歐氏空間的定義與基本性質(zhì)

1、一、歐氏空間的定義,9.1 定義與基本性質(zhì),二、歐氏空間中向量的長度,三、歐氏空間中向量的夾角,四、n維歐氏空間中內(nèi)積的矩陣表示,五、歐氏子空間,問題的引入：,性質(zhì)(如長度、夾角)等在一般線性空間中沒有涉及.,其具體模型為幾何空間 、,1、線性空間中，向量之間的基本運(yùn)算為線性運(yùn)算，,但幾何空間的度量,長度：,都可以通過內(nèi)積反映出來：,夾角 ：,2、在解析幾何中，向量的長度，夾角等度量性質(zhì),3、幾何空間中向量的內(nèi)積具有比較明顯的代數(shù)性質(zhì).,滿足性質(zhì)：,當(dāng)且僅當(dāng) 時,一、歐氏空間的定義,1. 定義,設(shè)V是實(shí)數(shù)域 R上的線性空間，對V中任意兩個向量,、定義一個二元實(shí)函數(shù)，記作 ，若,（對稱性）,（數(shù)

2、乘）,（可加性）,（正定性）, V為實(shí)數(shù)域 R上的線性空間;, V除向量的線性運(yùn)算外，還有“內(nèi)積”運(yùn)算;,歐氏空間 V是特殊的線性空間,則稱 為 和 的內(nèi)積，并稱這種定義了內(nèi)積的,實(shí)數(shù)域 R上的線性空間V為歐氏空間.,注：,例1在 中，對于向量,當(dāng) 時，1）即為幾何空間 中內(nèi)積在直角,坐標(biāo)系下的表達(dá)式 . 即,這樣 對于內(nèi)積就成為一個歐氏空間.,易證 滿足定義中的性質(zhì).,所以, 為內(nèi)積.,2）定義,從而 對于內(nèi)積也構(gòu)成一個歐氏空間.,由于對 未必有,注意：,所以1），2）是兩種不同的內(nèi)積.,從而 對于這兩種內(nèi)積就構(gòu)成了不同的歐氏空間.,易證 滿足定義中的性質(zhì).,所以 也為內(nèi)積.,例2 為閉區(qū)間

3、 上的所有實(shí)連續(xù)函數(shù),所成線性空間，對于函數(shù) ，定義,（2）,則 對于（2）作成一個歐氏空間.,證：,且若,則,從而,故,因此， 為內(nèi)積， 為歐氏空間.,推廣：,2. 內(nèi)積的簡單性質(zhì),V為歐氏空間，,2) 歐氏空間V中，,使得 有意義.,二、歐氏空間中向量的長度,1. 引入長度概念的可能性,1）在 向量的長度（模）,2. 向量長度的定義,稱為向量 的長度.,特別地，當(dāng) 時，稱 為單位向量.,3. 向量長度的簡單性質(zhì),3）非零向量 的單位化：,（3）,1）在 中向量 與 的夾角,2）在一般歐氏空間中推廣（4）的形式，首先,三、歐氏空間中向量的夾角,1. 引入夾角概念的可能性與困難,應(yīng)證明不等式：

4、,此即,（4）,對歐氏空間V中任意兩個向量 ，有,（5）,2. 柯西布涅柯夫斯基不等式,當(dāng)且僅當(dāng) 線性相關(guān)時等號成立.,證：當(dāng) 時，,結(jié)論成立.,當(dāng) 時，作向量,由內(nèi)積的正定性，對 ，皆有,（6）,取 代入（6）式，得,即,兩邊開方，即得,當(dāng) 線性相關(guān)時，不妨設(shè),于是，,(5)式等號成立.,反之，若（5）式等號成立，由以上證明過程知,或者 ，或者,也即 線性相關(guān).,3. 柯西布涅柯夫斯基不等式的應(yīng)用,柯西 不等式,（7）,1）,施瓦茲 不等式,由柯西布涅柯夫斯基不等式有,從而得證.,證：在 中， 與 的內(nèi)積定義為,2）,（7）,證：,兩邊開方，即得（7）成立.,對歐氏空間中的任意兩個向量 有,

5、3）,三角 不等式,設(shè)V為歐氏空間， 為V中任意兩非零,向量， 的夾角定義為,4. 歐氏空間中兩非零向量的夾角,定義1：, 零向量與任意向量正交.,注：,設(shè) 為歐氏空間中兩個向量，若內(nèi)積,則稱 與 正交或互相垂直，記作,定義2：,5. 勾股定理,設(shè)V為歐氏空間，,證：,若歐氏空間V中向量 兩兩正交，,推廣：,則,證：若,則,即,例3、已知,在通常的內(nèi)積定義下，求,解：,又,通常稱為與的距離，記作,設(shè)V為歐氏空間， 為V的一組基，對V中,任意兩個向量,四、n 維歐氏空間中內(nèi)積的矩陣表示,令,（8）,定義：矩陣,稱為基 的度量矩陣.,（9）, 度量矩陣A是實(shí)對稱矩陣., 由內(nèi)積的正定性，度量矩陣A還是正定矩陣.,注：,事實(shí)上，對 ，即,有,為正定矩陣., 由（10）知，在基 下，向量的內(nèi)積,由度量矩陣A完全確定., 對同一內(nèi)積而言，不同基的度量矩陣是合同的.,證：設(shè) 為歐氏空間V