【高中數(shù)學(xué)】 3.3.1兩條直線的交點坐標教案 新人教A版必修2

1、3.3.1 兩條直線的交點坐標【教學(xué)目標】1.掌握兩直線方程聯(lián)立方程組解的情況與兩直線不同位置的對立關(guān)系，并且會通過直線方程系數(shù)判定解的情況，2.當兩條直線相交時，會求交點坐標.3.學(xué)生通過一般形式的直線方程解的討論，加深對解析法的理解，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化能力.【重點難點】教學(xué)重點:根據(jù)直線的方程判斷兩直線的位置關(guān)系和已知兩相交直線求交點.教學(xué)難點:對方程組系數(shù)的分類討論與兩直線位置關(guān)系對應(yīng)情況的理解.【教學(xué)過程】導(dǎo)入新課問題1.作出直角坐標系中兩條直線，移動其中一條直線，讓學(xué)生觀察這兩條直線的位置關(guān)系.課堂設(shè)問：由直線方程的概念，我們知道直線上的一點與二元一次方程的解的關(guān)系，那如果兩直線相交于一點，這

2、一點與這兩條直線的方程有何關(guān)系？你能求出它們的交點坐標嗎？說說你的看法.問題2.你認為該怎樣由直線的方程求出它們的交點坐標?這節(jié)課我們就來研究這個問題.新知探究提出問題已知兩直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判斷這兩條直線的關(guān)系？如果兩條直線相交，怎樣求交點坐標？交點坐標與二元一次方程組有什關(guān)系？解下列方程組(由學(xué)生完成)：(); (); ().如何根據(jù)兩直線的方程系數(shù)之間的關(guān)系來判定兩直線的位置關(guān)系？當變化時，方程3x+4y-2+(2x+y+2)=0表示什么圖形，圖形有什么特點？求出圖形的交點坐標.討論結(jié)果：教師引導(dǎo)學(xué)生先從點與直線的位置關(guān)系入手，看下表

3、，并填空.幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點AA(a，b)直線ll：Ax+By+C=0點A在直線上直線l1與l2的交點A學(xué)生進行分組討論，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出兩直線是否相交與其方程所組成的方程組的關(guān)系.設(shè)兩條直線的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如果這兩條直線相交,由于交點同時在這兩條直線上,交點的坐標一定是這兩個方程的唯一公共解,那么以這個解為坐標的點必是直線l1和l2的交點,因此,兩條直線是否有交點,就要看這兩條直線方程所組成的方程組是否有唯一解.()若二元一次方程組有唯一解，則l1與l2相交;()若二元一次方程組無解，則l1與l2平行;()若二元一次方程組有無數(shù)

4、解，則l1與l2重合.即直線l1、l2聯(lián)立得方程組 (代數(shù)問題) (幾何問題)引導(dǎo)學(xué)生觀察三組方程對應(yīng)系數(shù)比的特點：();();().一般地，對于直線l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C10,A2B2C20),有方程組.注意：(a)此關(guān)系不要求學(xué)生作詳細的推導(dǎo),因為過程比較繁雜，重在應(yīng)用.(b)如果A1,A2,B1,B2,C1,C2中有等于零的情況，方程比較簡單，兩條直線的位置關(guān)系很容易確定.(a)可以用信息技術(shù)，當取不同值時，通過各種圖形，經(jīng)過觀察，讓學(xué)生從直觀上得出結(jié)論，同時發(fā)現(xiàn)這些直線的共同特點是經(jīng)過同一點.(b)找出或猜想這個點的坐標，代入方程，得

5、出結(jié)論.(c)結(jié)論：方程表示經(jīng)過這兩條直線l1與l2的交點的直線的集合.應(yīng)用示例例1 求下列兩直線的交點坐標,l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.解:解方程組得x=-2，y=2，所以l1與l2的交點坐標為M(-2，2).變式訓(xùn)練 求經(jīng)過原點且經(jīng)過以下兩條直線的交點的直線方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.解:解方程組x-2y+2=0,2x-y-2=0,得x=2,y=2,所以l1與l2的交點是(2,2).設(shè)經(jīng)過原點的直線方程為y=kx,把點(2,2)的坐標代入以上方程,得k=1,所以所求直線方程為y=x.點評:此題為求直線交點與求直線方程的綜合運用,求解直線方程也

6、可應(yīng)用兩點式.例2 判斷下列各對直線的位置關(guān)系.如果相交，求出交點坐標(1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.(2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.(3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.活動：教師讓學(xué)生自己動手解方程組，看解題是否規(guī)范，條理是否清楚，表達是否簡潔，然后再進行講評.解:(1)解方程組得所以l1與l2相交,交點是(,).(2)解方程組2-得9=0,矛盾,方程組無解,所以兩直線無公共點,l1l2.(3)解方程組2得6x+8y-10=0.因此,和可以化成同一個方程,即和表示同一條直線,l1與l2重合.變式訓(xùn)練 判定下列各對直線的位置關(guān)

