2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.7 柱、錐、臺(tái)和球的體積學(xué)案 新人教B版必修2

1、11.7柱、錐、臺(tái)和球的體積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解祖暅原理的內(nèi)容.2.了解柱、錐、臺(tái)體的體積公式的推導(dǎo).3.掌握柱、錐、臺(tái)和球的體積公式知識(shí)點(diǎn)一祖暅原理思考取一摞紙張堆放在桌面上(如圖所示) ，并改變它們的放置方法，觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化？從這個(gè)事實(shí)中你得到什么啟發(fā)？梳理祖暅原理的含義及應(yīng)用(1)內(nèi)容：冪勢(shì)既同，則積不容異(2)含義：夾在_的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的_所截，如果截得的_，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等(3)應(yīng)用：_的兩個(gè)柱體或錐體的體積相等知識(shí)點(diǎn)二柱、錐、臺(tái)、球的體積公式思考已知直四棱柱A1B1C1D1ABCD，底面ABCD為矩形ABa，ADb，AA1c，則四棱柱A1B1

2、C1D1ABCD與三棱錐A1ABCD的體積分別為多少？梳理柱、錐、臺(tái)、球的體積公式名稱體積(V)柱體棱柱圓柱錐體棱錐圓錐臺(tái)體棱臺(tái)圓臺(tái)球其中S、S分別表示上、下底面的面積，h表示高，r和r分別表示上、下底面的半徑，R表示球的半徑類型一柱體、錐體、臺(tái)體的體積例1一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A22 B42C2 D4反思與感悟(1)求簡(jiǎn)單幾何體的體積若所給的幾何體為柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式求解(2)求以三視圖為背景的幾何體的體積應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解跟蹤訓(xùn)練1(1)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_(kāi)m3.(2)已知

3、一個(gè)三棱臺(tái)上、下底面分別是邊長(zhǎng)為20 cm和30 cm的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺(tái)的高和體積類型二球的體積例2(1)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為()A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3(2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的體積為_(kāi)反思與感悟(1)求球的體積，關(guān)鍵是求球的半徑R.(2)球與其他幾何體組合的問(wèn)題，往往需要作截面來(lái)解決，所作的截面盡可能過(guò)球心、切點(diǎn)、接點(diǎn)

4、等跟蹤訓(xùn)練2(1)一平面截一球得到直徑為2 cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是2 cm，則該球的體積是()A12 cm3 B36 cm3C64 cm3 D108 cm3(2)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()Aa2 B.a2C.a2 D5a2類型三幾何體體積的求法例3如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐ADED1的體積為_(kāi)反思與感悟(1)利用轉(zhuǎn)換底面以便于找到幾何體的高，從而求出幾何體的體積(2)利用等體積法可求點(diǎn)到平面的距離跟蹤訓(xùn)練3如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求點(diǎn)A到平面

5、A1BD的距離d.例4如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積反思與感悟當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí)，無(wú)法直接運(yùn)用體積公式求解，這時(shí)一般通過(guò)分割與補(bǔ)形，將原幾何體分割或補(bǔ)形成較易計(jì)算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積跟蹤訓(xùn)練4如圖，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長(zhǎng)母線長(zhǎng)分別為2和3，求該幾何體的體積1.已知高為3的棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1ABC的體積為()A. B.C. D.2一個(gè)球的表面積是16，則它的體積是()A64

6、 B.C32 D.3現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6 cm，高為20 cm的圓錐形鉛錘，鉛錘完全浸沒(méi)在水中當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降()A0.6 cm B0.15 cmC1.2 cm D0.3 cm4圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是16，則圓錐的體積是()A. B.C64 D1285某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_1計(jì)算柱體、錐體和臺(tái)體的體積時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題旋轉(zhuǎn)體的軸截面是用過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體而得到的截面例如，圓柱的軸

7、截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形，球的軸截面是過(guò)球心的平面截球所得的圓面2在求不規(guī)則的幾何體的體積時(shí)，可利用分割幾何體或補(bǔ)全幾何體的方法轉(zhuǎn)化為柱、錐、臺(tái)、球的體積計(jì)算問(wèn)題答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考體積沒(méi)有發(fā)生變化，從這個(gè)事實(shí)中能夠猜測(cè)出兩等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等梳理(2)兩個(gè)平行平面間任意平面兩個(gè)截面的面積總相等(3)等底面積、等高知識(shí)點(diǎn)二思考abc，abc.梳理VShVr2hVShVr2hVh(S S)Vh(r2rrr2)VR3題型探究例1C該空間幾何體由一圓柱和一正四棱錐組成，圓柱底面半徑為1，高為2，體積為2，

8、四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，所以體積為()2，所以該幾何體的體積為2.跟蹤訓(xùn)練1(1)解析根據(jù)三視圖知，該幾何體上部是一個(gè)底面直徑為4 m，高為2 m的圓錐，下部是一個(gè)底面直徑為2 m，高為4 m的圓柱故該幾何體的體積V222124(m3)(2)解如圖，在三棱臺(tái)ABCABC中，取上、下底面的中心分別為O，O，BC，BC的中點(diǎn)分別為D，D，則DD是梯形BCCB的高所以S側(cè)3(2030)DD75DD.又因?yàn)锳B20 cm，AB30 cm，則上、下底面面積之和為S上S下(202302)325(cm2)由S側(cè)S上S下，得75DD325，所以DD(cm)，OD20(cm)，OD305(cm)，所以棱臺(tái)的高

9、hOO 4(cm)由棱臺(tái)的體積公式，可得棱臺(tái)的體積為V(S上S下)(2023022030)1 900(cm3)例2(1)A作出該球軸的截面如圖所示，依題意BE2，AECE4，設(shè)DEx，故AD2x，因?yàn)锳D2AE2DE2，解得x3，故該球的半徑AD5，所以VR3 (cm3)(2)a3解析長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是其外接球的直徑，由長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為a，得球的半徑為a，V(a)3a3.跟蹤訓(xùn)練2(1)B設(shè)球心為O，截面圓心為O1，連接OO1，則OO1垂直于截面圓O1，如圖所示在RtOO1A中，O1A cm，OO12 cm，球的半徑ROA3(cm)，球的體積V3336(cm3)(2)B由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，均為a.如圖，P為三棱柱上底面的中心，O為球心，易知APaa，OPa，所以球的半徑R滿足R2OA2(a)2(a)2a2，故S球4R2a2.例3解析111.跟蹤訓(xùn)練3解在三棱錐A1ABD中，AA1平面ABD，ABADAA1a，A1BBDA1Da，a2aaad，da.例4解如圖，連接EB，EC.四棱錐EABCD的體積V四棱錐EABCD42316.AB2EF，EFAB，SEAB2SBEF，V三棱錐FEBCV三棱錐CEFBV三棱錐CABEV三棱錐EABCV四棱錐EABCD4.多面體的體積VV四棱錐EABCDV三棱錐FEBC16420.跟蹤訓(xùn)練4解用一