主成分分析法例子

1、一、主成分分析的基本原理,假定有n個樣本，每個樣本共有p個變量，構成一個np階的數據矩陣,（1）,降維處理！,當p較大時，在p維空間中考察問題比較麻煩。 降維是用較少的幾個綜合指標代替原來較多的變量指標，而且使這些較少的綜合指標既能盡量多地反映原來較多變量指標所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨立的。,定義：記x1，x2，xP為原變量指標，z1，z2，zm（mp）為新變量指標,(2),系數lij的確定原則： zi與zj（ ij；i，j=1，2，m ）相互無關； z1是x1，x2，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關的x1，x2，xP的所有線性組合中方差最大者； zm是與z1，z2

2、，zm1都不相關的x1，x2，xP， 的所有線性組合中方差最大者。 則新變量指標z1，z2，zm分別稱為原變量指標x1，x2，xP的第一，第二，第m主成分。,從以上的分析可以看出，主成分分析的實質就是確定原來變量xj（j=1，2 ， p）在諸主成分zi（i=1，2，m）上的載荷 lij（ i=1，2，m； j=1，2 ，p）。 從數學上可以證明，載荷lij分別是相關矩陣的m個較大的特征值所對應的特征向量。,二、計算步驟,（一）計算相關系數矩陣 rij（i，j=1，2，p）為原變量xi與xj的相關系數， rij=rji，其計算公式為：,（3）,（4）,（二）計算特征值與特征向量： 解特征方程，求

3、出特征值，并使其按大小順序排列 ；, 分別求出對應于特征值的特征向量 ，要求 =1，即，其中表示向量 的第j個分量。, 計算主成分貢獻率及累計貢獻率 貢獻率:,累計貢獻率:,一般取累計貢獻率達8595%的特征值 所對應的第一、第二、第m（mp）個主成分。,（6）,各主成分的得分,三、 主成分分析方法應用實例,表1 某農業(yè)生態(tài)經濟系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關數據,步驟如下： （1）將表1中的數據作標準差標準化處理，然后將它們代入公式（4）計算相關系數矩陣（見表2）。,表2相關系數矩陣,（2）由相關系數矩陣計算特征值，以及各個主成分的貢獻率與累計貢獻率（見表3）。由表3可知，第一，第二，第三主成分的累計貢

4、獻率已高達86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。,表3特征值及主成分貢獻率,（3）對于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分別求出其特征向量l1，l2，l3。,表4 主成分載荷,第一主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈顯出較強的正相關，與x3呈顯出較強的負相關，而這幾個變量則綜合反映了生態(tài)經濟結構狀況，因此可以認為第一主成分z1是生態(tài)經濟結構的代表。 第二主成分z2與x2，x4，x5呈顯出較強的正相關，與x1呈顯出較強的負相關，其中，除了x1為人口總數外，x2，x4，x5都反映了人均占有資源量的情況，因此可以認為第二主成分z2代表了人均資源量。,分析：,顯然，用三個主成分z1、z2、z3代替原來9個變量（x1，x2，x9），描述農業(yè)生態(tài)經濟系統(tǒng)，可以使問題更進一步簡化、明了。,第三主