一維隨機變量及其分布.ppt

1、第二章一維隨機變量及其分布,一維隨機變量 離散型隨機變量 隨機變量的分布函數(shù) 連續(xù)型隨機變量 隨機變量函數(shù)的分布,非等可能事件的概率怎么計算？,在概率論中怎么應用微積分理論？,樣本空間 中的元素與試驗有關(guān),從數(shù)學角度看,希望 是抽象的集合,為了全面地研究隨機試驗的結(jié)果，揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，我們將隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)對應起來，將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化,為什么引入隨機變量？,隨機變量的引入使得對事件的研究轉(zhuǎn)化為對隨機變量的研究，對于理論研究和數(shù)學運算都帶來極大的便利,2.1一維隨機變量,1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）.,例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；,每天從濟南下火車的人數(shù)

2、；,七月份濟南的最高溫度；,隨機變量,這種對應關(guān)系在數(shù)學上理解為定義了一種實值函數(shù).,e.,X(e),R,2、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結(jié)果. 也就是說，把試驗結(jié)果數(shù)值化.,(1) 這種實值函數(shù)是定義在樣本空間上的函數(shù). 它隨試驗結(jié)果的不同而取不同的值， 因而在試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預先肯定它將取哪個值.,(2) 由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.,稱這種定義在樣本空間上的實值函數(shù)為隨機變量。,隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母,等表示而表示隨機變量所取的值時,一

3、般采用小寫字母x,y,z等.,例如，從某一學校隨機選一學生，測量他的身高.,我們可以把可能的身高看作隨機變量X,然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題.,如 P(X1.7)=？ P(X1.5)=?,P(1.5X1.7)=?,這時,要么x1.7米，要么x 1.7米，再去求P(x 1.7米)就沒有什么意義了.,一旦我們實際選定了一個學生并量了他的身高之后，我們就得到X的一個具體的值，記作x.,有了隨機變量, 隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來.,引入隨機變量的意義,如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量.,事件收到不少于1次呼叫 X 1,沒有收到呼叫 X

4、= 0,可見，隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概念內(nèi). 也可以說，隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，就象數(shù)學分析中常量與變量的區(qū)別那樣.,隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件. 引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究.,事件及 事件概率,隨機變量及其 取值規(guī)律,隨機變量的分類,通常分為兩類：,如“抽驗一批產(chǎn)品中次 品的個數(shù)”， “電話交換臺在一定時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù) ”等.,隨機變量,離散型隨機變量,連續(xù)型隨機變量,所有取值可以逐個 一一列舉,例如，“電視機的壽命”，實際中

5、常遇到的“測量誤差”等.,全部可能取值不 僅有無窮多，而且還 不能一一列舉，而是 充滿一個區(qū)間.,這兩種類型的隨機變量因為都是隨機變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點.,學習時請注意它們各自的特點和描述方法.,2.2離散型隨機變量,用這兩條性質(zhì)判斷 一個函數(shù)是否是 概率函數(shù),這樣，我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律.,從中任取3 個球,取到的白球數(shù)X是一個隨機變量,X可能取的值是0,1,2,取每個值的概率為,例1,且,二、表示方法,（1）列表法：,（2）圖示法,（3）公式法,幾何級數(shù),三、常見的離散型隨機變量的分布,1、（0-1）分布（兩點分布） 設(shè)隨機變

6、量X只可能取0與1兩個值，它的分布律是：,則稱X服從（0-1）分布或兩點分布,（0-1）分布的分布律也可寫成,對于一個隨機試驗，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即,我們總能在S上定義一個服從(0-1)分布的隨機變量,例如：若令投硬幣得到的正面為1，反面為0。即得到一個“0-1”分布的隨機變量X,2、二項分布,若隨機變量X的所有可能取值為0,1, ,n, 且它的分布律為,稱X服從參數(shù)為n和p的二項分布，記作,XB(n,p),當n=1時， P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 稱X服從兩點分布,若用X表示n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則 ,其中 p=P(A).,XB(n,p),不難驗

7、證：,例1 按規(guī)定，某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的為一級品。已知某一大批產(chǎn)品的一級品率為0.2，現(xiàn)從中隨機地抽查20只。問20只元件恰有k只（k=0，1，20）為一級品的概率是多少？,例2 某炮擊中目標的概率為0.2，現(xiàn)在共發(fā)射了14發(fā)炮彈。若至少有兩發(fā)炮彈擊中目標才能摧毀它，試求摧毀目標的概率。,XB(20,0.2),XB(14,0.2),因為“摧毀目標”等價于事件 ,所以摧毀目標的概率為,3、泊松分布,設(shè)隨機變量X所有可能取的值為0,1,2，而取各個值的概率為,其中 是常數(shù)。則稱X服從參數(shù)為 的泊松分布，記為,不難驗證：,例如：,某一段時間內(nèi)電話 用戶對電話站的呼 喚次數(shù),某

