數(shù)學(xué)史概論復(fù)習(xí)題及參考答案[1]

1、,數(shù)學(xué)史概論總復(fù)習(xí),主講:, wkw-,tel考試題型,一、填空題（每空1分，共30分） 二、簡答題（每小題5分，共50分） 三、簡述20世紀(jì)十例現(xiàn)代數(shù)學(xué)成果的內(nèi)容 （10分） 四、談學(xué)習(xí)的心得體會(huì)（10分）,第0章 數(shù)學(xué)史人類文明的重要篇章,一、數(shù)學(xué)史研究哪些內(nèi)容？（z) 二、歷史上關(guān)于數(shù)學(xué)概念的定義有哪些？ 三、數(shù)學(xué)史通常采用哪些線索進(jìn)行分期 。 四、本書對(duì)數(shù)學(xué)史如何分期？,一、數(shù)學(xué)史研究哪些內(nèi)容？p1 答：數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)和一般文化的聯(lián)系。,二、歷史上關(guān)于數(shù)學(xué)概念的定義有哪些？p58 答： 1、公元前4世

2、紀(jì)的希臘哲學(xué)家亞里士多德將數(shù)學(xué)定義為“數(shù)學(xué)是量的科學(xué)”。 2、16世紀(jì)英國哲學(xué)家培根(15611626)將數(shù)學(xué)分為“純粹數(shù)學(xué)” 與“混合數(shù)學(xué)”。 3、在17世紀(jì)，笛卡兒(15961650) 認(rèn)為：“凡是以研究順序(order)和度量(measure)為目的的科學(xué)都與數(shù)學(xué)有關(guān)”。,4、19世紀(jì)恩格斯這樣來論述數(shù)學(xué)：“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系”。根據(jù)恩格斯的論述，數(shù)學(xué)可以定義為：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)?！?5、19世紀(jì)晚期，集合論的創(chuàng)始人康托爾(18451918)曾經(jīng)提出： “數(shù)學(xué)是絕對(duì)自由發(fā)展的學(xué)科，它只服從明顯的思維，就是說它的概念必須擺脫自相矛盾，并

3、且必須通過定義而確定地、有秩序地與先前已經(jīng)建立和存在的概念相聯(lián)系”。,6、20世紀(jì)50年代，前蘇聯(lián)一批有影響的數(shù)學(xué)家試圖修正前面提到的恩格斯的定義來概括現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的特征：“現(xiàn)代數(shù)學(xué)就是各種量之間的可能的，一般說是各種變化著的量的關(guān)系和相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)”。 7、從20世紀(jì)80年代開始，又出現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)的定義作符合時(shí)代的修正的新嘗試。主要是一批美國學(xué)者，將數(shù)學(xué)簡單地定義為關(guān)于“模式” 的科學(xué)：“【數(shù)學(xué)】這個(gè)領(lǐng)域已被稱作模式的科學(xué)，其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學(xué)本身的抽象世界中所觀察到的結(jié)構(gòu)和對(duì)稱性” 。,三、數(shù)學(xué)史通常采用哪些線索進(jìn)行分期？p9 答：一般可以按照如下線索： (1)按時(shí)代順序； (2

4、)按數(shù)學(xué)對(duì)象、方法等本身的質(zhì)變過程； (3)按數(shù)學(xué)發(fā)展的社會(huì)背景。,四、本書對(duì)數(shù)學(xué)史如何分期？p9 答：1、數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展(公元前6世紀(jì)前) 2、初等數(shù)學(xué)時(shí)期(公元前6世紀(jì)一16世紀(jì)) (1)古代希臘數(shù)學(xué)(公元前6世紀(jì)6世紀(jì)) (2)中世紀(jì)東方數(shù)學(xué)(3世紀(jì)一15世紀(jì)) (3)歐洲文藝復(fù)興時(shí)期(15世紀(jì)一16世紀(jì)) 3、近代數(shù)學(xué)時(shí)期(變量數(shù)學(xué)，17世紀(jì)18世紀(jì)),4、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期(1820年一現(xiàn)在) (1)現(xiàn)代數(shù)學(xué)醞釀時(shí)期(1820一1870) (2)現(xiàn)代數(shù)學(xué)形成時(shí)期(18701940) (3)現(xiàn)代數(shù)學(xué)繁榮時(shí)期(當(dāng)代數(shù)學(xué)時(shí)期,1950現(xiàn)在),第一章 數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,一、 世界上早期常

5、見有幾種古老文明記數(shù)系統(tǒng)，它們分別是什么數(shù)字，采用多少進(jìn)制數(shù)系？ 二、 “河谷文明”指的是什么？ 三、 關(guān)于古埃及數(shù)學(xué)的知識(shí)主要依據(jù)哪兩部紙草書？紙草書中問題絕大部分都是實(shí)用性質(zhì)，但有個(gè)別例外，請(qǐng)舉例。 四、 美索不大米亞人的記數(shù)制遠(yuǎn)勝埃及象形數(shù)字之處主要表現(xiàn)在哪些方面？,一、 世界上早期常見有幾種古老文明記數(shù)系統(tǒng)，它們分別是什么數(shù)字，采用多少進(jìn)制數(shù)系？p13 答：1古埃及的象形數(shù)字（公元前3400年左右）：十進(jìn)制數(shù)系 2巴比倫楔（xie）形數(shù)字（公元前2400年左右）：六十進(jìn)制數(shù)系 3中國甲骨文數(shù)字（公元前1600年左右）：十進(jìn)制數(shù)系 4希臘阿提卡數(shù)字（公元前500年左右）：十進(jìn)制數(shù)系,5中

