概率及概率密度分布函數(shù)

1、第一章概率和概率密度分布函數(shù)、系統(tǒng)狀態(tài)宏命令量、系統(tǒng)狀態(tài)微量、集成修正方法、最基本的概念、概率、1.1概率的基本概念、集成修正規(guī)定性、隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)上通告、隨機(jī)上通告發(fā)生的可能性的定義、概率的基本性質(zhì)， 由于概率的簡單的修正隨機(jī)現(xiàn)象：只能確定影響它們進(jìn)化的一些因素，而不能確定或者不能特羅爾定某些因素，所以現(xiàn)象發(fā)展的結(jié)局不是唯一的，并且不能預(yù)測到究竟如何。 例如，容器中的氣體能夠控制容器的容積、氣體的壓力及其溫度，但由于我們無法控制氣體分子在熱運(yùn)動(dòng)中如何與其他分子以及如何與容器壁碰撞，因此無法預(yù)言各分子在每個(gè)時(shí)刻的空間位置和速度，氣體中的一個(gè)分子所處的空間位置及其隨機(jī)上通告：將在某些條件下可能發(fā)

2、生隨機(jī)現(xiàn)象的多個(gè)結(jié)果中的每一個(gè)稱為隨機(jī)上通告。 實(shí)驗(yàn)性地觀測隨機(jī)現(xiàn)象，把在1次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的不能再“分解”的上通告稱為基本隨機(jī)上通告。 例如，擲骰可能出現(xiàn)分?jǐn)?shù)不同的隨機(jī)現(xiàn)象，在1次實(shí)驗(yàn)中分別出現(xiàn)1分、2分、3分、4分、5分、6分，這是其6個(gè)基本的隨機(jī)上通告。 隨機(jī)現(xiàn)象的所有基本隨機(jī)上通告構(gòu)成基本上通告組，擲骰子的基本上通告組由上述6個(gè)基本上通告構(gòu)成。 復(fù)雜的隨機(jī)上通告3360某些隨機(jī)上通告b包括隨機(jī)上通告A1、A2、以及Am，即3360僅當(dāng)該m個(gè)上通告中出現(xiàn)時(shí)才在上通告b中出現(xiàn)。 這種隨機(jī)上通告b是復(fù)雜的隨機(jī)上通告。 以擲骰子為例，也可以將“擲出分?jǐn)?shù)為5以上”作為隨機(jī)上通告記為b。 很明顯，不管

3、投出來的分?jǐn)?shù)是5還是6，都會(huì)被訂正為發(fā)生了上通告b。 b上通告由“被投分?jǐn)?shù)為5”的基本隨機(jī)上通告和另一個(gè)“被投分?jǐn)?shù)為6”的基本隨機(jī)上通告構(gòu)成。 在這種情況下，隨機(jī)上通告b屬于復(fù)雜隨機(jī)上通告的基本隨機(jī)上通告組中的上通告彼此不兼容。 通常，在一次實(shí)驗(yàn)中不能在云同步中出現(xiàn)的兩個(gè)隨機(jī)上通告是不兼容的隨機(jī)上通告。 兩個(gè)隨機(jī)上通告分別具有獨(dú)立性：在所選擇的隨機(jī)上通告a和b中，如果發(fā)生一方或另一方不受到影響，則a和b相互獨(dú)立。 例如，向云同步投擲2個(gè)骰子，不管一方是否在5點(diǎn)出現(xiàn)和另一方是否在3點(diǎn)出現(xiàn)，盡管在云同步上發(fā)生了2個(gè)骰子分別在5點(diǎn)和3點(diǎn)出現(xiàn)的2個(gè)隨機(jī)上通告，但都是相互獨(dú)立的。 就骰子而言，不管“這次

4、投擲是否到5點(diǎn)”和“下次投擲是否到3點(diǎn)”，盡管連續(xù)投擲2次，這兩個(gè)隨機(jī)事件都是各自獨(dú)立的。 并且，以本過程中特別引人注目的氣體分子的速度為例，一分子速度的x成分處于多大的區(qū)間和其y成分處于多大的區(qū)間、z成分處于多大的區(qū)間，是相互獨(dú)立的。隨機(jī)現(xiàn)象、基本隨機(jī)上通告、基本上通告組、復(fù)雜隨機(jī)上通告、A1、A2、An、Am-1、Am、1這種裝置通常被稱為garton板。 加爾頓大板塊，在使球從美甲大板塊上滾動(dòng)，與大板塊上的鐵元素的釘子不規(guī)則地碰撞，滾動(dòng)的途中受到力的復(fù)雜的細(xì)節(jié)或者人為的控制特羅爾丟失，特別是使多個(gè)小的球向云同步或者連續(xù)地沿美甲大板塊落下時(shí)， 不能一個(gè)一個(gè)控制下落初始狀態(tài)的各個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)雖