8、一段時間內(nèi)候車 的旅客數(shù),一本書中某一頁上 印刷錯誤的個數(shù),例1 在一部篇幅很大的書籍中，發(fā)現(xiàn)只有13.5%的頁數(shù)沒有印刷錯誤，如果我們假定每頁的錯字數(shù)是服從 Poisson 分布的，求正好有一個錯字的頁數(shù)的百分比.,解 設(shè)為每頁的錯字個數(shù)，由已知得,又已知,例2.設(shè)每對夫婦的子女數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。,解:由題意,可以證明 當n很大, p很小,=np是一個不太大的常數(shù)時,可以用泊松分布作為二項分布的近似.即,解 1月1日公司收入 (元),設(shè)一年中死亡人數(shù)為（人），則,例4 在保險公司里有2500個同一年齡

9、和同社會階層的人參加了人壽保險。在一年里每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在 1月1日付 12 元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司領(lǐng)取2000元，問下 列事件的概率各為多少？ (1)保險公司虧本 (2)保險公司獲利不少于10000元,(2)保險公司獲利不少于10000元 =,1、 設(shè)某機器加工一種產(chǎn)品的次品率為0.1，檢驗員每天檢驗4次，每次隨機地抽取5件產(chǎn)品進行檢驗，如果發(fā)現(xiàn)次品多于一件，就要調(diào)整機器。求一天中調(diào)整機器次數(shù)的概率分布。,2、 在一本200頁的書中，共有100個錯誤。假設(shè)每個錯誤等可能的出現(xiàn)在每一頁上，試求： （1）在給定的一頁上恰好有兩個錯誤的概率 （2）在給定

10、的一頁上至少有一個錯誤的概率,2.3 隨機變量的分布函數(shù),1、分布函數(shù)的概念,的函數(shù)值的含義：,表示X落在,上的概率.,2、隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì),上述4條性質(zhì)是判別函數(shù)是否是分布函數(shù)的充要條件。,試說明F(x)能否是某個隨機變量的分布函數(shù).,例如： 設(shè)有函數(shù) F(x),解： 注意到函數(shù) F(x)在 上下降， 不滿足性質(zhì)(3)，故F(x)不能是分布函數(shù).,不滿足性質(zhì)(2)， 可見F(x)也不能是隨機變量 的 分布函數(shù).,或者,例如:,解：,2.4 連續(xù)型隨機 變量,引例 在區(qū)間4，10上任意拋擲一個質(zhì)點，用X表示這個質(zhì)點與原點的距離，則X是一個隨機變量。若這個質(zhì)點落在4,10上任一子區(qū)內(nèi)的概率

11、與這個區(qū)間長度成正比，求X的分布函數(shù)。,解：X可以取4，10上的一切實數(shù),該區(qū)間將整個數(shù)軸分成了部分我們分下列種情況討論F(x)的值,于是，F(xiàn)(x)的表達式為,F(x),1,4,10,x,F(x)是非降的連續(xù)函數(shù)，在整個數(shù)軸上沒有一個跳躍點。,1、連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)的定義,2、 概率密度函數(shù)的性質(zhì),這兩條性質(zhì)是判定一個 函數(shù) f(x)是否為某隨機變量X的 概率密度函數(shù)的充要條件.,故 X的密度 f(x) 在 x 這一點的值，恰好是 X落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度 之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x)相當于線密度.,4. 對 f(x)的進一步理解:,要注意的是，密度

12、函數(shù) f (x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大. 也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.,若不計高階無窮小，有：,它表示隨機變量 X 取值于 的概率近似等于 .,連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率為0.,即：,a為任一指定值,這是因為,需要指出的是:,由此得，,1) 對連續(xù)型隨機變量X,有,2) 由P(X=a)=0 可推知,而 X=a 并非不可能事件,并非必然事件,稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.,可見，,由P(A)=0, 不能推出,由P(B)=1, 不能推出 B=S,例1:設(shè)隨機變量X具有概率密度,(1

13、)確定常數(shù)k ;(2)求X的分布函數(shù)F(x); (3)求,例2 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為,求:(1)A,B; (2)P(-1X1); (3)X的概率密度p(x).,例3 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為,求（1）常數(shù) A； （2）密度函數(shù)p(x),注：因為PX=a=0,所以p(x)的表達式并不唯一所以密度函數(shù)還可以表示為另外種形式,下面給出幾個常見的連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù).,由于連續(xù)型隨機變量唯一被它的密度函數(shù)所確 定. 所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型隨機變量的 概率規(guī)律就得到了全面描述.,（1）若隨機變量X的概率密度為：,則稱X服從區(qū)間( a, b)上的均勻分布，記作：,X U(a,