6、國籌算數(shù)碼數(shù)字（公元前500年左右）：十進(jìn)制數(shù)系 6印度婆羅門數(shù)字（公元前300年左右）：十進(jìn)制數(shù)系 7瑪雅數(shù)字（？）：二十進(jìn)制數(shù)系,二、 “河谷文明”指的是什么？p16 答：歷史學(xué)家往往把興起于埃及。美索不大米亞、中國和印度等地域的古代文明稱為“河谷文明”。,三、 關(guān)于古埃及數(shù)學(xué)的知識(shí)主要依據(jù)哪兩部紙草書？p17,紙草書中問題絕大部分都是實(shí)用性質(zhì)，但有個(gè)別例外，請(qǐng)舉例。p23 答：古埃及數(shù)學(xué)的知識(shí)主要依據(jù)萊茵德紙草書和莫斯科紙草書兩部紙草書。 例如：萊茵德紙草書第79題：“7座房，49只貓，343只老鼠，2401棵麥穗，16807赫卡特。,四、 美索不大米亞人的記數(shù)制遠(yuǎn)勝埃及象形數(shù)字之處主要

7、表現(xiàn)在哪些方面？p23-25 答：1、六十進(jìn)制為主德楔形文記數(shù)系統(tǒng)， 2、巧妙地將位值原理應(yīng)用到整數(shù)以外的分?jǐn)?shù)。 3、計(jì)算程序化 4、數(shù)表計(jì)算,第二章 古代希臘數(shù)學(xué),一、希臘數(shù)學(xué)一般是指什么時(shí)期，活動(dòng)于什么地方的數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的數(shù)學(xué)？ 二、什么使泰勒斯獲得了第一位數(shù)學(xué)家和論證幾何學(xué)鼻祖的美名？ 三、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為宇宙萬物皆依賴于整數(shù)的信條由于什么發(fā)現(xiàn)而受到動(dòng)搖？這個(gè)“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”是由于什么人提出的新比例理論而暫時(shí)消除，這個(gè)新比例理論當(dāng)今的語言可怎么敘述？,四、希臘數(shù)學(xué)學(xué)派主要有哪些學(xué)派? 五、古希臘三大著名幾何問題是什么？(z) 六、亞里士多德物理學(xué)中記載芝諾提出的四個(gè)著名的悖論是什么？

8、七、希臘數(shù)學(xué)的“黃金時(shí)代”指的是什么時(shí)間?這時(shí)期希臘數(shù)學(xué)的中心從雅典移到何處，此處出現(xiàn)了哪三大數(shù)學(xué)家？ 八、幾何原本共分多少卷，包括有多少條公理，多少條公設(shè)，多少個(gè)定義和多少條命題？ 九、阿基米德數(shù)學(xué)研究的最大功績是什么？ 十、阿波羅尼奧斯最重要的數(shù)學(xué)成就是什么？,一、希臘數(shù)學(xué)一般是指什么時(shí)期，活動(dòng)于什么地方的數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的數(shù)學(xué)？p32 答：希臘數(shù)學(xué)一般指從公元前600年至公元600年間，活動(dòng)于希臘半島、愛琴海區(qū)域、馬其頓與色雷斯地區(qū)、意大利半島、小亞細(xì)亞以及非州北部的數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造的數(shù)學(xué)。,二、什么使泰勒斯獲得了第一位數(shù)學(xué)家和論證幾何學(xué)鼻祖的美名？p33 答：關(guān)于泰勒斯并沒有確鑿的傳記資料留傳下

9、來。但是以下命題記載卻流傳至今，使泰勒斯獲得了第一位數(shù)學(xué)家和論證幾何學(xué)鼻祖的美名。泰勒斯曾證明了下列四條定理： 1。圓的直徑將圓分為兩個(gè)相等的部分； 2。等腰三角形兩底角相等； 3。兩相交直線形成的對(duì)頂角相等； 4。如果一三角形有兩角、一邊分別與另一三角形的對(duì)應(yīng)角、邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等。 傳說泰勒斯還證明了現(xiàn)稱“泰勒斯定理”的命題：半圓上的圓周角是直角。,三、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為宇宙萬物皆依賴于整數(shù)的信條由于什么發(fā)現(xiàn)而受到動(dòng)搖？這個(gè)“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”是由于什么人提出的新比例理論而暫時(shí)消除，p38 這個(gè)新比例理論當(dāng)今的語言可怎么敘述？p48 答：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為宇宙萬物皆依賴于整數(shù)的信條

10、由于不可公度量的發(fā)現(xiàn)而受到動(dòng)搖, 這個(gè)“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”是大約一個(gè)世紀(jì)以后，由于畢達(dá)哥拉撕學(xué)派成員阿契塔斯的學(xué)生歐多克斯提出的新比例理論而暫時(shí)消除。,四、希臘數(shù)學(xué)學(xué)派主要有哪些學(xué)派?p39 答：希臘數(shù)學(xué)也隨之走向繁榮，學(xué)派林立，主要有： 1、伊利亞學(xué)派； 2、詭辯學(xué)派； 3、雅典學(xué)院(柏拉圖學(xué)派)； 4、亞里士多德學(xué)派；,五、 古希臘三大著名幾何問題是什么？p40 (z) 答：（1）化圓為方，即作一個(gè)給定的圓面積相等的正方形。 （2）倍方立體，即求作一立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍。 （3）三等分角，即分任意角為三等分 。,六、亞里士多德物理學(xué)中記載芝諾提出的四個(gè)著名的悖論是什么？p43

