高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件理.ppt

1、理數(shù) 課標(biāo)版,第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和,1.等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義: (i)文字語(yǔ)言:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù).,教材研讀,(ii)符號(hào)語(yǔ)言:=q(nN*,q為非零常數(shù)). (2)等比中項(xiàng):如果a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).即:G是a與b的等比中項(xiàng)a,G,b成等比數(shù)列G2=ab.,2.等比數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式:an=a1qn-1. (2)前n項(xiàng)和公式:Sn=,3.等比數(shù)列的性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣:an=amqn-m(m,nN*). (2)對(duì)任意的正整數(shù)m,n,p,q,若m+n=p+q,則aman=apaq.特別 地,若m+n

2、=2p,則aman=.,(3)若公比不為-1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,即(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n). (4)數(shù)列an是等比數(shù)列,則數(shù)列pan(p0,p是常數(shù))也是等比數(shù) 列. (5)在等比數(shù)列an中,等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,為等比數(shù)列(kN*),公比為qk.,1.已知an是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則公比q=() A.-B.-2C.2D. 答案D由通項(xiàng)公式及已知得a1q=2,a1q4=,由得q3=,解得 q=.故選D.,2.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=a2+1

3、0a1,a5=9,則a1=() A.B.-C.D.- 答案C由已知條件及S3=a1+a2+a3得a3=9a1,設(shè)數(shù)列an的公比為q,則 q2=9,所以a5=9=a1q4=81a1,得a1=,故選C.,3.(2015課標(biāo),4,5分)已知等比數(shù)列an滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=() A.21B.42C.63D.84 答案B設(shè)an的公比為q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q4=7,解得q2=2(負(fù)值舍去).a3+a5+a7=a1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=212=42.,4.(2015安徽,14,5分)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列

4、,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和等于. 答案2n-1 解析由已知得,a1a4=a2a3=8,又a1+a4=9,解得或又?jǐn)?shù)列 an是遞增的等比數(shù)列,a1a4,a1=1,a4=8,從而q3=8,即q=2,則前n 項(xiàng)和Sn=2n-1.,5.已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=4n+a,則a=. 答案-1 解析當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=4+a,當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=(4n+a)-(4n-1+a)=4n-4n-1=34n-1. 又該數(shù)列為等比數(shù)列, 4+a=340,即a=-1.,考點(diǎn)一等比數(shù)列的基本運(yùn)算,考點(diǎn)突破,典例1已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a3=,a2+a4

5、=,則= () A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1 答案D 解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q, ,由可得=2, q=,代入解得a1=2, an=2=,Sn=4, =2n-1,故選D.,方法技巧 解決等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的常用思想方法 (1)方程的思想:等比數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過(guò)列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問(wèn)題可迎刃而解. (2)分類討論的思想:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論,當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=na1;當(dāng)q1時(shí),數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=.,1-1(2016河南洛陽(yáng)統(tǒng)考)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a1+8a

6、4=0,則=() A.-B.C.D.,答案C在等比數(shù)列an中, 因?yàn)閍1+8a4=0,所以q=-, 所以=.,1-2設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構(gòu)成等差數(shù)列,則an=. 答案2n-1 解析由已知得: 解得a2=2.設(shè)數(shù)列an的公比為q, 由a2=2,可得a1=,a3=2q. 又S3=7,所以+2+2q=7,即2q2-5q+2=0,解得q1=2,q2=. 由題意得q1,所以q=2,所以a1=1. 故數(shù)列an的通項(xiàng)an=2n-1.,考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明 典例2(2016課標(biāo)全國(guó),17,12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=1

7、+an,其中0. (1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式; (2)若S5=,求. 解析(1)由題意得a1=S1=1+a1, 故1,a1=,a10.(2分) 由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an, 即an+1(-1)=an. 由a10,0得an0, 所以=.,因此an是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列, 于是an=.(6分) (2)由(1)得Sn=1-. 由S5=得1-=, 即=. 解得=-1.(12分),方法技巧 1.等比數(shù)列的識(shí)別依據(jù) (1)若數(shù)列an,bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則an(0),an bn,仍然是等比數(shù)列. (2)an=cqn(c,q均是不為0的常數(shù),

8、nN*)an是等比數(shù)列. (3)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=kqn-k(k為常數(shù)且k0,q0,1)an是等比數(shù)列.,2.證明等比數(shù)列的兩種基本方法 (1)定義法:證明=q(an0,nN*,q為非零常數(shù)). (2)等比中項(xiàng)法:證明=anan+2(an0,nN*).,2-1成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15,并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列bn中的b3、b4、b5. (1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式; (2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,求證:數(shù)列是等比數(shù)列. 解析(1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a-d,a,a+d. 依題意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5. 所以bn中的b3,b4,b5依

9、次為7-d,10,18+d. 依題意,有(7-d)(18+d)=100, 解得d=2或d=-13(舍去). 故bn的第3項(xiàng)為5,公比為2, 由b3=b122,即5=b122,解得b1=. 所以bn是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為bn=2n-1=52n-3. (2)證明:數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn=52n-2-,即Sn+=52n-2. 所以S1+=,=2. 因此是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.,典例3(1)(2016湖南師大附中月考)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an滿足a6-+a8=0,數(shù)列bn是等比數(shù)列,且b7=a7,則b2b8b11=() A.1B.2C.4D.8 (2)已知an為各項(xiàng)都

10、是正數(shù)的等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,且S10=10,S30=70,那么S40=() A.150B.-200 C.150或-200D.400或-50 答案(1)D(2)A 解析(1)由等差數(shù)列的性質(zhì),得a6+a8=2a7. 結(jié)合a6-+a8=0,可得a7=2, 所以b7=a7=2.,由等比數(shù)列的性質(zhì)得b2b8b11=b2b7b12=23=8. (2)依題意,S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比數(shù)列, 因此(S20-S10)2=S10(S30-S20), 即(S20-10)2=10(70-S20), 故S20=-20或S20=30. 又S200, 因此S20=30,S20-

11、S10=20, 所以S40-S30=S10=80, S40=S30+(S40-S30)=70+80=150.,易錯(cuò)警示 (1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí),要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是“若m+n=p+q(m、n、p、qN*),則aman=apaq”,巧用性質(zhì)可以減少運(yùn)算量,提高解題速度. (2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí),要注意性質(zhì)中使結(jié)論成立的前提條件.此外,解題時(shí)還要注意對(duì)設(shè)而不求思想的運(yùn)用. 3-1已知x,y,zR,若-1,x,y,z,-3成等比數(shù)列,則xyz的值為() A.-3B.3 C.-3D.3 答案C由題意知y2=3,y=,y與-1,-3符號(hào)相同,y=-, 又y2=xz,xyz=y3=-3.,3-2已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6=() A.5B.7 C.6D.4 答案A由題易知a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比數(shù)列, 所以(a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9)=50. 又an0, a4a