【全程復(fù)習(xí)方略】（浙江專用）2013版高考數(shù)學(xué) 2.7冪函數(shù)配套課件 理 新人教A版

1、第七節(jié) 冪函數(shù),三年1考 高考指數(shù): 1.了解冪函數(shù)的概念； 2.結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的圖象，了解它們的變化情況.,1.高考主要考查冪函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，單獨考查的頻率較低. 2.常與函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等知識交匯命題. 3.題型多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬低中檔題.,1.冪函數(shù)的概念 (1)解析式：_ (2)自變量：_ (3)冪指數(shù)：_ (4)冪的系數(shù)：_,y=x,x,1,【即時應(yīng)用】 (1)判斷下列函數(shù)是否是冪函數(shù).（請在括號內(nèi)填“是”或“否”） y= ( ) y=2x-1( ) y=(x-1)2( ) y= ( ) (2)已知點M

2、( )在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達(dá)式為_.,【解析】(2)設(shè)f(x)=x(R),則 , 即 . ,得=-3,f(x)=x-3= . 答案：(1)是 否 否 是 (2)f(x)=,2.冪函數(shù)的圖象 冪函數(shù)y=x、y= 、y=x2、y=x-1、y=x3的圖象如下：,y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=x-1,y=x-1,【即時應(yīng)用】 (1)判斷下列命題是否正確.（請在括號內(nèi)填“”或“”） 冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（1，1）和點（0，0）；( ) 冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限；( ) n=0時，函數(shù)y=xn的圖象是一條直線；( ) 冪函數(shù)y=xn，當(dāng)n0時是增函數(shù)；( ) 冪函數(shù)y=

3、xn，當(dāng)n0時，在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而 減小. ( ),(2)圖中所示曲線為冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象，則c1、c2、c3、c4的大小關(guān)系是_.,【解析】(1)當(dāng)0時，冪函數(shù)不過點(0,0)，故錯，正確.當(dāng)x=0時無意義，所以錯.當(dāng)n=2時，函數(shù)在定義域上不單調(diào)，所以錯，正確. (2)由冪函數(shù)的圖象特點知，當(dāng)自變量x1時，冪指數(shù)大的函數(shù)值較大，故有c1c2c4c3. 答案：(1) (2)c1c2c4c3,3.冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的性質(zhì),R,R,R,0,+ ),R,0,+ ),R,0,+ ),奇,偶,奇,非奇非偶,奇,增,增,增,（1，1）,【即時應(yīng)

4、用】 (1)判斷下列函數(shù)在(-,0)上是否是單調(diào)遞減的函數(shù)（請在括號中填“是”或“否”）. f(x)=x-2( ),f(x)=x-1( ), f(x)= ( ),f(x)=x3( ) (2)設(shè)-1,1, ,3,則使函數(shù)y=x的定義域為R且為奇函數(shù)的所有值為_.,【解析】(1)結(jié)合各函數(shù)的簡圖可知在(-,0)上單調(diào)遞減. (2)經(jīng)驗證知1，3符合. 答案：(1)否 是 否 否 (2)1，3,冪函數(shù)概念的應(yīng)用 【方法點睛】 1.冪函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征 (1)指數(shù)為常數(shù)； (2)底數(shù)為自變量x； (3)冪系數(shù)為1.,2.判定及應(yīng)用冪函數(shù)的方法 要判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)，只需判斷該函數(shù)的解析式是否滿

5、足1中的三個特征. 【提醒】區(qū)分冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵是自變量的位置在底數(shù)上還是在指數(shù)上.,【例1】已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m為何值時，f(x)： (1)是冪函數(shù)； (2)是冪函數(shù)，且是（0，+）上的增函數(shù)； (3)是正比例函數(shù)； (4)是反比例函數(shù). 【解題指南】利用冪函數(shù)必須滿足的三個特征，構(gòu)建關(guān)于m的式子求解(1)(2)；利用正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的定義，構(gòu)建關(guān)于m的方程，求解(3)(4).,【規(guī)范解答】(1)f(x)是冪函數(shù)，故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1. (2)若f(x)是冪函數(shù)，且又是(0,+)上的增函數(shù)， 則 m=-1. (

6、3)若f(x)是正比例函數(shù)， 則-5m-3=1,解得m= . 此時m2-m-10,故m= . (4)若f(x)是反比例函數(shù)，則-5m-3=-1, 則m= ，此時m2-m-10,故m= .,【互動探究】若本例中的函數(shù)f(x)為二次函數(shù)，則m為何值？ 【解析】若f(x)是二次函數(shù)，則-5m-3=2,即m=-1,此時m2-m-10,故m=-1.,【反思感悟】冪函數(shù)y=x(R)，其中為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)為常數(shù)，這是判斷一個函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn).應(yīng)當(dāng)注意并不是任意的一次函數(shù)、二次函數(shù)都是冪函數(shù)，如y=x+1,y=x2-2x等都不是冪函數(shù).,【變式訓(xùn)練】已知f(x)