11、 答：芝諾四個(gè)著名悖論： 1、兩分法 2、阿基里斯 3、飛箭 4、運(yùn)動(dòng)場,七、 希臘數(shù)學(xué)的“黃金時(shí)代”指的是什么時(shí)間?這時(shí)期希臘數(shù)學(xué)的中心從雅典移到何處，此處出現(xiàn)了哪三大數(shù)學(xué)家？p45 答：從公元前338年希臘諸邦被馬其頓控制，至公元前30年羅馬消滅最后一個(gè)希臘化國家托勒密王國的三百余年，史稱希臘數(shù)學(xué)的“黃金時(shí)代“。 這時(shí)期希臘數(shù)學(xué)的中心從雅典移到亞歷山大城； 此處出現(xiàn)了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數(shù)學(xué)家，標(biāo)志著古代希臘數(shù)學(xué)的顛峰,八、 幾何原本共分多少卷，包括有多少條公理，多少條公設(shè)，多少個(gè)定義和多少條命題？p46 答：幾何原本共分13卷，包括有5條公理，5條公設(shè)，119定義和465

12、條命題？,九、 阿基米德數(shù)學(xué)研究的最大功績是什么？p5253 答：阿基米德數(shù)學(xué)研究的最大功績是集中探討與面積與體積計(jì)算相關(guān)的問題。 主要著述： （1）圓的度量 （2）拋物線求積 （3）論螺線 （4）論球和圓柱,（5）論劈錐曲面和旋轉(zhuǎn)橢球 （6）引理集 （7）處理力學(xué)問題的方法 （8）論平面圖形的平衡或其重心 （9）論浮體 （10）沙粒計(jì)數(shù) （11）牛群問題,十、 阿波羅尼奧斯最重要的數(shù)學(xué)成就是什么？p58 答：阿波羅尼奧斯最重要的數(shù)學(xué)成就是創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線理論。,第三章 中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué),一、中國數(shù)學(xué)史上何時(shí)何人何種方法最先完成勾股定理證明？ 二、九章算術(shù)中各章名稱是什么?這些章節(jié)中談

13、論算術(shù)、代數(shù)、幾何方面的內(nèi)容為哪些章節(jié)？ 三、劉徽的數(shù)學(xué)成就中最突出是什么？ 四、賈憲增乘開方法能否適用于開任意高次方? 五、為什么說一次同余組求解的剩余定理常常被稱為“中國剩余定理”？,一、中國數(shù)學(xué)史上何時(shí)何人何種方法最先完成勾股定理證明？p70 答：公元3世紀(jì)三國時(shí)期的趙爽在注周髀算經(jīng)，作“勾股圓方圖“，其中的”弦圖“，相當(dāng)于運(yùn)用面積的出入相補(bǔ)證明了勾股定理。,二、九章算術(shù)中各章名稱是什么?這些章節(jié)中談?wù)撍阈g(shù)、代數(shù)、幾何方面的內(nèi)容為哪些章節(jié)？p71-78 答 ：九章算術(shù)采用問題集的形式，全書246個(gè)問題，分成九章，依次為：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股，其中所包含的

14、數(shù)學(xué)成就是豐富和多方面的。 算術(shù)方面：方田、粟米、衰分、均輸、盈不足 代數(shù)方面：方程 幾何方面：方田、商功、勾股,三、 劉徽的數(shù)學(xué)成就中最突出是什么？p78 答：劉徽的數(shù)學(xué)成就中最突出是 “割圓術(shù)”和“體積理論”,四、 賈憲增乘開方法能否適用于開任意高次方?p93 答：賈憲增乘開方法，是一個(gè)非常有效的和高度機(jī)械化的算法，可適用于開任意高次方 。,五、為什么說一次同余組求解的剩余定理常常被稱為“中國剩余定理”？p96 答：秦九韶（約公元12021261）的“大衍求一術(shù)”是完全正確且十分嚴(yán)密的，但本人沒有給出證明，到18、19世紀(jì)，歐拉（1743）和高斯（1801）分別對(duì)一次同余組進(jìn)行了詳細(xì)研究，

15、重新獨(dú)立地獲得與秦九韶“大衍求一術(shù)”相同的定理，并對(duì)模數(shù)兩兩互素的情形作出了嚴(yán)格證明。1876年德國人馬蒂生首先指出秦九韶的算法與高斯算法是一致的，因此關(guān)于一次同余組求解的剩余定理常常被稱為“中國剩余定理”。,第四章 印度與阿拉伯的數(shù)學(xué),一、印度數(shù)學(xué)的發(fā)展可劃分為3個(gè)重要時(shí)期，這3個(gè)重要時(shí)期是指什么時(shí)期？ 二、用圓圈符號(hào)“o”表示零，可以說是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明，印度人起初用什么表示零，直到最后發(fā)展為圈號(hào)。 三、“巴克沙利手稿”中涉及到哪些的數(shù)學(xué)內(nèi)容? 四、“阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)“是否單指阿拉伯國家的數(shù)學(xué)？ 五、第一次給出一元二次方程的一般代數(shù)解法是來至何人著的著作?,一、印度數(shù)學(xué)的發(fā)展可劃分為3個(gè)重要時(shí)

