幾何直觀教學視角.ppt

1、建立幾何直觀的教學視角 黃玉香 2014.11,“小學數(shù)學新課標理念與實踐研究”系列活動 專題一：數(shù)據(jù)分析觀念培養(yǎng)（龜湖） 專題二：數(shù)學文化滲透（實?。?專題三：基本活動經(jīng)驗解讀與實踐研究（三?。?專題四：幾何直觀能力培養(yǎng)（二小） 專題五：推理能力培養(yǎng) 專題六：數(shù)學基本思想滲透 專題七：良好學習習慣培養(yǎng) 專題八：“綜合與實踐”難點透視 專題九：課程資源有效利用 專題十：學習評價研究,活動背景,核心概念,幾何直觀在教學上更為深遠的意義何在？ 應該建立怎樣的幾何直觀教學視角？,一、幾何直觀的含義 二、幾何直觀的作用 三、幾何直觀的表現(xiàn)形式 四、幾何直觀的兩種層次 五、相關術(shù)語的辨析 六、深度解讀幾

2、何直觀 七、幾何直觀在教學中的運用,建立幾何直觀的教學視角,一、幾何直觀的含義 幾何直觀主要指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。（2011版課標）,一、幾何直觀的含義 直觀：直接的觀察，通過對事物的直接接觸而獲得的感性認識； 幾何：在幾何直觀的語境下指圖形； 幾何直觀：就是借助圖形而獲得的對數(shù)學研究對象的感性認識。,二、幾何直觀的作用 認知心理學認為，學習是人腦內(nèi)部復雜的信息加工與組織過程。在這個信息加工與組織過程中，思維的展開更傾向于依據(jù)直觀形象

3、的成分，而不是依據(jù)文字或符號敘述的定義定理。,視角：由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交 叉而成的角。物體越小或距離越遠，視角越小。,思維的展開更傾向于 依據(jù)直觀形象的成分,思維的展開更傾向于 依據(jù)直觀形象的成分,三角形的高,有些時候，教學如果不深入到直觀層面，學習只能停留在死記硬背層面。,三、幾何直觀的表現(xiàn)形式 1. 實物直觀（即實物圖） 2. 替代物直觀（已經(jīng)具備一定的抽象性） 3. 圖形直觀,實 物 直 觀,實 物 直 觀,替代物直觀 小圓片、小三角形 點子圖 小棒（單根、一捆、一箱） 小方塊（單個、條、面、體） 計數(shù)器,替 代 物 直 觀,替 代 物 直 觀,圖形直觀 線段圖（直條圖、示

4、意圖） 面積模型圖（乘法分配律、面積公式） 統(tǒng)計圖（三種） 圖形的變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱） 函數(shù)圖（正反比例、看圖找關系）,四、幾何直觀的兩種層次 1.直觀感知 2.直觀洞察（首次接觸）,直 觀 洞 察,例2：觀察發(fā)現(xiàn)：平移、旋轉(zhuǎn)能夠由軸對稱來實現(xiàn)。進而猜想：是不是所有的平移、旋轉(zhuǎn)都能由軸對稱來替代？,直 觀 洞 察,一般地，兩次對折，當對稱軸互相平行時，相當于一次平移；當對稱軸相交時，相當于一次旋轉(zhuǎn) 。,直觀洞察 （抽象性）,直觀感知 （直觀性）,五、相關術(shù)語的辨析 幾何直觀與數(shù)形結(jié)合 幾何直觀與空間觀念,1.幾何直觀與數(shù)形結(jié)合,數(shù)形結(jié)合 主要指借助“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”。（分數(shù)、