7、=(m2+2m) ，m為何值時，f(x)是： (1)正比例函數(shù)； (2)反比例函數(shù)； (3)二次函數(shù)； (4)冪函數(shù) 【解析】(1)若f(x)=(m2+2m) 為正比例函數(shù)，則 解之得：m=1；,(2)若f(x)=(m2+2m) 為反比例函數(shù)，則 解之得：m=1； (3)若f(x)=(m2+2m) 為二次函數(shù)，則 解之得：m= ； (4)若f(x)=(m2+2m) 為冪函數(shù)，則 m2+2m=1，解之得：m= .,冪函數(shù)的圖象與應(yīng)用 【方法點睛】 冪函數(shù)y=x圖象的特征 (1)的正負(fù)：0時，圖象過原點和（1，1），在第一象限的圖象上升；1時，曲線下凸； 01時，曲線上凸；0時，曲線下凸.,(3)

8、冪函數(shù)的圖象最多只能出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)； (4)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點.,【例2】若點( )在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(2， )在冪函 數(shù)g(x)的圖象上，定義h(x)= 試求函數(shù)h(x) 的最大值以及單調(diào)區(qū)間. 【解題指南】本題是求函數(shù)h(x)的最大值以及單調(diào)區(qū)間，只需作出其圖象,數(shù)形結(jié)合求解即可，但由于在條件中已知函數(shù)h(x)在相應(yīng)段上的解析式，所以，在求解方法上，應(yīng)在每一段上求最大值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時要注意函數(shù)端點值,【規(guī)范解答】設(shè)冪函數(shù)為f(x)=x，因為點( )在f(x)的圖象 上，所以 ，所以=2，即f(x)=x2；又設(shè)g(x)=x，點 (2， )在g(

9、x)的圖象上，所以(2)= ，所以=2， 即g(x)=x2.在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象，,如圖所示：,-1,O,y,x,1,1,f(x),g(x),g(x),f(x),則有：h(x)= 根據(jù)圖象可知：函數(shù)的最 大值等于1，單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)和(0，1)，單調(diào)遞減區(qū) 間是(1，0)和(1，+).,【反思感悟】解決與冪函數(shù)圖象有關(guān)的問題，常利用其單調(diào)性、奇偶性、最值（值域）等性質(zhì)去確認(rèn)與應(yīng)用，而與冪函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的性質(zhì)的研究，常利用其相應(yīng)冪函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解.,【變式訓(xùn)練】冪函數(shù)y= (mZ)的圖 象如圖所示，則m的值為( ) (A)0(B)1 (C)2(D)3

10、【解析】選C.y= (mZ)的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點，m2- 4m0，即0m4， 又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且mZ， m2-4m為偶數(shù)，因此m=2.,冪函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用 【方法點睛】 1.比較冪值大小的類型及方法 (1)當(dāng)冪的底數(shù)相同，指數(shù)不相同時，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較； (2)當(dāng)冪的底數(shù)不同，指數(shù)相同時，可以利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較；,(3)當(dāng)冪的底數(shù)與指數(shù)都不同時，一種方法是作商，比較商值與1的大小關(guān)系，確定兩個冪值的大小關(guān)系；另一種方法是找中介值，即找中間量，通過比較兩個冪值與中間量的大小，確定兩冪值的大小關(guān)系； (4)比較多個冪值的大小，一般也采用中間量法，即先判斷每個冪值與0、1

11、等數(shù)的大小關(guān)系，據(jù)此將它們分成若干組，然后將同一組內(nèi)的各數(shù)再比較大小，最后確定各數(shù)間的大小關(guān)系.,2.冪函數(shù)y=x的性質(zhì) (1)定義域、值域及奇偶性,要視的具體值而定. (2)當(dāng)0時，冪函數(shù)在（0，+）上是增函數(shù)，當(dāng)0時，冪函數(shù)在（0，+）上是減函數(shù).,【例3】(1)試比較0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的大小. (2)已知冪函數(shù)y=x3m-9（mN*）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0， +）上函數(shù)值隨x的增大而減小，求滿足 的a的取值范圍. 【解題指南】(1)前三個同指數(shù)的冪值用冪函數(shù)y=x0.2的單調(diào)性比較，而后兩個同底數(shù)的冪值利用指數(shù)函數(shù)y=2x的單調(diào)性比較. (2)利用冪函數(shù)

