第三章 4.1單調(diào)性及其判定.ppt

1、單調(diào)性及其判定,一、單調(diào)性的判別法,函數(shù)在某區(qū)間上是否具有單調(diào)性是我們?cè)谘芯?函數(shù)的性態(tài)時(shí)，首先關(guān)注的問題。第一章中已經(jīng)給出了函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)的定義，但利用定義來判定函數(shù)的單調(diào)性卻是很不方便的。,從幾何圖形上看，表示單調(diào)函數(shù)的曲線當(dāng)自變量 在單調(diào)區(qū)間內(nèi)按增加方向變動(dòng)時(shí)，曲線總是上升（下降）的。進(jìn)一步若曲線在某區(qū)間內(nèi)每點(diǎn)處的切線斜率都為正（負(fù)），即切線的傾角全為銳（鈍）角，曲線就是上升（下降）的,這就啟示我們：能否利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定單調(diào)性 ？回答是肯定的。,定理,證,應(yīng)用拉氏定理,得,注,此判定法則對(duì)其它各種類型的區(qū)間仍適用,例1,解,注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間

2、上的符號(hào)來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性,二、單調(diào)區(qū)間求法,問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào),定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.,導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn),方法:,例2,解,單調(diào)區(qū)間為,例3,解,單調(diào)區(qū)間為,例4,證,注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.,例如,例5,證明,證,例6,分析,如圖所示,結(jié)論是顯然的,證一,總之有,證二,或令,例7,證,或,利用單調(diào)性證明不等式的步驟：,將要證的不等式作 恒等變形（通常是移項(xiàng)）使 一端為0另一端即為所作的輔助函數(shù)f(x),與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值或極限值作比較即得證,三、小結(jié),單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.,定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.,應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.,思考題,思考題解答,不能斷定.,例,但,