5、行程問題） “數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微?！?華羅庚）,“形少數(shù)時難入微”,用數(shù)表示變化規(guī)律：1、3、5、7、9。 用算式表示變化規(guī)律： 1、1+3、1+3+5、1+3+5+7、1+3+5+7+9 。,“形少數(shù)時難入微”,規(guī)律表示： 25=1+2+3+4+5+4+3+2+1,“形少數(shù)時難入微”,中心起點：1 1 紅線上點數(shù)：1+3 4 紅藍線上點數(shù)：1+3+5 9 紅藍黃線上點數(shù)：1+3+5+（ ）（ ） 紅藍黃綠上線點數(shù)： （ ）,1.幾何直觀與數(shù)形結(jié)合,聯(lián)系與區(qū)別 聯(lián)系1：作用相同，旨在直觀地理解數(shù)學； 聯(lián)系2：應用語境大致相同，很多語境下這兩個詞可以替 換使用。 區(qū)別1：數(shù)形結(jié)合是一

6、種數(shù)學思想，幾何直觀更指向于課程意識。 區(qū)別2：外延不同。,找不到不是幾何直觀的數(shù)形結(jié)合，卻 可以找到不是數(shù)形結(jié)合的幾何直觀。,無須用到“量”的分析,2.幾何直觀與空間觀念,空間觀念 表現(xiàn)為對形體特征、位置關系、圖形變換的想象與描述。 主要指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。,2.幾何直觀與空間觀念,聯(lián)系與區(qū)別 聯(lián)系1：二者有重疊的部分，如“根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體”等。 聯(lián)系2：幾何直觀是建立空間觀念的有效手段。 區(qū)別1：空間觀念即使脫離了具體情境也能想象出圖形的形狀

7、與位置關系，而幾何直觀更強調(diào)借助圖形而進行。 區(qū)別2：空間觀念更多局限在“圖形與幾何”內(nèi)容領域，而發(fā)展學生的幾何直觀能力需要依托數(shù)學課程的每個領域。,六、深度解讀幾何直觀 1. 在各領域?qū)W習中，都要重視幾何直觀能力的培養(yǎng)。從更長遠看，幾何直觀的作用不局限于數(shù)學。 2.對“圖形”的理解可以寬泛些，既可以是有形可視的，也可以是無形想象的。,六、深度解讀幾何直觀 3.要看到圖形的直觀性，也要看到圖形的抽象性。 4.幾何直觀是一種意識，也是一種能力，更是一種思維方式。 5.直觀本身不是目的，而是手段。,七、幾何直觀在教學中的運用 1.規(guī)劃幾何直觀能力培養(yǎng)的脈絡主線 2.創(chuàng)新幾何直觀運用的教學設計,低年

8、級：實物圖示意圖線段圖 中年級：開始有意識引導學生掌握畫示意圖和線段圖的要點和技巧。,1.規(guī)劃幾何直觀能力培養(yǎng)的脈絡主線,2.創(chuàng)新幾何直觀運用的教學設計,（1）巧用幾何直觀理解概念追問本質(zhì) （2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則追問源頭 （3）巧用幾何直觀明晰算理追問思想 （4）巧用幾何直觀探尋思路還原本真,（1）巧用幾何直觀理解概念追問本質(zhì),動 態(tài) 呈 現(xiàn),動 態(tài) 呈 現(xiàn),（1）巧用幾何直觀理解概念追問本質(zhì),動 態(tài) 呈 現(xiàn),（1）巧用幾何直觀理解概念追問本質(zhì),反 面 干 擾,（1）巧用幾何直觀理解概念追問本質(zhì),反 面 干 擾,（1）巧用幾何直觀理解概念,反 面 干 擾,（1）巧用幾何直觀理解概念追問本質(zhì)

9、,外 延 拓 展,小紅打一份材料用0.5小時,小麗打相同的材料用1/3小時,（1）巧用幾何直觀理解概念追問本質(zhì),（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則追問源頭,（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則追問源頭,能被2、3、5整除的數(shù)，為什么2、5的倍數(shù)看個位？為什么3的倍數(shù)要看各數(shù)位上的數(shù)字之和？,36,236,（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則追問源頭,54,（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則追問源頭,123,比例的基本性質(zhì) ？ 乘法分配律 ？,（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則追問源頭,分數(shù)除法，為什么除以一個 數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)？,（2）巧用幾何直觀明晰算理追問思想,例1：小明2/3小時走2千米，每小時走幾千米？,師追問：假如不能整

