是P(BC+AC+AB)=P(BC)+