2011年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章《三角函數(shù)》任意角的三角函數(shù)與誘導(dǎo)公式精品課件

1、學(xué)案2 任意角的三角函數(shù)與誘導(dǎo)公式,返回目錄,1.任意角的三角函數(shù) (1)任意角的三角函數(shù)定義 設(shè)是一個(gè)任意角,角的終邊上任意一點(diǎn)P(x,y),它與原點(diǎn)的距離為r(r0),那么角的正弦、余弦、正切分別是：sin= ,cos= ,tan= ,它們都是以角為 ，以比值為 的函數(shù).,自變量,函數(shù)值,考點(diǎn)分析,返回目錄,(2)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)口訣是: . 2.設(shè)角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸正半軸重合,終邊與單位圓相交于點(diǎn)P,過P作PM垂直x軸于M,作PN垂直y軸于點(diǎn)N,則點(diǎn)M,N分別是點(diǎn)P在x軸,y軸上的 .由三角函數(shù)的定義知,點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ,即 , 其中cos= ,sin= ,單位圓與x軸

2、的正半軸交于點(diǎn)A,單位圓在A點(diǎn)的切線與的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T(T),則tan= .我們把軸上向量OM,ON,AT(或AT)分別叫做的 、 、 .,二正弦、三正切、四余弦,一全正、,正射影,（cos,sin),P(cos,sin),OM,ON,AT,余弦線,正弦線,正切線,3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 (1)平方關(guān)系: . (2)商數(shù)關(guān)系: . (3)倒數(shù)關(guān)系:tancot=1( ,kZ).,返回目錄,sin2+cos2=1(R),(k+ ,kZ),-tan,4.六組誘導(dǎo)公式,返回目錄,sin,-sin,-sin,sin,cos,cos,cos,-cos,cos,-cos,sin,-si

3、n,sin,tan,tan,-tan,返回目錄,考點(diǎn)一 三角函數(shù)的定義,設(shè)為第四象限角，其終邊上的一個(gè)點(diǎn)是P(x,- )，且cos= x，求sin和tan.,【分析】若能求出問題中的未知數(shù)x，則由定義sin和tan可求，解題技巧即是設(shè)法建立關(guān)于x的一個(gè)方程.,題型分析,返回目錄,【解析】是第四象限的角，x0, 又P點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離r , 由cos ，得 . x= ,r=2 . sin ,tan .,【評(píng)析】容易出錯(cuò)的地方是得到x2=3后，不考慮P點(diǎn) 所在的象限，x的取值分正負(fù)兩種情況去討論.一般地，在解此類問題時(shí)，可以優(yōu)先注意角所在的象限，對(duì)最終結(jié)果作一個(gè)合理的預(yù)測(cè).,對(duì)應(yīng)演練,已知角的終

4、邊在直線3x+4y=0上,求sin,cos,tan的值.,角的終邊在直線3x+4y=0上， 在角的終邊上任取一點(diǎn)P(4t,-3t)(t0), 則x=4t,y=-3t, 當(dāng)t0時(shí),r=5t,返回目錄,當(dāng)t0時(shí)，sin= ,cos= ,tan= ;當(dāng)t0時(shí),sin= ,cos=- ,tan=- .,返回目錄,返回目錄,考點(diǎn)二 單位圓與三角函數(shù)線,在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊的范圍,并由此寫出角的集合: (1)sin ; (2)cos- .,【分析】作出滿足sin= ,cos=- 的角的終邊,然后根據(jù)已知條件確定角終邊的范圍.,【解析】 (1)如圖,作直線y= 交單位圓于A,B兩點(diǎn),連結(jié)OA

5、,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域即為角的終邊的范圍,故滿足條件的角的集合為,返回目錄,返回目錄,(2)作直線x=- 交單位圓于C,D兩點(diǎn),連結(jié)OC,OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍.故滿足條件的角的集合為,【評(píng)析】本題的實(shí)質(zhì)是解三角不等式的問題： （1）可以運(yùn)用單位圓及三角函數(shù)線; （2）也可以用三角函數(shù)圖象. 體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.,返回目錄,返回目錄,對(duì)應(yīng)演練,已知01; (2)sintan.,證明:如圖,設(shè)的終邊與單位圓交于P點(diǎn),作PMx軸,垂足為M,過點(diǎn)A(1,0)作ATx軸,交的終邊于T,則sin=MP,cos=OM,tan=AT.,(1)在OMP中

6、,OM+MPOP, cos+sin1. (2)連結(jié)PA,則SOPA S扇形OPA SOTA, 即 OAMP OA OAAT, 即sintan.,返回目錄,返回目錄,考點(diǎn)三 同角三角函數(shù)間的關(guān)系,已知 x0,sinx+cosx= . (1)求sinx-cosx的值； (2)求 的值.,【分析】 (1)由sinx+cosx= 及sin2x+cos2x=1可求出sinx,cosx的值,從而求出 sinx-cosx 的值;另外 ,由 0,從而判定sinx-cosx的符號(hào),只需求(sinx-cosx)2即可.,返回目錄,【解析】 (1)解法一:聯(lián)立方程: sinx+cosx= , sin2x+cos2x

7、=1, 由得sinx= -cosx,將其代入,整理得 25cos2x-5cosx-12=0. sinx=- cosx= ,(2)由(1)可求出tanx,而 想法使分子、分母都出現(xiàn)tanx即可., x0,sinx-cosx=- .,解法二:sinx+cosx= , (sinx+cosx)2= , 即1+2sinxcosx= ,2sinxcosx=- . (sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x =1-2sinxcosx=1+ = . 又 0, sinx-cosx0. 由可知，sinx-cosx=- .,返回目錄,(2)由已知條件及(1)可知 sinx+cosx= si