16、期，這3個(gè)重要時(shí)期是指什么時(shí)期？ 答; 印度數(shù)學(xué)的發(fā)展可以劃分為三個(gè)重要時(shí)期，首先是雅利安人入侵以前的達(dá)羅毗（pi）荼人時(shí)期（約公元前3000前1400），史稱河谷文化；隨后是吠（fei）陀（tuo）（約公元前10世紀(jì)前3世紀(jì)）；其次是悉檀（tan）多時(shí)期（5世紀(jì)12世紀(jì)）.,二、 用圓圈符號(hào)“o”表示零，可以說是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明，印度人起初用什么表示零，直到最后發(fā)展為圈號(hào)。 答：點(diǎn)號(hào) ，直到最后發(fā)展為圈號(hào)。 1.“0”表示空位； 2. “0”表示“無”； 3.數(shù)域的一個(gè)基本元素，可以運(yùn)算。,三、 “巴克沙利手稿”中涉及到哪些的數(shù)學(xué)內(nèi)容?p107 答：“巴克沙利手稿”中涉及到分?jǐn)?shù)，平方根、數(shù)

17、列、收支與利潤計(jì)算、比例算法、級(jí)數(shù)求和、代數(shù)方程等，其代數(shù)方程包括一次方程、聯(lián)立方程組、二次方程。特別值得注意的是手稿中使用了一些數(shù)學(xué)符號(hào)如：減號(hào)、零號(hào)“0”。,四、 “阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)“是否單指阿拉伯國家的數(shù)學(xué)？p113 答：“阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)“并非單指阿拉伯國家的數(shù)學(xué)，而是指815世紀(jì)阿拉伯帝國統(tǒng)治下整個(gè)中亞和西亞地區(qū)的數(shù)學(xué)，包括希臘人、波斯人、猶太人和基督徒等所寫的阿拉伯文及波斯文等數(shù)學(xué)著作。,五、 第一次給出一元二次方程的一般代數(shù)解法是來自何人著的著作?p114 答：第一次給出一元二次方程的一般代數(shù)解法是來自中世紀(jì)對(duì)歐洲數(shù)學(xué)影響最大的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米（約783850）的代數(shù)學(xué)。,第五章 近代數(shù)

18、學(xué)的興起,一、卡爾丹在1545年出版的著作大法中公布了形如x3+mx2=n(m,n0)的三次方程的解法是從何人那里傳授來的？在大法中卡爾丹對(duì)三次方程又進(jìn)一步作了哪些工作？ 二、數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)化首先應(yīng)歸功于哪位數(shù)學(xué)家，對(duì)這位數(shù)學(xué)使用的代數(shù)符號(hào)的改進(jìn)工作是由何人完成的？ 三、球面三角與平面三角何者先出現(xiàn)？ 四、對(duì)數(shù)是何人首先發(fā)明？它的產(chǎn)生主要是由于什么的需要？ 五、笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有幾個(gè)傳說，請(qǐng)?jiān)囀銎渲械娜我庖?一、卡爾丹在1545年出版的著作大法中公布了形如x3+mx2=n(m,n0)的三次方程的解法是從何人那里傳授來的？在大法中卡爾丹對(duì)三次方程又進(jìn)一步作了哪些工作？p126 答：卡爾丹在

19、1545年出版的著作大法中公布了形如x3+mx2=n(m,n0)的三次方程的解法是從塔塔利亞（14991557）那里傳授來的。 在大法中卡爾丹給出了一般三次方程的解法，而且補(bǔ)充了幾何證明；書中還把其學(xué)生費(fèi)拉里（15221565）的一般四次方程的解法寫進(jìn)大法中。,三、 球面三角與平面三角何者先出現(xiàn)？p131 答：球面三角先于平面三角出現(xiàn),四、對(duì)數(shù)是何人首先發(fā)明？它的產(chǎn)生主要是由于什么的需要？p136 答 ：蘇格蘭貴族數(shù)學(xué)家納皮爾正是在球面天文學(xué)的三角研究中首先發(fā)明對(duì)數(shù)方法的。對(duì)數(shù)的產(chǎn)生主要是由于天文和航海計(jì)算的強(qiáng)烈需要。,五、 笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有幾個(gè)傳說，請(qǐng)?jiān)囀銎渲械娜我庖粋€(gè)。p142

20、答：笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有兩個(gè)傳說。第一個(gè)傳說“晨思”時(shí)，看見一只天花板的蒼蠅，想確定其路線；另一個(gè)傳說是1619年冬天的三個(gè)連慣的三個(gè)夢。,第六章 微積分的創(chuàng)立,一、微積分與積分學(xué)的起源何者在先，何者在后？ 二、微積分醞釀階段最有代表性的工作有哪幾項(xiàng)？ (z) 三、牛頓走上創(chuàng)立微積分之路受哪兩部著作的影響最深？ 四、牛頓1666年寫了流數(shù)簡論之后，始終不渝努力改進(jìn)，完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成三篇微積分論文，這三篇論文的名稱是什么？為什么其中第三篇是牛頓最成熟的微積分著述？ 五、 為什么說在微積分的創(chuàng)立上牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽(yù)？,一、微積分與積分學(xué)的起源何者在先，何者在后？p145

