初中數(shù)學(xué)八年級培優(yōu)競賽第14講 從勾股定理談起

1、 第14講 從勾股定理談起到底是什么使我們感到一個解法、一個證明優(yōu)美呢，那就是各個部分間和諧、對稱，恰到好處的平衡。 龐加萊勾股定理揭示了直角三角形三邊這間的關(guān)系，大約在公元前1100多年前，商高已經(jīng)證明了普通定義下的勾股定理，國外把勾股定理稱為“畢達哥拉斯定理”.勾股定理是平面幾何中一個重要定理,其廣泛應(yīng)用體現(xiàn)在,勾股定理是現(xiàn)階段線段計算、證明線段平方關(guān)系的主要方法；運用勾股定理的逆定理，通過計算也是證明直線垂直位置關(guān)系的一種有效手段。直角三角形是一類特殊的三角形，有著豐富的性質(zhì)：兩銳角互余（角的關(guān)系），勾股定理（邊的關(guān)系），30所對的直角邊等于斜邊的一半（邊的關(guān)系），這些性質(zhì)在求線段的長短

2、、證明線段倍分關(guān)系，證明線段的平方關(guān)系等方面有廣泛的應(yīng)用。例題求解【例1】（1）RtABC三邊的長分別是x,x+1和5，則三角形的周長= （第十九屆“希望杯”邀請賽試題）(2).已知RtABC的兩直角邊AC=5，BC=12，D是BC上的一點，當AD是A的平分線時，則CD= （太原市競賽題）思路點撥：對于（1）應(yīng)分類討論；對于（2），能在RtACD中求出CD嗎？從角平分線性質(zhì)入手鏈接一些著名問題都可歸結(jié)為勾股定理證明。1斯坦納定理如圖，若P為ABC內(nèi)任意一點，作PDBC于D，PECA于E，PFAB于F，則AF2+BD2+CE2=AE2+CD2+BF22帕普斯定理（中線公式）如圖，a、b、c是AB

3、C三邊長，ma是ABC的邊BC上的中線,則ma2=（2b2+2c2-a2）【例2】如圖：四邊形ABCD中，DCAB,BC=1，AB=AC=AD=2，則BD的長為（ ）A B. C.3 D.2(呼和浩特市中考試題)思路點撥 通過作垂線構(gòu)造直角三角形【例3】如圖P為ABC邊BC上的一點，且PC=2PB，已知ABC=45，APC=60，求ACB的度數(shù)（天津市競賽題）思路點撥 不可能簡單的由角的關(guān)系推出ACB的度數(shù)，解本例的關(guān)建是由條件構(gòu)造出含30角的直角三角形?！纠?】 已知RtABC中，ACB=90，AC=BC，MCN=45（1）如圖，當M、N在AB上時，求證：MN2=AM2+BN2。（2）如圖，

4、將MCN繞C點旋轉(zhuǎn)，當M在AB的延長線上時，上述結(jié)論是否任然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。（天津市中考題）思路點撥 MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，須轉(zhuǎn)化為直角三角形，可將ACM沿直線CM對折，得DCM，連接DN，只需證DN=BM，DMN=90就可以了，或?qū)CM（或BCM）旋轉(zhuǎn)。有這種培優(yōu)競賽講義一整套 小學(xué)初中的 含答案 最新的 需要的 可以聯(lián)系我 468453607微 信案找我要【例5】一個直角三角形的邊長都是整數(shù)，它的面積和周長數(shù)值相等，這樣的直角三角形是否存在？若存在，確定它三邊的長：若不存在，說明理由。（北京市競賽題）分析：假設(shè)存在

5、符合條件的直角三角形，它的三邊長為abc其中c邊為斜邊，則 ,于是將存性問題的計論轉(zhuǎn)化為求方程組的解【例6】小明遇到這樣一個問題：“如圖1，在邊長為a（a2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當AFQ=BGM=CHN=DEP=45時，求正方形MNPQ的面積”分析時，小明發(fā)現(xiàn)，分別延長QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延長線于 點R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）請回答：（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個正方形（無縫隙不重疊），則這個正方形的邊長為_（2）求正方形MNPQ的面積（3）參考小明思 考問題

6、的方法，解決問題：如圖3，在等邊ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過點D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊RPQ若SRPQ=，則AD的長為_試題分析：(1)四個等腰直角三角形的斜邊長為a，其拼成的正方形的面積為a2；（2）如圖2所示，正方形MNPQ的面積等于四個虛線小等腰直角三角形的面積之和，據(jù)此求出正方形MNPQ的面積；（3）參照小明的鑰匙思路，對問題作同樣的等積變形，即可求解問題.學(xué)力訓(xùn)練基礎(chǔ)夯實1.（1）圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若AC=6，BC=5，將這四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖所示的“數(shù)學(xué)