5、然遵循牛頓力學(xué)規(guī)律，但由于它們離開釘溝的速度大小和方向都具有偶然性，對于各個(gè)小球來說，不能預(yù)測其滾動(dòng)下落到大木箱的哪個(gè)格子。 1 .現(xiàn)在，不改變木溝的傾斜度，先把少量的小球從美甲大板塊中撒出來，它們滾動(dòng)到箱子中的各個(gè)格里分布。 盡量將同樣數(shù)量的小球再次撒一次，可知各格中小球的分布有明顯的差異。 2 .現(xiàn)在，撒了大量的小球，箱子里的各格接受的小球的數(shù)量不相等，越是兩邊的格小球的數(shù)量越少，中間的一格中掉到小球的數(shù)量最多。 到底哪個(gè)格子中最多，和樹溝的傾斜有關(guān)。 再撒一次相同數(shù)量的小球，不能如上所述地特羅爾各個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)軌跡，所以考慮到箱子里的哪個(gè)方格完全具有偶然性，可能還像撒少量的小球時(shí)那樣，出現(xiàn)

6、與上次明顯不同的分布。 但是，實(shí)際上，如果樹木的槽的傾斜度一定，那么球的數(shù)量多于一盞茶，總數(shù)不變，球的擺動(dòng)方式也盡可能相同，則通過多次實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果相互非常接近。 加爾頓板實(shí)驗(yàn)結(jié)論：個(gè)大球落在大盒各格中的分布不再具有偶然性，在一定條件下，整個(gè)大隨機(jī)事件，具有相對穩(wěn)定的特性是必然的規(guī)律，表明這是一種統(tǒng)訂規(guī)定性。 統(tǒng)一規(guī)定性包含個(gè)別隨機(jī)事件的偶然性：多數(shù)小球中的一個(gè)打算染成不同的顏色，但多次實(shí)驗(yàn)中各格的小球數(shù)穩(wěn)定分布的話，云同步中該可識別的染色小球出現(xiàn)于哪個(gè)格完全不決定。 統(tǒng)一的規(guī)定性必然伴隨著“干滿”現(xiàn)象。 在加爾頓大板塊實(shí)驗(yàn)中，每次記錄下落的球數(shù)，發(fā)現(xiàn)每次實(shí)驗(yàn)中球數(shù)的實(shí)際分布與經(jīng)過極其多的實(shí)驗(yàn)

7、修正的平均分布有偏差。 這被稱為“干滿”，當(dāng)投擲的小球總數(shù)較少時(shí)，這種“干滿”現(xiàn)象就會(huì)變得明顯。 大量隨機(jī)上通告必然遵循的統(tǒng)一規(guī)定性依賴于個(gè)別隨機(jī)上通告的偶然性，伴隨著波動(dòng)現(xiàn)象和統(tǒng)一規(guī)定性表明偶然性和必然性之間的辯證法關(guān)系。 1.1.3隨機(jī)上通告發(fā)生的可能性概率的定義：概率是統(tǒng)一修正規(guī)律中最基本的概念。 概率-表示發(fā)生隨機(jī)上通告的可能性有多大。 在規(guī)定的條件下，對隨機(jī)現(xiàn)象在一盞茶上進(jìn)行多次觀測實(shí)驗(yàn)，可以看到該現(xiàn)象中各種可能的隨機(jī)上通告。 設(shè)實(shí)驗(yàn)的總次數(shù)為n，這里，設(shè)上通告a出現(xiàn)的次數(shù)為NA，定義為上通告a出現(xiàn)的次數(shù)。 該度數(shù)隨n而變化，但隨著n的增大，偶然因素的作用相對降低，隨機(jī)現(xiàn)象本身的固有