21、 答：積分學(xué)的起源在先，微積分的起源比積分學(xué)的起源要晚的多。,二、 微積分醞釀階段最有代表性的工作有哪幾項(xiàng)？p146154 (z) 答： （一）開普勒與旋轉(zhuǎn)體體積， （二）卡瓦列里不可分量原理， （三）笛卡爾“圓法” （四）費(fèi)馬求極大值與極小值的方法， （五）巴羅“微分三角形”， （六）沃利斯“無窮算術(shù)”,三、 牛頓走上創(chuàng)立微積分之路受哪兩部著作的影響最深？p155 答：就數(shù)學(xué)思想的形成而言，笛卡兒的幾何學(xué)和沃利斯的無窮算術(shù)對(duì)他的影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上創(chuàng)立微積分之路。,四、 牛頓1666年寫了流數(shù)簡論之后，始終不渝努力改進(jìn)，完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成三篇微積分論文，這三篇論文

22、的名稱是什么？p158為什么其中第三篇是牛頓最成熟的微積分著述？p160 答：牛頓1666年寫了流數(shù)簡論之后，始終不渝努力改進(jìn)，完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成三篇微積分論文，這三篇論文的名稱是： 1、運(yùn)用無窮多項(xiàng)方程的分析，簡稱分析學(xué)（1669） 2、流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)，簡稱流數(shù)法(1671) 3、曲線求積分簡稱求積術(shù)（1691）,五、為什么說在微積分的創(chuàng)立上牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽(yù)？p174 答：牛頓和萊布尼茨都是他們時(shí)代的巨人，就微積分的創(chuàng)立而言，盡管在背景、方法和形式上存在差異、各有特色，但兩者的功績是相當(dāng)?shù)?，他們都使微積分成為能普遍適用的算法，同時(shí)又都將面積、體積及相當(dāng)?shù)膯栴}歸結(jié)為反切

23、線（微分）運(yùn)算。應(yīng)該說，微積分能成為獨(dú)立的科學(xué)并給整個(gè)自然科學(xué)帶來革命性的影響，主要是靠了牛頓與萊布尼茲的工作，在科學(xué)上，重大的真理往往在條件成熟的一定時(shí)期的探索者相互獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)，微積分地出來，情形也是如此。所以說在微積分的創(chuàng)立上牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽(yù)。,第七章 分析時(shí)代,一、18世紀(jì)微積分發(fā)展包括哪幾個(gè)主要方面？(z) 二、簡述18世紀(jì)常微分方程的發(fā)展過程。 三、簡述18世紀(jì)微分幾何的形成過程。 四、簡述哥德巴赫猜想與華林問題。,一、 18世紀(jì)微積分發(fā)展包括哪幾個(gè)主要方面？p176187 (z) 答： （一）積分技術(shù)與橢圓積分， （二）微積分向多元函數(shù)的推廣， （三）無窮級(jí)數(shù)理論， （四

24、）函數(shù)概念的深化， （五）微積分嚴(yán)格化的嘗試。,二、 簡述18世紀(jì)常微分方程的發(fā)展過程。p188 答：1、常微分方程是伴隨著微積分一起發(fā)展起來的，從17世紀(jì)末開始，擺的運(yùn)動(dòng)、彈性理論以及天體力學(xué)等實(shí)際問題的研究引出了一系列常微分方程， 2、數(shù)學(xué)家們起初是采取特殊的技巧來對(duì)付特殊的方程，但逐漸開始尋找?guī)毡樾缘姆椒?，如：萊布尼茲1691年分離變量法，1696年雅各布伯努利的“伯努利方程”；歐拉和克萊洛的“積分因子法” 3、歐拉1743年關(guān)于n階常系數(shù)線性齊次方程的完整解法。 4、18世紀(jì)常微分方程求解的最高成就是拉格朗日17741775年間用參數(shù)變易法解出了一般n階變系數(shù)非齊次常微分方程。,三、

25、 簡述18世紀(jì)微分幾何的形成過程。p196 答：1、1731年十八歲的法國青年數(shù)學(xué)家克萊洛發(fā)表關(guān)于雙重曲率曲線的研究，開創(chuàng)了空間曲線理論，是建立微分幾何的的重要一步； 2、歐拉是微分幾何的重要奠基人。他早在1736年就引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)概念； 3、18世紀(jì)微分幾何的發(fā)展由于蒙日的工作而臻于高峰，1795年發(fā)表的關(guān)于分析的幾何應(yīng)用的活頁論文是第一步系統(tǒng)的微分幾何著述。,第八章 代數(shù)學(xué)的新生,一、 數(shù)學(xué)家阿貝爾通過證明什么樣的結(jié)論解決了五次和高于五次的一般方程的求解問題？ 二、 布爾的邏輯代數(shù)思想集中在他的哪兩本書中。 三、算術(shù)研究的作者是誰，發(fā)表的年份是何時(shí)？它的發(fā)表有何意義。,二、 布爾

26、的邏輯代數(shù)思想集中在他的哪兩本書中。p219 答：布爾(英國數(shù)學(xué)家，18151864)的邏輯代數(shù)思想集中在他的1847年發(fā)表的邏輯的數(shù)學(xué)分支和1854年出版的思維規(guī)律研究。,三、算術(shù)研究的作者是誰，發(fā)表的年份是何時(shí)？它的發(fā)表有何意義。p221 答 ：算術(shù)研究是德國數(shù)學(xué)家高斯在1801年發(fā)表的。在19世紀(jì)以前，數(shù)論只是一系列孤立的結(jié)果，算術(shù)研究發(fā)表后數(shù)論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支得到了系統(tǒng)的發(fā)展。算術(shù)研究中有三個(gè)主要思想：同余理論，復(fù)整數(shù)理論和型的理論。,第九章 幾何學(xué)的變革,一、 非歐幾何三位發(fā)明人（高斯、波約、羅巴切夫斯基）中哪位是最早、最系統(tǒng)地發(fā)表自己關(guān)于非歐幾何的研究成果？ 二、 最先理