10、除的怎么辦，如37/8？ 怎么利用上節(jié)課的方法進行算式“變形運算”呢？ 說明：學生在上節(jié)課“分數(shù)除以整數(shù)”的學習中已經(jīng)掌握如“4/534/51/3”、“ABA1/B（B0）”的計算方法。 結(jié)合學生的回答板書： 22/322321/2323/2 37/837831/7838/7,幾何直觀 數(shù)的變形運算,例2：課件動態(tài)演示“做花”的情境：3/4張紙做了6朵花。,師：你看懂了什么？ 生1：3/4張紙做了6朵花。 生2：一張紙平均分成4份，其中的3份做6朵花，一張紙可以做幾朵花？ 出示題：3/4張紙做了6朵花，一張紙可以做多少朵花？（生列式） 師：63/4，怎么算？ 生：前面的分數(shù)除以整數(shù)，是乘一個數(shù)

11、的倒數(shù)。我想這個也是，我用“以此類推”的方法轉(zhuǎn)化為乘法，64/3。（很多學生點頭贊同） 師：你們認為這個方法是正確的？,師：哦，那你們能不能想一些方法，證明這個結(jié)果是正確的？靜靜地想一會兒，把所有能想到的方法都記錄下來。 教師特意準備了劃成6格的練習紙，方便學生記錄不同的思路。學生自主嘗試，教師巡視搜集各種思路，整體投影呈現(xiàn)學生的方法： 師：這些方法，哪些你也想到了，哪些你現(xiàn)在能看懂？哪些算法之間有相似之處？說給同桌聽。 師：哪些算法大家看不懂，需要提出來討論的？ （大部分學生表示第種和第種比較難理解。） 師：有沒有同學可以看懂呢？生：,師：明白了，根據(jù)學過的知識轉(zhuǎn)化為我們學過的算式來解決。那

12、剩下的都能看懂嗎？哪些方法是相似的？ 生1：第和第種是相似的，一個分步，一個綜合。 生2：我覺得是一樣的，因為第種是直接把3/4化成小數(shù)，思考方法一樣，都是化成已經(jīng)學過的來解決。 生3：第種是我的，我還沒寫完整，我想在旁邊寫一句話， 如果把一張紙平均分成4份，3/4張紙做6朵，那么每1/4張紙 可以做2朵，所以整張紙可以做8朵。,師：太棒了！看來這些方法的確有相似的地方，第種方法中的63就是第種方法中的61/3?，F(xiàn)在，我們可以證明，剛才嘗試計算時得出的結(jié)果“8”確實是正確的。那么，你能在這些方法中找到“64/3”嗎？ 生1：第種方法中的“1/34”其實就是“4/3”。 生2：第種方法中，6平均

13、分成3份，就是61/34，也能找到“64/3”。 生3：那么，第種也可以轉(zhuǎn)化為61/34，也能找到“64/3”。 生4：第種也是。 生5：第種，除數(shù)化成1后，被除數(shù)的部分就是64/3。 師：看來，我們不僅驗證了“8”這個結(jié)果是正確的，還證明 了以此類推的計算方法“64/3”也是正確的。,比較兩種教法 1. 幾何直觀的作用 理解算理創(chuàng)設情境，引出算式 2. “數(shù)的變形運算”成分（化歸思想） 僅在小結(jié)時出現(xiàn)作為全課重點,還 原 本 真,（4）巧用幾何直觀探尋思路,（4）巧用幾何直觀探尋思路還原本真,例1：小明前三次數(shù)學考試的平均成績是分，第四次的成績比四次平均成績高分，小明第四次數(shù)學考試的成績是多少分？,（分） （分）,例2：一個正方形的小果園，周長是20米。如果每4平方米種一棵桃樹，這個果園一共可以種多少棵桃樹？,（4）巧用幾何直觀探尋思路還原本真,2045（米），5525（米2），2546（棵）1（米2）,例3：在一個長6分米、寬4分米、高5分米的