14、b),意義,公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.,均勻分布常見于下列情形：,如在數(shù)值計算中，由于四舍五 入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；,例1 某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時刻 有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機變量, 試求他候車 時間少于5 分鐘的概率.,解：,依題意， X U ( 0, 30 ),以7:00為起點0，以分為單位,為使候車時間X少于 5 分鐘，乘客必須在 7:10 到 7:15 之間，或在7:25 到 7:30 之間到達車站.,

15、所求概率為：,從上午7時起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽車站，,即乘客候車時間少于5 分鐘的概率是1/3.,例2、 設(shè)隨機變量X 服從1，6上的均勻分布，求,一元二次方程,有實根的概率。,解,因為當,時，方程有實根，故所求,概率為,從而,令 為3次觀察中觀察值超過8的次數(shù)，則,規(guī)范性：,注 指數(shù)分布具有“無記憶性”，或稱“永遠年青”性。即,證：由于,注意到,(3)正態(tài)分布,若隨機變量X的概率密度為,記作,f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.,其中 和 都是常數(shù)， 任意， 0， 則稱X服從參數(shù)為 和 的正態(tài)分布 或高斯（Gauss）分布.,正態(tài)分布有些什

16、么性質(zhì)呢？,由于連續(xù)型隨機變量唯一地由它的密度函數(shù)所描述，我們來看看正態(tài)分布的密度函數(shù)有什么特點.,正態(tài)分布 的圖形特點,正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對稱的鐘形曲線.,特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”.,決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中峰的陡峭程度.,正態(tài)分布 的圖形特點,能不能根據(jù)密度函數(shù)的表達式，得出正態(tài)分布的圖形特點呢？,容易看到，f(x)0,即整個概率密度曲線都在x軸的上方;,故f(x)以為對稱軸，并在x=處達到最大值:,令x=+c, x=-c (c0), 分別代入f (x), 可得,f (+c)=f (-c),且 f (+c) f (), f (-c)f (),這說明曲線 f

17、(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸. 即f (x)以x軸為漸近線.,當x 時，f(x) 0,用求導的方法可以證明，,為f (x)的兩個拐點的橫坐標.,x = ,這是高等數(shù)學的內(nèi)容，如果忘記了，課下再復習一下.,服從正態(tài)分布 的隨機變量 X的概率密度是,X的分布函數(shù)P(Xx)是怎樣的呢？,正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)和唯一確定， 當和不同時，是不同的正態(tài)分布.,下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布,標準正態(tài)分布,標準正態(tài)分布,的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.,其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用,和,表示,它的依據(jù)是下面的定理：,標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個 一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為 標準正態(tài)分布.,

18、根據(jù)定理1,只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.,定理1,書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.,表中給的是x0時, (x)的值.,當-x0時,若,N(0,1),若 XN(0,1),例如：設(shè) 查表得,由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，,這說明，X的取值幾乎全部集中在-3,3區(qū)間 內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.,當XN(0,1)時，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,準則,將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分

19、布,時，,這在統(tǒng)計學上稱作“3 準則” （三倍標準差原則）.,解,P(X h)0.01,或 P(X h) 0.99，,下面我們來求滿足上式的最小的h .,例7 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭 碰頭機會在0.01以下來設(shè)計的.設(shè)男子身高XN (170,62),問車門高度應如何確定?,設(shè)車門高度為h cm,按設(shè)計要求,因為 XN(170,62),故 PX h=,查表得 (2.33)=0.99010.99,因而 = 2.33,即 h=170+13.98 184,設(shè)計車門高度為 184厘米時，可使 男子與車門碰頭 機會不超過0.01.,所以 .,一、問題的提出,在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù) 更感興趣.,求截面面積 A= 的分布.,例如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，,第四節(jié) 隨機變量的函數(shù)的分布,一、問題的提出,在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù) 更感興趣.,已知t=t0 時刻噪聲電壓 V的分布，,求功率 W=V2/R (R為電阻）的分布等.,設(shè)隨機變量X 的分布已知，Y=g (X) (設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,下面進行討論.,這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的.,二、離散型隨機變量函數(shù)的分布,解： 當 X 取值 1，2，5 時， Y 取對應值 5，7，13，,而且X取某值與Y取其對應值是兩個同時發(fā)生 的事件，