27、解非歐幾何全部意義的數(shù)學(xué)家是誰？在歐幾里得空間中給出非歐幾何的直觀模型的數(shù)學(xué)家有哪幾位？ 三、在射影幾何的發(fā)展過程中，龐斯列有哪些創(chuàng)舉？,一、 非歐幾何三位發(fā)明人（高斯、波約、羅巴切夫斯基）中哪位是最早、最系統(tǒng)地發(fā)表自己關(guān)于非歐幾何的研究成果？p230 答：羅巴切夫斯基,二、 最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學(xué)家是誰？在歐幾里得空間中給出非歐幾何的直觀模型的數(shù)學(xué)家有哪幾位？p235236 答：最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學(xué)家是黎曼 在歐幾里得空間中給出非歐幾何的直觀模型的數(shù)學(xué)家有：意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米、德國數(shù)學(xué)家克萊因和法國數(shù)學(xué)家龐加萊。,三、 在射影幾何的發(fā)展過程中，龐斯列有哪些創(chuàng)舉？p239

28、240 答：龐斯列（法國數(shù)學(xué)家，17881867）1822年出版的論圖形的射影性質(zhì)，帶來了這門學(xué)科歷史上的黃金時(shí)期。龐斯列有探討一般問題：圖形在射影和截影下保持不變的性質(zhì)；選擇并發(fā)展了對(duì)偶與調(diào)和點(diǎn)列理論；采用中心投影而不是平行投影及兩個(gè)基本原理連續(xù)性原理和對(duì)偶原理的創(chuàng)舉。,第十章 分析的嚴(yán)格化,一、柯西在分析基礎(chǔ)工作方面做了哪些工作？ 二、魏爾斯特拉斯在1861年舉出一個(gè)什么例子來說明存在處處連續(xù)但卻處處不可微的函數(shù)？ 三、 魏爾斯特拉斯關(guān)于分析嚴(yán)格化的突出表現(xiàn)是創(chuàng)造了一套什么語言？ 四、集合論的建立是由哪些問題研究而導(dǎo)致的？ 五、19世紀(jì)分析的擴(kuò)展表現(xiàn)在哪些方面？（z),一、 柯西在分析基礎(chǔ)

29、工作方面做了哪些工作？p247 答：柯西（法國數(shù)學(xué)家，17891851）在分析基礎(chǔ)工作方面，他寫出了一系列著作，其中最有代表性的是分析教程（1821）和無窮小計(jì)算教程概論（1823），它們以嚴(yán)格化為目標(biāo)，對(duì)微積分的基本概念，如變量、函數(shù)、極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、收斂等等給出了明確的定義，并在此基礎(chǔ)上重建和拓展了微積分的重要事實(shí)與定理。,三、 魏爾斯特拉斯關(guān)于分析嚴(yán)格化的突出表現(xiàn)是創(chuàng)造了一套什么語言？p253 答：魏爾斯特拉斯關(guān)于分析嚴(yán)格化的突出表現(xiàn)是創(chuàng)造了一套語言。,四、 集合論的建立是由哪些問題研究而導(dǎo)致的？p255 答：在分析的嚴(yán)格化過程中，一些基本概念如極限、實(shí)數(shù)、級(jí)數(shù)等的研究都涉及到

30、由無窮多個(gè)元素組成的集合，特別是在對(duì)那些不連續(xù)函數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，需要對(duì)使函數(shù)不連續(xù)或使收斂問題變得很困難的點(diǎn)集進(jìn)行研究，這樣就導(dǎo)致了集合論的建立。,五、 19世紀(jì)分析的擴(kuò)展表現(xiàn)在哪些方面？p258263 (z) 答：1、復(fù)分析的建立 2、解析數(shù)論的形成 3、數(shù)學(xué)物理方程與微分方程,第十一章 20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀（i）純粹數(shù)學(xué)的主要趨勢,一、 與19世紀(jì)相比，20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展表現(xiàn)出哪些主要的特征與趨勢？(z) 二、 1900年德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作演說中提出23個(gè)數(shù)學(xué)問題，至今這23個(gè)問題解決狀況如何？ 三、 集合論觀點(diǎn)的滲透和公理化方法的運(yùn)用導(dǎo)致20世紀(jì)上半葉哪四大數(shù)學(xué)抽象

31、分支的崛興？ 四、簡述實(shí)變函數(shù)論的建立。,五、“泛函”這個(gè)名稱是由誰最先采用的？為什么說泛函分析的建立體現(xiàn)了20世紀(jì)在集合論影響下空間和函數(shù)這兩個(gè)基本概念的進(jìn)一步變革？ 六、環(huán)中的理想論的作者是誰? 七、拓?fù)鋵W(xué)研究什么內(nèi)容?“拓?fù)鋵W(xué)”這一術(shù)語是由何人首先引用的? 八、簡述概率論起源以及公理化后概率論取得哪些突破？ 九、舉例說明20世紀(jì)下半葉不同分支領(lǐng)域的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法互相融合導(dǎo)致重大發(fā)現(xiàn)的事實(shí)。 十、試述羅素關(guān)于集合的悖論。 十一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué)派是什么?(z) 十二、現(xiàn)代數(shù)理邏輯的四大分支是什么？(z),一、 與19世紀(jì)相比，20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展表現(xiàn)出哪些主要的特征與趨勢？p271

