高數(shù)二、最大值與最小.ppt

1、二、最大值與最小值問(wèn)題,則其最值只能,在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到 .,求函數(shù)最值的方法:,(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn),(2) 最大值,最小值,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,特別:,當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),當(dāng) 在 上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.,若在此點(diǎn)取極大 值 , 則也是最大 值 .,(小),對(duì)應(yīng)用問(wèn)題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的,可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .,(小),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3. 求函數(shù),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值 .,解: 顯然,且,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,故函數(shù)在,取最小值 0 ;

2、,因此也可通過(guò),例3. 求函數(shù),說(shuō)明:,求最值點(diǎn).,與,最值點(diǎn)相同 ,由于,令,( 自己練習(xí) ),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠(chǎng)C 距 A 處20,AC AB ,要在 AB 線(xiàn)上選定一點(diǎn) D 向工廠(chǎng)修一條,已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為 3:5 ,為使貨,物從B 運(yùn)到工廠(chǎng)C 的運(yùn)費(fèi)最省,問(wèn)D 點(diǎn)應(yīng)如何選取?,Km ,公路,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解: 設(shè),則,令,得,又,所以 為唯一的,極小點(diǎn) ,故 AD =15 km 時(shí)運(yùn)費(fèi)最省 .,總運(yùn)費(fèi),從而為最小點(diǎn) ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

3、 結(jié)束,( k 為某一常數(shù) ),例5. 要做一個(gè)上、下 均有底的圓柱型容器，容積是常量V0，問(wèn)底半徑r為多大時(shí)，容器表面積最?。?解: 設(shè)容器的高為h，則容器的表面積,又因?yàn)?令,得,得目標(biāo)函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,故 表面積最小，為 .,例6. 一個(gè)頂角為900 的圓錐形內(nèi)盛有V0L水，現(xiàn)往里灌水，從時(shí)刻t0到時(shí)刻t時(shí)灌入的水量為at2(a0)L，問(wèn)何時(shí)水深h上升的速度最快？,解: 設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，水深為h，水面半徑為r，則水的體積為,又因?yàn)?得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,得目標(biāo)函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,令,得唯一駐點(diǎn),由題意，目標(biāo)函數(shù)的最大值存在，且

4、駐點(diǎn)唯一，故,時(shí)，水深h上升的速度最快。,例7. 某工廠(chǎng)生產(chǎn)電視機(jī)，固定成本a元，每生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)，成本增加b元，已知總收益R是年產(chǎn)量x的函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,問(wèn)每年生產(chǎn)多少臺(tái)時(shí)，總利潤(rùn)最大，為多少？,解: 根據(jù)題意總成本C是年產(chǎn)量x的函數(shù)，得,總利潤(rùn)=總收益總成本,所以L(fǎng)（x）有唯一駐點(diǎn)x3b,所以當(dāng)年產(chǎn)量x3b時(shí)，總利潤(rùn)最大，為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 連續(xù)函數(shù)的極值,(1) 極值可疑點(diǎn) :,使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn),(2) 第一充分條件,過(guò),由正變負(fù),為極大值,過(guò),由負(fù)變正,為極小值,(3) 第二充分條件,為極大值,為極小值,(4) 判別法

5、的推廣 ( Th.3),定理3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找 ;,應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判別 .,思考與練習(xí),2. 連續(xù)函數(shù)的最值,1. 設(shè),則在點(diǎn) a 處( ).,的導(dǎo)數(shù)存在 ,取得極大值 ;,取得極小值;,的導(dǎo)數(shù)不存在.,B,提示: 利用極限的保號(hào)性 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 設(shè),(A) 不可導(dǎo) ;,(B) 可導(dǎo), 且,(C) 取得極大值 ;,(D) 取得極小值 .,D,提示: 利用極限的保號(hào)性 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3. 設(shè),是方程,的一個(gè)解,若,且,(A) 取得極大值 ;,(B) 取得極小值 ;,(C) 在某鄰域內(nèi)

6、單調(diào)增加 ;,(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .,提示:,A,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,試問(wèn),為何值時(shí),還是極小.,解:,由題意應(yīng)有,又,取得極大值為,備用題 1.,求出該極值,并指出它是極大,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,試求,解:,2.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,故所求最大值為,例5. 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁 ,問(wèn)矩形截面,的高 h 和 b 應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?,解: 由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為,令,得,從而有,即,由實(shí)際意義可知 , 所求最值存在 ,駐點(diǎn)只一個(gè),故所求,結(jié)果就是最好的選擇 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,用開(kāi)始移動(dòng),例6. 設(shè)有質(zhì)量為 5 kg 的物體置于水平面上 , 受力 作,解: 克服摩擦的水平分力,正壓力,即,令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求,的最大值問(wèn)題 ., 為多少時(shí)才可使力,設(shè)摩擦系數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,的大小最小?,令,解得,而,因而 F 取最小值 .,解:,即,令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求,的最大值問(wèn)題 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,清楚(視角 最大) ?,觀察者的眼睛1.8 m ,例7. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上 , 它的底邊高于,解: 設(shè)觀察者與