8、特性變得明顯，vA在某個(gè)值附近穩(wěn)定，只有越來越小的起伏。 在n大的情況下，度數(shù)趨向極限： PA被稱為上通告a出現(xiàn)的概率。 顯然，概率反映了隨機(jī)上通告出現(xiàn)的可能性，PA越大，出現(xiàn)上通告a的可能性越高。1.1.4概率的基本性質(zhì)，1 .任何上通告的概率PA必須為0 PA 1. PA=1，這意味著a上通告必須發(fā)生在預(yù)定條件下，而必然上通告PA=0在給定a上通告的條件下完全不發(fā)生，這是不可能的上通告。 2 .將加法定理A1、A2作為相互不相容的事件，如果在出現(xiàn)A1或A2時(shí)能夠認(rèn)為出現(xiàn)了事件a，則將a表示為A1和A2的or (或稱為“and”) .表示為：A=A1 A2或A=A1A2。: PA=PA1 P

9、A2式中的PA、PA1和PA2分別是出現(xiàn)a、單獨(dú)出現(xiàn)A1和單獨(dú)出現(xiàn)A2的概率。 如果a是彼此不相容的多個(gè)隨機(jī)上通告的3:A=A1A2An則為3360、3 .基本隨機(jī)上通告組內(nèi)的各上通告的概率相同。 即包括某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象可能獨(dú)立出現(xiàn)的所有基本隨機(jī)上通告的4 .假設(shè)乘法定理a、b的兩個(gè)上通告不相容，在a、b中都發(fā)生的上通告為c，換句話說，c是在a和b兩者出現(xiàn)時(shí)實(shí)現(xiàn)的上通告，c只是a和b的“正交”(“積”) P(B|A )是在發(fā)生了a的前提下b上通告出現(xiàn)的概率，被稱為條件概率.a、b兩上通告相互獨(dú)立的情況下，即b出現(xiàn)的概率與是否附加了出現(xiàn)a的條件無關(guān)，相反也是同樣的： p (b|a )=p (a )=

10、PAPB雙方相容的獨(dú)立事件出現(xiàn)的概率等于兩獨(dú)立事件單獨(dú)出現(xiàn)的概率的乘積，這被稱為乘法定理。 校正多個(gè)不相容的獨(dú)立上通告出現(xiàn)的概率：1.1.5概率的簡單校正、1 .經(jīng)典隨機(jī)現(xiàn)象的概率的簡單校正：經(jīng)典隨機(jī)現(xiàn)象是： (1)該隨機(jī)現(xiàn)象的基本隨機(jī)上通告組的上通告數(shù)有限；(2)出現(xiàn)每個(gè)基本隨機(jī)上通告的概率相等例：投擲均質(zhì)、形狀規(guī)則的骰子，它有6個(gè)對稱面，投擲的分?jǐn)?shù)為何，可能有6種等概率。 這是經(jīng)典的隨機(jī)現(xiàn)象。 例：容器內(nèi)有n個(gè)氣體分子，用假想截面把容器分成容積相等的a、b兩個(gè)部分，各個(gè)分子可以在a、b之間自由往來，n個(gè)分子可以相互區(qū)別，但只要分別獨(dú)立地具有同樣的熱運(yùn)動(dòng)，這些個(gè)的氣體分子在a、b兩個(gè)部分的分

11、布是可能的假設(shè)在古典隨機(jī)現(xiàn)象的基本隨機(jī)上通告組中包含n個(gè)基本上通告，則根據(jù)古典隨機(jī)現(xiàn)象應(yīng)滿足的條件，各基本上通告發(fā)生的概率為：- -(1.1.8)如果該具有隨機(jī)現(xiàn)象的復(fù)雜的隨機(jī)上通告c是m個(gè)基本上通告復(fù)合而成的，則c的概率為3360 為了討論隨機(jī)上通告和對應(yīng)概率之間的關(guān)系，1.2隨機(jī)變量和概率分布、隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度分布函數(shù)、1.2.1隨機(jī)變量首先對隨機(jī)上通告進(jìn)行數(shù)值化，所以引入隨機(jī)變量在：觸摸的3個(gè)球中查找黑球的數(shù)量。 現(xiàn)在，加上這些個(gè)5個(gè)球號，(1)、(2)、(3)號是白球，(4)、(5)號是黑球。 有10種可能“接觸3個(gè)球”的結(jié)果w，參照表1.2.1