32、答：1、更高的抽象性 2、更強(qiáng)的統(tǒng)一性 3、更深入的基礎(chǔ)探討,二、 1900年德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作演說中提出23個(gè)數(shù)學(xué)問題，至今這23個(gè)問題解決狀況如何？p272274 答：太長，略，詳見教材。,三、 集合論觀點(diǎn)的滲透和公理化方法的運(yùn)用導(dǎo)致20世紀(jì)上半葉哪四大數(shù)學(xué)抽象分支的崛興？p276 答：集合論觀點(diǎn)的滲透和公理化方法的運(yùn)用導(dǎo)致20世紀(jì)上半葉實(shí)變函數(shù)論、范函分析、拓?fù)鋵W(xué)和抽象代數(shù)四大數(shù)學(xué)抽象分支的崛興 。,四、 簡述實(shí)變函數(shù)論的建立。p276278 答：1、法國數(shù)學(xué)家勒貝格1902年發(fā)表的積分，長度與面積中利用以集合論為基礎(chǔ)的“測度”概念而建立勒所謂“勒貝格積分”， 2

33、、在勒貝格積分的基礎(chǔ)上進(jìn)一步推廣導(dǎo)數(shù)等其他微積分基本概念，并重建微積分基本定理（微分運(yùn)算與積分運(yùn)算的互逆性）等微積分的基本事實(shí)，從而形成了一門新的數(shù)學(xué)分支實(shí)變函數(shù)論,五、“泛函”這個(gè)名稱是由誰最先采用的？(p279)為什么說泛函分析的建立體現(xiàn)了20世紀(jì)在集合論影響下空間和函數(shù)這兩個(gè)基本概念的進(jìn)一步變革？p279-280答：“泛函”這個(gè)名稱是由法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)馬最先采用的.因?yàn)椤翱臻g”現(xiàn)在被理解為某類元素的集合，這些元素按習(xí)慣被稱作“點(diǎn)”，它們之間受到某種關(guān)系的約束，這些關(guān)系被稱之為空間的結(jié)構(gòu)，簡言之，“空間”僅僅是具有某種結(jié)構(gòu)的集合，而“函數(shù)”的概念則推廣為兩空間之間的元素（映射）關(guān)系。所以說泛

34、函分析的建立體現(xiàn)了20世紀(jì)在集合論影響下空間和函數(shù)這兩個(gè)基本概念的進(jìn)一步變革,六、 環(huán)中的理想論的作者是誰?p282 答：環(huán)中的理想論的作者是諾特（18821935）。,七、 拓?fù)鋵W(xué)研究什么內(nèi)容?“拓?fù)鋵W(xué)”這一術(shù)語是由何人首先引用的?p285 答：拓?fù)鋵W(xué)研究幾何圖形的連續(xù)性質(zhì)，即在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)（允許拉伸、扭曲，但不能割斷和粘合）。 “拓?fù)鋵W(xué)”這一術(shù)語是由高斯的學(xué)生李斯廷1847年首先引用的。,八、 簡述概率論起源以及公理化后概率論取得哪些突破？p287、p291 答：概率論起源于博弈問題。p287 公理化后概率論取得如下突破：p291 1、 使隨機(jī)過程的研究獲得了新的起點(diǎn)， 2、

35、隨機(jī)過程是“鞅”，鞅論使隨機(jī)過程的研究進(jìn)一步抽象化， 1942年開始，日本數(shù)學(xué)家伊藤清引進(jìn)隨機(jī)積分與隨機(jī)微分方程，不僅開辟了隨機(jī)過程研究的新道路，而且為一門意義深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)新分支隨機(jī)分析的創(chuàng)立與發(fā)展奠定了基礎(chǔ) 。,九、 舉例說明20世紀(jì)下半葉不同分支領(lǐng)域的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法互相融合導(dǎo)致重大發(fā)現(xiàn)的事實(shí)。p292-297 答：1.微分拓?fù)渑c代數(shù)拓?fù)?2整體微分幾何 3代數(shù)幾何 4多復(fù)變函數(shù)論 5動(dòng)力系統(tǒng) 6偏微分方程與泛函分析 7隨機(jī)分析,十、 試述羅素關(guān)于集合的悖論。p298 答：以m表示是其自身成員的集合的幾何，n表示不是其自身成員的集合的集合。然后問：集合n是否為它自身的成員？如果n是它自身的

36、成員，則n屬于m而不屬于n，也就是說n不是它自身的成員；另一方面，如果n不是它自身的成員，則n屬于n而不屬于m，也就是說n是它自身的成員。無論出現(xiàn)哪一種情況，都將導(dǎo)出矛盾的結(jié)論。,十一、 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué)派是什么?p300 (z) 答：1。以羅素為代表的邏輯主義 2以布勞威爾為代表的直覺主義 3以希爾伯特為代表的形式主義,十二、 現(xiàn)代數(shù)理邏輯的四大分支是什么？p303 (z) 答：1。公理化集合論 2證明論 3模型論 4遞歸論,第十二章 20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀（ii）空前發(fā)展的應(yīng)用數(shù)學(xué),一、 應(yīng)用數(shù)學(xué)新時(shí)代具有哪幾個(gè)方面特點(diǎn)？ 二、 數(shù)學(xué)向其他科學(xué)滲透表現(xiàn)在哪些方面？ 三、 簡述數(shù)理統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)、控