7、風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是 （河北省中考題）（2）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣，1995年希臘發(fā)行了一枚以勾股圖為背景的郵票，所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗證勾股定理，在如圖所示的勾股圖中，已知ACB=90，BAC=30，AB=4，作PQR使得R=90，點H在邊QR上，點D、E在邊PR上，點G、F在邊PQ上，那么PQR的周長等于 （溫州市中考題） 2. 如圖，四邊形ABCD中，ABDC，B=90，連接AC，DAC=BAC若BC=4cm，AD=5cm，則AB=_cm3如圖，在一張長為8cm、寬為6cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個腰長為5cm的等腰

8、三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余兩個頂點在矩形的邊上），則剪下的等腰三角形的面積是cm24如圖，等腰直角三角形ABC直角邊長為1，以它的斜邊上的高AD為腰作第一個等腰直角三角形ADE：再以所作的第一個等腰直角三角形ADE的斜邊上的高AF為腰作第二個等腰直角三角形AFG：以此類推，這樣所作的第n個等腰直角三角形的腰長為 （齊齊哈爾市中考題）5.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，將ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CD等于（ ）cm。（泰安市中考題）A B C D。6如圖，在凸多邊形ABCD中，B=D=90C=120，AB=3，B

9、C=，則AD=（ ）A B3 C2 D3（四川省競賽題）7. 在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點，分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角形，剩下的部分是如圖所示的直角梯形，其中三邊長分別為2、4、3，則原直角三角形紙片的斜邊長是（）A10 B C D8如圖所示的方格紙中，點A、B、C都在方格紙的交點，則ACB=（ ）A120 B135 C150 D165（“希望杯”邀請賽）9如圖，ACB=90，AD是CAB的平分線，BC=4，CD=，求AC的長。（河南省競賽題）10在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長邊，當a2+b2=c2時，ABC是直角三角形；當a2+b2c2時，利用

10、代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究ABC的形狀（按角分類）（1）當ABC三邊分別為6、8、9時，ABC為_三角形；當ABC三邊分別為6、8、11時，ABC為_三角形（2）猜想，當a2+b2_c2時，ABC為銳角三角形；當a2+b2_c2時，ABC為鈍角三角形（3）判斷當a=2，b=4時，ABC的形狀，并求出對應(yīng)的c的取值范圍11如圖，在在RtABC中，A=90，D為斜邊BC的中點，DEDF，求證：。能力拓展12在四邊形ABCD中，ABC=CDA=90，AD=DC=5，AB=7，BC=1，BD的長為 13.如圖，在ABC中，AB=AC=5，P是BC邊上除B、C點外的任意一點，則AP2+PBP

11、C= . （第十九屆“希望杯”邀請賽試題）14.兩張大小相同的紙片，第張都分成七個大小相同的矩形，放置如圖所示，重合的頂點記為A，點C在另一張紙的分隔線上，若BC=，則AB的長為 （2011年北京市競賽題）15.如圖，在等腰RtABC中AB=AC=5 P是ABC內(nèi)一點，且PA=，PC=5，則PB= （全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）16.在銳ABC中，已知某兩邊a=1,b=3,那么第三邊的變化范圍是（ ）A.2C4 B.2C3 C. 2C D.C(祖沖之杯邀請賽試題)17.若將三條高線分別為x，y，z的三角形記為（x，y，z）則在以下四個三角形（6，8，10），（8，15，17），（12，15，20）（2

12、0，21，29）中直角三角形的個數(shù)為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 （“希望杯”邀請賽試題）18.ABC的內(nèi)角A和B都是銳角，CD是高，若=，則ABC是（ ）A.直角三角形 B等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形（“希望杯”邀請賽試題）19. 在平面直角坐標系中有兩點A（-1，2），B（3，2），C是坐標軸上的一點，若ABC是直角三角形，則滿足條件的點C有（）A3個B4個C5個D6個20.如圖，在四邊形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=CD，求證：BD2=AB2+BC2。 （北京市競賽題）21.如圖：在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，設(shè)AC=b，BC=a，AB=CD=h.求證：(1)；（2）；（3）以為邊的三角形是直角三角形。22如圖，設(shè)P是凸四邊形ABCD內(nèi)的一點，過P分別作AB、BC、CD、DA的垂線；垂足分別為E、F、G、H.已工AH=3,DG=5,CF=6,FB=4,且BE-AE=1,求四邊形ABCD的周長.（上海市競賽題）綜合創(chuàng)新233+4=5的聯(lián)想3、4、5是最簡單的勾股數(shù),這表明三邊為連續(xù)整數(shù)的直角三角形存在,并且只有一個.問：【為什么?】由此,研究邊