12、的性質(zhì)，構(gòu)建出m的不等式，并求出m的值，再根據(jù)其單調(diào)性，由關(guān)于a的已知不等式，構(gòu)建a的不等式，從而求出a的范圍.,【規(guī)范解答】(1)因為函數(shù)y=x0.2在R上為增函數(shù)， 且0.20.42,0.20.2 0.40.220.2, 又函數(shù)y=2x在R上為增函數(shù)，且0.21.6, 20.221.6,0.20.20.40.220.221.6. (2)函數(shù)在(0，+)上遞減， 3m-90，m3， mN*，m=1,2. 又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，3m-9為偶數(shù)，,當(dāng)m=1時,3m-9=-6為偶數(shù)， 當(dāng)m=2時,3m-9=-3為奇數(shù)， m=1, . 而y= 在（-,0），（0，+）上均為減函數(shù)， 等價于 a+

13、13-2a0或0a+13-2a或 a+103-2a，解得a-1或 ， a的取值范圍是a|a-1或 .,【互動探究】若滿足本例(2)中條件的冪函數(shù)為f(x)，討論函數(shù)g(x)=af(x)6 的奇偶性（其中a,bR）. 【解析】由本例(2)的解析知f(x)= , f(x)6=x-2= , g(x)= -bx3,則g(-x)= +bx3. 當(dāng)a0,b0時，g(x)為非奇非偶函數(shù)； 當(dāng)a=0,b0時，g(x)為奇函數(shù)； 當(dāng)a0,b=0時，g(x)為偶函數(shù)； 當(dāng)a=0,b=0時，g(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).,【反思感悟】1.有關(guān)冪值的大小比較，可結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.

14、2.本例(2)集冪函數(shù)的概念、圖象及單調(diào)性、奇偶性于一體，綜合性較強，解答該類問題的關(guān)鍵是弄清冪函數(shù)的概念及性質(zhì)，構(gòu)建待求參數(shù)的方程或不等式并注意對參數(shù)的討論，來求解問題.,【變式備選】1.已知函數(shù)f(x)= . (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)比較f(-)與f( )的大小. 【解析】(1)f(x)= ,其 圖象可由冪函數(shù)y=x-2向左平移2個單位，再 向上平移1個單位得到，如圖，所以該函數(shù)在 （-2，+)上是減函數(shù)，在（-,-2)上是增函數(shù).,(2)圖象關(guān)于直線x=-2對稱， 又-2-（-)=-2f( ).,2.已知冪函數(shù)f(x)= (mN*) (1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在

15、其定義域上的單調(diào) 性； (2)若該函數(shù)還經(jīng)過點( )，試確定m的值，并求滿足條件f(2 a)f(a1)的實數(shù)a的取值范圍.,【解析】(1)m2+m=m(m+1)(mN*)， 而m與m+1中必有一個為偶數(shù)， m2+m為偶數(shù)， 函數(shù)f(x)= (mN*)的定義域為 0，+)，并且該函數(shù)在0，+)上為增函數(shù)；,(2)函數(shù)還經(jīng)過點( )， ，即 ， m2+m=2，解得：m=1或m=2， 又mN*，m=1，f(x)= . 又f(2a)f(a1), 解得：1af(a1)的實數(shù)a的取值范圍為a|1a .,【易錯誤區(qū)】冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用誤區(qū) 【典例】(2012南京模擬）已知冪函數(shù)y= （mZ）的圖象與x軸

16、、y軸都無公共點，且關(guān)于y軸對稱，則m的值為_，冪函數(shù)的解析式為_. 【解題指南】先根據(jù)冪函數(shù)的圖象與x軸、y軸都無公共點這一條件構(gòu)建關(guān)于m的不等式求出m的取值范圍，再根據(jù)冪函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，確定出m的具體值，從而得到冪函數(shù)的解析式.,【規(guī)范解答】因為冪函數(shù)y= (mZ)的圖象與x軸、y軸都無公共點. 所以m2-2m-30,解得-1m3. 又mZ,m=-1,0,1,2,3,而y= 的圖象又關(guān)于y軸對稱，m2-2m-3為偶數(shù). 當(dāng)m=-1時，m2-2m-3=0，為偶數(shù)； 當(dāng)m=0時，m2-2m-3=-3，為奇數(shù)；,當(dāng)m=1時，m2-2m-3=-4，為偶數(shù)； 當(dāng)m=2時，m2-2m-3=-3，為奇數(shù)； 當(dāng)m=3時，m2-2m-3=0，為偶數(shù). 綜上m=-1,1,3. 故冪函數(shù)的解析式為y=x-4或y=1（x0）. 答案：-1或1或3 y=x-4或y=1(x0),【閱卷人點撥】通過對試卷及閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議：,1.(2011陜西高考）函數(shù)y= 的圖象是( ) 【解析】選B.因為當(dāng)x1時，x ；當(dāng)x=1時，x= ,所以A、C、D錯誤，故選B.,2.(2012哈爾濱模擬）冪函數(shù)f(x)=x3m-5(mN)在(0,+)上是減函數(shù)，且f(-x)=f(x)，則m