37、制論發(fā)展過程。 四、 簡述電子計(jì)算機(jī)的誕生。 五、計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)的影響表現(xiàn)在哪些方面？ (z),一、 應(yīng)用數(shù)學(xué)新時(shí)代具有哪幾個(gè)方面特點(diǎn)？p307309 答：1、數(shù)學(xué)的應(yīng)用突破了傳統(tǒng)的范圍而向人類幾乎所有的知識(shí)領(lǐng)域滲透， 2、純粹數(shù)學(xué)幾乎所有的分支都獲得了應(yīng)用，其中最抽象的一些分支也參與了滲透， 3、現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用變得越來越直接， 4、 現(xiàn)代數(shù)學(xué)在向外滲透的過程中，產(chǎn)生了一些相對(duì)獨(dú)立的應(yīng)用學(xué)科如：數(shù)理統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)、控制論等等。,二、 數(shù)學(xué)向其他科學(xué)滲透表現(xiàn)在哪些方面？p309 答：1、數(shù)學(xué)物理 2、生物數(shù)學(xué) 3、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué),三、 簡述數(shù)理統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)、控制論發(fā)展過程。p317324 答：

38、略 四、 簡述電子計(jì)算機(jī)的誕生。p325 答：略,五、 計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)的影響表現(xiàn)在哪些方面？p330 (z) 答：1、計(jì)算數(shù)學(xué)的興旺 2、純粹數(shù)學(xué)研究與計(jì)算機(jī) 3、計(jì)算機(jī)科學(xué)中的數(shù)學(xué),第十三章 20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀（iii）現(xiàn)代數(shù)學(xué)成果十例,一、 簡述20世紀(jì)十例現(xiàn)代數(shù)學(xué)成果的內(nèi)容。 (z) 二、 龐加萊猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想的內(nèi)容是什么?,一 簡述20世紀(jì)十例現(xiàn)代數(shù)學(xué)成果的內(nèi)容。z 答：1哥德爾不完全性定理p339 2高斯博內(nèi)公式的推廣p341 3米爾諾怪球p343 4阿蒂亞辛格指標(biāo)定理p344 5孤立子與非線性偏微分方程p345 6四色問題p347 7分形與混沌p349 8有限單群分類p3

39、53 9費(fèi)馬大定理的證明p355 10若干著名未決猜想的進(jìn)展359,第十四章 數(shù)學(xué)與社會(huì),一、 為什么說數(shù)學(xué)的發(fā)展與社會(huì)的進(jìn)化之間聯(lián)系是雙向的？(z) 二、 數(shù)學(xué)如何促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步？ 三、 18501899年間創(chuàng)辦，至今仍在發(fā)行的主要數(shù)學(xué)期刊有哪些？ 四、 中國數(shù)學(xué)會(huì)是何年建立的？ 五、 試述各屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)召開年份與地點(diǎn)。 六、 兩項(xiàng)影響最大的國際數(shù)學(xué)獎(jiǎng)勵(lì)是什么獎(jiǎng)？中國數(shù)學(xué)家何人、何年、在何領(lǐng)域取得其中的那個(gè)獎(jiǎng)？,一、 為什么說數(shù)學(xué)的發(fā)展與社會(huì)的進(jìn)化之間聯(lián)系是雙向的？p363 (z) 答：一方面，數(shù)學(xué)的發(fā)展依賴于社會(huì)環(huán)境，受著社會(huì)經(jīng)濟(jì)、政治和文化等諸多因素的影響； 另一方面，數(shù)學(xué)的發(fā)展又反過

40、來對(duì)人類社會(huì)的進(jìn)步起推動(dòng)作用，包括對(duì)人類物質(zhì)文明和精神文明兩大方面的影響。,二、 數(shù)學(xué)如何促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步？p363364 答：數(shù)學(xué)的發(fā)展對(duì)人類社會(huì)的進(jìn)步起推動(dòng)作用，包括對(duì)人類物質(zhì)文明和精神文明兩大方面的影響。數(shù)學(xué)對(duì)人類物質(zhì)文明的影響，最突出的是反映在與能從根本上改變?nèi)祟愇镔|(zhì)生活方式的產(chǎn)業(yè)革命的關(guān)系上。人類歷史上先后共有三次重大的產(chǎn)業(yè)革命，其主體技術(shù)都與數(shù)學(xué)的新理論、新方法的應(yīng)用有直接或間接的關(guān)聯(lián)；數(shù)學(xué)對(duì)于人類精神文明的影響同樣也很深刻，數(shù)學(xué)本就是一種精神，一種探索精神，這種精神的兩個(gè)要素，即對(duì)理性（真理）與完美的追求，千百年來對(duì)人們的思維方式、教育方式以及世界觀、藝術(shù)觀等的影響是不容否認(rèn)的，數(shù)學(xué)往往成為解放思想的決定性武器。,三、 18501899年間創(chuàng)辦，至今仍在發(fā)行的主要數(shù)學(xué)期刊有哪些？p372 答：純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)年報(bào)（1850，意大利） 數(shù)學(xué)匯刊（1865，俄國） 數(shù)學(xué)年刊（1868，德國） 美國數(shù)學(xué)雜志（1878，美國） 數(shù)學(xué)年報(bào)（1882，瑞典） 數(shù)學(xué)年刊（1884，美國） 美國數(shù)學(xué)月刊（1894，美國）。,四、 中國數(shù)學(xué)會(huì)是建立何年建立的？p376 答：1935年中國數(shù)學(xué)會(huì)建立的。 五、 試述各屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)召