2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量 第3講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用學(xué)案

1、第3講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用板塊一知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)必備知識(shí)考點(diǎn)1數(shù)量積的有關(guān)概念1兩個(gè)非零向量a與b，過(guò)O點(diǎn)作a，b，則AOB，叫做向量a與b的夾角；范圍是0180.2a與b的夾角為90度時(shí)，叫ab.3若a與b的夾角為，則ab|a|b|cos.4若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.5a在b的方向上的投影為|a|cos.6若a(x1，y1)，b(x2，y2)，夾角為，則|a|，cos.abx1x2y1y20.abx1y2x2y10.考點(diǎn)2數(shù)量積滿足的運(yùn)算律已知向量a，b，c和實(shí)數(shù)，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：1abba.2(a)b(ab)a(b)3(ab)cacbc.

2、必會(huì)結(jié)論1設(shè)e是單位向量，且e與a的夾角為，則eaae|a|cos；2當(dāng)a與b同向時(shí)，ab|a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab|a|b|，特別地，aaa2或|a|；3ab|a|b|.考點(diǎn)自測(cè)1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)向量()(2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影也是向量()(3)若ab0，則a和b的夾角為銳角；若ab0，則a和b的夾角為鈍角()(4)若ab0，則a0或b0.()(5)(ab)ca(bc)()(6)若abac(a0)，則bc.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)22018重慶模擬已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，

3、且(2a3b)c，則實(shí)數(shù)k()A B0 C3 D.答案C解析因?yàn)?a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3.選C.32017全國(guó)卷已知向量a，b的夾角為60，|a|2, |b|1，則|a2b|_.答案2解析解法一：|a2b|2.解法二：(數(shù)形結(jié)合法)由|a|2b|2，知以a與2b為鄰邊可作出邊長(zhǎng)為2的菱形OACB，如圖，則|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.42018濟(jì)南模擬已知向量|b|3，ab12, 則向量a在向量b方向上的投影是_答案4解析因?yàn)橄蛄縷b|3，ab12，則向量a在向量b方向上的投影是4.52016北京高考已知向量a(1，)，

4、b(，1)，則a與b夾角的大小為_答案解析ab2，cosa，b，又a，b0，a，b.6課本改編已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為_；的最大值為_答案11解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示則D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)設(shè)E(1，a)(0a1)，所以(1，a)(1,0)1，(1，a)(0,1)a1.故的最大值為1.板塊二典例探究考向突破考向平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例1(1)2016山東高考已知非零向量m，n滿足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，則實(shí)數(shù)t的值為()A4 B4 C. D答案B解析因?yàn)閚(tmn)，所以tmnn20

5、，所以mn，又4|m|3|n|，所以cosm，n，所以t4.故選B.(2)2017北京高考已知點(diǎn)P在圓x2y21上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)，O為原點(diǎn)，則的最大值為_答案6解析解法一：根據(jù)題意作出圖象，如圖所示，A(2,0)，P(x，y)由點(diǎn)P向x軸作垂線交x軸于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,0)|cos，|2，|，cos，所以2(x2)2x4.點(diǎn)P在圓x2y21上，所以x1,1所以的最大值為246.解法二：如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2y21上，所以可設(shè)P(cos，sin)(02)，所以(2,0)，(cos2，sin)，2cos4246，當(dāng)且僅當(dāng)cos1，即0，P(1,0)時(shí)“”號(hào)成立觸類旁通向量數(shù)量

6、積的兩種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.【變式訓(xùn)練1】(1)2018湖北模擬已知點(diǎn)A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A. B. C D答案A解析(2,1)，(5,5)，由定義知在方向上的投影為.(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則_.答案2解析解法一：()2222222.解法二：以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，可得A(0,0)，E(1,2)，B(2,0)，C(2,2

7、)，D(0,2)，(1,2)，(2,2)，則(1,2)(2,2)1(2)222.考向平面向量數(shù)量積的性質(zhì)命題角度1平面向量的垂直例2(1)如圖所示，在ABC中，ADAB，|1，則()A2 B. C. D.答案D解析()|cosBDA|2.(2)2017全國(guó)卷已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab與a垂直，則m_.答案7解析a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3)又ab 與a垂直，(ab)a0，即(m1)(1)320，解得m7.命題角度2平面向量的模例3(1)2018濟(jì)南模擬設(shè)向量a，b滿足|a|1，|ab|，a(ab)0，則|2ab|()A2 B2 C4 D4答案B解析

8、a(ab)0，a2ab1，|ab|2a22abb23，b24，|2ab|2.故選B.(2)已知向量a與b的夾角為120，|a|3，|ab|，則|b|等于()A5 B4 C3 D1答案B解析|ab|2(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos120|b|23223|b|b|293|b|b|213，即|b|23|b|40，解得|b|4或|b|1(舍去)命題角度3平面向量的夾角例4(1)已知平面向量a，b，|a|1，|b|，且|2ab|，則向量a與向量ab的夾角為()A. B. C. D答案B解析由題意，得|2ab|244ab37，所以ab0，所以a(ab)1，且|ab|2，故cosa，ab

9、，所以a，ab.故選B.(2)2017山東高考已知e1，e2是互相垂直的單位向量若e1e2與e1e2的夾角為60，則實(shí)數(shù)的值是_答案解析由題意知|e1|e2|1，e1e20，|e1e2| 2.同理|e1e2|.所以cos60，解得.觸類旁通平面向量數(shù)量積求解問(wèn)題的策略(1)求兩向量的夾角：cos，要注意0，(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法有：a2aa|a|2或|a|；|ab|；若a(x，y)，則|a|.考向向量運(yùn)算的最值或取值范圍例52018福建質(zhì)檢平行四邊形ABCD中，AB4，AD2，4，點(diǎn)P在邊