8、nx=- sinx-cosx=- , cosx= , tanx=- .,解得,又,返回目錄,返回目錄,【評(píng)析】（1）方程思想在解決同角三角函數(shù)間的關(guān)系中起著重要的作用,一定要注意其應(yīng)用. (2)注意sinx+cosx,sinxcosx,sinx-cosx三者間的相互轉(zhuǎn)化,若令sinx+cosx=t,則sinxcosx= .,返回目錄,對(duì)應(yīng)演練,已知sin+cos= ,(0,).求值: (1)tan; (2)sin-cos; (3)sin3+cos3.,解法一:sin+cos= ,(0,), (sin+cos)2= =1+2sincos, sincos= 0,cos0,sin= ,cos=- .

9、 (1)tan=- .(2)sin-cos= . (3)sin3+cos3= .,返回目錄,返回目錄,解法二： (1)同解法一. (2) (sin-cos)2=1-2sincos =1-2(- )= . sin0,cos0, sin-cos= . (3)sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)= 1+ = .,返回目錄,考點(diǎn)四 求值問題,已知 ，求下列各式的值： （1） ； （2）sin2+sincos+2.,【分析】由已知可以求出tan，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式可以求得sin和cos，進(jìn)而求出(1)、(2)的值.但實(shí)際操作中，往往借助題目條件的特殊性來整體考慮

10、使用條件.,【解析】由已知得tan= . （1）,返回目錄,（2）sin2+sincos+2 =sin2+sincos+2(cos2+sin2),返回目錄,【評(píng)析】形如asin+bcos和sincos +ccos2的式子分別稱為關(guān)于sin,cos的一次齊次式和二次齊次式，對(duì)涉及它們的三角式的變換常有如上的整體代入方法可供使用.,對(duì)應(yīng)演練,已知tan =2,求： （1）tan(+ )的值； （2） 的值.,返回目錄,（1）,返回目錄,（2）由（1）得tan= ,返回目錄,返回目錄,考點(diǎn)五 化簡(jiǎn)問題,化簡(jiǎn):tan(27-)tan(49-)tan(63+) tan(139-).,【分析】靈活運(yùn)用誘導(dǎo)

11、公式.,返回目錄,【評(píng)析】當(dāng)多個(gè)復(fù)合角出現(xiàn)時(shí)，應(yīng)先觀察各個(gè)角之間的內(nèi)在聯(lián)系，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.,【解析】tan(27-)tan(49-)tan(63+)tan(139-) =tan(27-)tan(49-)tan90-(27-) tan90+(49-) =tan(27-)tan(49-)cot(27-) -cot(49-) =tan(27-)cot(27-)tan(49-) -cot(49-)=-1.,返回目錄,對(duì)應(yīng)演練,已知 (1)化簡(jiǎn)f(); (2)若是第三象限角,且cos(- )= ,求f()的值.,(1),(2)cos(- )=-sin, sin=- ,cos= , f()= .

12、,返回目錄,返回目錄,考點(diǎn)六 簡(jiǎn)單的恒等式證明問題,已知sin(+)=1，求證:tan(2+)+tan=0.,【分析】可由sin(+)=1出發(fā),得到=2k+ -(kZ)，將其代入被證式的左邊，然后利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，直至推得右邊.,【證明】sin(+)=1, +=2k+ (kZ). =2k+ -(kZ). tan(2+)+tan = =tan(4k+-2+)+tan =tan(4k+-)+tan =tan(-)+tan=-tan+tan=0. tan(2+)+tan=0得證.,返回目錄,返回目錄,【評(píng)析】本題是條件等式證明問題,采用代入法使被證式得證. 證明條件等式,一般有兩種方法:一是從被

13、證等式一邊推向另一邊的適當(dāng)?shù)臅r(shí)候,將條件代入,推出被證式的另一邊,這種方法稱作代入法;二是直接將條件等式變形,變形為被證的等式,這種方法稱作推出法.證明條件等式不論使用哪種方法都要盯住目標(biāo),據(jù)果變形.,返回目錄,對(duì)應(yīng)演練,已知tan2=2tan2+1,求證:sin2=2sin2-1.,證明:證法一：tan2=2tan2+1, tan2= .又sin2=tan2cos2,返回目錄,證法二：,返回目錄,證法三:tan2=2tan2+1, ,證法四：tan2=2tan2+1, 1+tan2=2(tan2+1). sec2=2sec2,2cos2=cos2. 2(1-sin2)=1-sin2. sin

14、2=2sin2-1.,返回目錄,返回目錄,同角三角恒等變形是三角恒等變形的基礎(chǔ),主要是變名、變式. 1.同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響,尤其是利用平方關(guān)系在求三角函數(shù)值時(shí),進(jìn)行開方時(shí)要根據(jù)角的象限或范圍,判斷符號(hào)后,正確取舍. 2.三角求值、化簡(jiǎn)是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有： （1）弦切互化法主要利用公式tanx= 化成正弦、余弦函數(shù);,高考專家助教,返回目錄,（2）和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sincos)2=12sincos的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化； （3）巧用“1”的變換：1=sin2+cos2=cos2(1+tan2)=sin2(1+ )=tan =. 注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要