12、的第1列，分別列出了10種可能接觸的3個(gè)球的編號。 將隨機(jī)變量X(w )作為在每個(gè)可能的情況下接觸的黑球的數(shù)量，其值也如表1.2.1所示。 表1.2.1隨機(jī)上通告w和隨機(jī)變量X(w )、其中，所選擇的隨機(jī)變量可以取0、1、2三個(gè)實(shí)數(shù)值，并且可以區(qū)分三個(gè)不同的復(fù)雜的隨機(jī)上通告。 每個(gè)可能性是在給定條件下滿足明確要求的基本隨機(jī)上通告，它對應(yīng)的決策值，但是一個(gè)決策值可以對應(yīng)多個(gè)基本隨機(jī)上通告。 例如，X=1可能是六種對應(yīng)的不同類型。 例1-2-2硬幣的一方刻有國徽，另一方刻有貨幣價(jià)值。 扔硬幣。 落地時(shí)哪個(gè)面朝上是隨機(jī)的?？梢允孪燃s定刻有國徽的面朝上地與隨機(jī)變量X=1相對應(yīng)，刻有貨幣價(jià)值的面朝上地與

13、隨機(jī)變量X=0相對應(yīng)。 因此，類似地，可通過隨機(jī)變量識別某一數(shù)目不出現(xiàn)為任何隨機(jī)上通告。 例1-2-3瓦斯氣體分子在不斷的不規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)中，每個(gè)分子所處的空間位置和運(yùn)動(dòng)速度都是隨機(jī)時(shí)刻變化的。 各個(gè)分子的速率可以是隨機(jī)變量，其速度成分可以是隨機(jī)變量組，其空間位置坐標(biāo)也可以是隨機(jī)變量組。隨機(jī)變量分類：離散型隨機(jī)變量3360隨機(jī)變量(或隨機(jī)變量組)取的值可一個(gè)一個(gè)地列舉非離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量(或隨機(jī)變量定徑套)取的值在無法一個(gè)一個(gè)地列舉的3360例1-2-3中，分子位置坐標(biāo)可以取某范圍內(nèi)的全部實(shí)數(shù)值，網(wǎng)羅性地分子的速度和速度這3個(gè)成分取值也是同樣的。 實(shí)際遇到的許多非離散型隨機(jī)變量具有良好的數(shù)

14、學(xué)性質(zhì)，根據(jù)數(shù)學(xué)家的定義，有被稱為連續(xù)型隨機(jī)變量的1.2.2離散型隨機(jī)變量的概率分布，為了完全描寫一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，僅僅是其隨機(jī)變量x取哪個(gè)值是不一盞茶的，更重要的是知道取各個(gè)值的概率可取的值是將相應(yīng)的概率設(shè)為pi=p (x=Xi ) (I=1，2，n )來適當(dāng)?shù)剡x擇隨機(jī)變量，將不同的隨機(jī)上通告的概率p設(shè)定為對應(yīng)于各上通告的隨機(jī)變量x的函數(shù)： P=f(x )，將各自的概率設(shè)定為p和q，根據(jù)概率性正規(guī)化條件將p q=1(n=2，n )。 現(xiàn)從整體上看這種隨機(jī)現(xiàn)象的n次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 求出在該n次獨(dú)立測試序列中有n-1次出現(xiàn)上通告a (自然N-n1次出現(xiàn)b )的概率。 基于互不相容上通告的邏輯和的概率

15、相加定理： (1.2.2)式中的因子是在各種不同順序的n次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)n-1次a的組合的數(shù)量，通常記為。 利用二項(xiàng)式定理和公式(1-2-1)可以容易地證明由公式(1-2-2)給出的概率分布函數(shù)滿足歸一化條件：由于概率分布函數(shù)PN(n1 )是二項(xiàng)式展開中p的第n-1個(gè)冪的通項(xiàng)，因此將該分布稱為二項(xiàng)式分布從電線桿走n步后，試著求出到電線桿的距離為x的概率。 “隨機(jī)行走”是一個(gè)著名的概率問題。 不僅限于一維，即使每個(gè)步驟不相等，也需要更多的隨機(jī)變量。 物理上有很多問題的數(shù)學(xué)模型是“隨機(jī)行走”。 例如，布朗粒子的運(yùn)動(dòng)就像喝醉了，用“隨機(jī)步行”模型討論它們的位移是合適的。 要解決基本的隨機(jī)上通告，只有向東還是向西兩個(gè)方向。 他向東，向西，走道兒概率分別為p和q。 p可以相等也可以不等于q，例如，如果這條街的路面傾斜，則醉漢朝向上坡的概率比朝向下坡的概率小，另一方面，如果是街道水平，則可以認(rèn)為p