10、CD上，則的取值范圍是()A1,8 B1，)C0,8 D1,0答案A解析由題意得|cosBAD4，解得BAD.以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(4,0)，C(5，)，D(1，)，因?yàn)辄c(diǎn)P在邊CD上，所以不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，)(1a5)，則(a，)(4a，)a24a3(a2)21，則當(dāng)a2 時(shí)，取得最小值1，當(dāng)a5時(shí)，取得最大值8.故選A.觸類旁通求向量的最值或范圍問(wèn)題求最值或取值范圍必須有函數(shù)或不等式，因此，對(duì)于題目中給出的條件，要結(jié)合要求的夾角或長(zhǎng)度或其他量，得出相應(yīng)的不等式或函數(shù)(包括自變量的范圍)，然后利用相關(guān)知識(shí)求出最值或取值范圍【變式訓(xùn)練2】

11、在平行四邊形ABCD中，A，邊AB，AD的長(zhǎng)分別為2,1，若M，N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是_答案2,5解析設(shè)(01)，則，(1)(1)，則()()()(1)(1)22(1).又21cos1，24，21，225(1)26.01，25，即的取值范圍是2,5核心規(guī)律1計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算3利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問(wèn)題常用的方法與技巧滿分策略1數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，abac

12、(a0)不能得出bc，兩邊不能約去一個(gè)向量2向量夾角的概念要領(lǐng)會(huì)，比如正三角形ABC中，與的夾角應(yīng)為120，而不是60.3兩個(gè)向量的夾角為銳角，則有ab0，反之不成立；兩個(gè)向量夾角為鈍角，則有ab0)，則B(m,0)，C，因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以E.所以，.由1可得1，即2m2m0，所以m0(舍去)或m.故AB的長(zhǎng)為.板塊四模擬演練提能增分A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)12018許昌模擬設(shè)x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab|()A. B. C2 D10答案B解析由ac，得ac2x40，解得x2.由bc，得，解得y2.所以a(2,1)，b(1，2)，ab(3，1)，|a

13、b|.故選B.22015廣東高考在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，(1，2)，(2,1)，則()A5 B4 C3 D2答案A解析(1，2)(2,1)(3，1)，所以(2,1)(3，1)231(1)5.故選A.32016全國(guó)卷已知向量，則ABC()A30 B45 C60 D120答案A解析cosABC，所以ABC30.故選A.4已知|a|2|b|0，且關(guān)于x的方程x2|a|xab0有實(shí)根，則a與b的夾角的取值范圍是()A. B.C. D.答案B解析由于|a|2|b|0，且關(guān)于x的方程x2|a|xab0有實(shí)根，則|a|24ab0，即ab|a|2.設(shè)向量a與b的夾角為，則co

14、s，.故選B.5在ABC中，C90，且CACB3，點(diǎn)M滿足2，則()A18 B3 C15 D12答案A解析由題意可得ABC是等腰直角三角形，AB3，故()29()9299018.故選A.62018濟(jì)寧模擬平面四邊形ABCD中，0，()0，則四邊形ABCD是()A矩形 B正方形C菱形 D梯形答案C解析因?yàn)?，所以，所以四邊形ABCD是平行四邊形又()0，所以四邊形對(duì)角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形故選C.72018重慶模擬已知非零向量a，b滿足|b|4|a|，且a(2ab)，則a與b的夾角為()A. B. C. D.答案C解析a(2ab)，a(2ab)0，2|a|2ab0，即2|a|2|a

15、|b|cosa，b0.|b|4|a|，2|a|24|a|2cosa，b0，cosa，b，a，b.故選C.82018南寧模擬已知平面向量，且|1，|2，(2)，則|2|_.答案解析由(2)得(2)220，所以，所以(2)2422441222410，所以|2|.92018北京東城檢測(cè)已知平面向量a(2,4)，b(1，2)，若ca(ab)b，則|c|_.答案8解析由題意可得ab214(2)6，ca(ab)ba6b(2,4)6(1，2)(8，8)，|c|8.10如圖，在ABC中，AB3，AC2，D是邊BC的中點(diǎn)，則_.答案解析利用向量的加減法法則可知()()(22).B級(jí)知能提升12018石家莊模擬在

16、ABC中，AB4，AC3，1，則BC()A. B. C2 D3答案D解析設(shè)A，因?yàn)椋珹B4，AC3，所以291.8.cos，所以BC3.故選D.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知(3，1)，(0,2)若0，則實(shí)數(shù)的值為_答案2解析由已知得(3,3)，設(shè)C(x，y)，則3x3y0，所以xy.(x3，y1)又，即(x3，y1)(0,2)，所以由xy得，y3，所以2.32018東營(yíng)模擬若兩個(gè)非零向量a，b滿足|ab|ab|2|a|，則向量ab與a的夾角為_答案解析由|ab|ab|，得a22abb2a22abb2，即ab0，所以(ab)aa2ab|a|2.故向量ab與a的夾角的余弦值為cos.又0，所以.4已知a(1,2)，b(1,1)，且a與ab的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍解a與ab均為非零向量，且夾角為銳角，a(ab)0，即(1,2)(1，2)0.(1)2(2)0.當(dāng)a與ab共線時(shí)，存在實(shí)數(shù)m，使abma，即(1，2)m(1,