7、系，若相交，則求交點.(1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0.(2)l1:(-)x+y=7,l2:x+(+)y-6=0.(3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交點坐標為(2，1).例3 求經(jīng)過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y-1=0平行的直線方程.思路解析：根據(jù)本題的條件，一種思路是先求出交點坐標，再設(shè)所求直線的點斜式方程求出所要求的直線方程；另一種思路是利用直線系(平行系或過定點系)直接設(shè)出方程，根據(jù)條件求未知量，得出所求直線的方程.解：(方法一)由方程組得直線l和直線3x+y-1=0

8、平行，直線l的斜率k=-3.根據(jù)點斜式有y-()=-3x-()， 即所求直線方程為15x+5y+16=0.(方法二)直線l過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點，設(shè)直線l的方程為2x-3y-3+(x+y+2)=0， 即(+2)x+(-3)y+2-3=0.直線l與直線3x+y-1=0平行，.解得=.從而所求直線方程為15x+5y+16=0.點評：考查熟練求解直線方程，注意應(yīng)用直線系快速簡潔解決問題。變式訓(xùn)練求經(jīng)過兩條直線l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交點，且與直線2x-y-1=0垂直的直線方程例4 求證：不論m取什么實數(shù)，直線(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0

9、都經(jīng)過一個定點，并求出這個定點的坐標.思路解析：題目所給的直線方程的系數(shù)含有字母m，給m任何一個實數(shù)值，就可以得到一條確定的直線，因此所給的方程是以m為參數(shù)的直線系方程.要證明這個直線系中的直線都過一定點，就是證明它是一個共點的直線系，我們可以給出m的兩個特殊值，得到直線系中的兩條直線，它們的交點即是直線系中任何直線都過的定點.另一個思路是：由于方程對任意的m都成立，那么就以m為未知數(shù)，整理為關(guān)于m的一元一次方程，再由一元一次方程有無數(shù)個解的條件求得定點的坐標.解：解法一：對于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0，令m=0，得x-3y-11=0；令m=1，得x+4y+10=0.解

10、方程組得兩條直線的交點為(2，-3).將點(2，-3)代入已知直線方程左邊，得(2m-1)2+(m+3)(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0. 這表明不論m為什么實數(shù)，所給直線均經(jīng)過定點(2，-3). 解法二：將已知方程以m為未知數(shù)，整理為(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0. 由于m的取值的任意性，有解得所以所給直線不論m取什么實數(shù)，均經(jīng)過定點(2，-3)點評 含參直線過定點問題的解題思路有二：一是曲線過定點，即與參數(shù)無關(guān)，則參數(shù)的同次冪的系數(shù)為0，從而求出定點；二是分別令參數(shù)為兩個特殊值，得方程組，求出點的坐標，代入原方程滿足，則此點為所求定點 變式訓(xùn)練 當a為

11、任意實數(shù)時，直線(a-1)x-y+2a+1=0經(jīng)過的定點是（ ）A.(2,3) B.(-2,3)C.(1,) D.(-2,0)解析：直線方程可化為a(x+2)-x-y+1=0,由定點（-2，3）.答案：B課堂小結(jié) 本節(jié)課通過討論兩直線方程聯(lián)立方程組來研究兩直線的位置關(guān)系，得出了方程系數(shù)比的關(guān)系與直線位置關(guān)系的聯(lián)系.培養(yǎng)了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握兩直線方程聯(lián)立方程組解的情況與兩直線不同位置的對立關(guān)系，并且會通過直線方程系數(shù)判定解的情況，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點.當兩條直線相交時，會求交點坐標.注意語言表述能力的訓(xùn)練.通過一般形式的直線方程解的討論

12、，加深對解析法的理解，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化能力.以“特殊”到“一般”，培養(yǎng)探索事物本質(zhì)屬性的精神，以及運動變化的相互聯(lián)系的觀點. 當堂檢測 導(dǎo)學(xué)案課內(nèi)探究部分【板書設(shè)計】一、兩條直線的交點坐標二、例題例1變式1例2變式2 【作業(yè)布置】課本習(xí)題3.3 A組1、2、3,選做4題.及導(dǎo)學(xué)案課后練習(xí)與提高 3.3.1 兩條直線的交點坐標3.3.2課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標根據(jù)直線的方程判斷兩直線的位置關(guān)系和已知兩相交直線求交點二、 預(yù)習(xí)內(nèi)容1、閱讀課本102-104，找出疑惑之處。同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有那些疑惑，請?zhí)钤谙旅娴谋砀裰幸苫簏c疑惑內(nèi)容2、知識概覽兩直線相交,則交點同時在這兩條直線上,交點的坐標一

13、定是兩直線方程的解,若兩直線的方程組成的方程組只有一個公共解,則以這個解為坐標的點必是兩直線的交點.兩直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0的交點情況,取決于方程組的解的情況.若方程組有唯一解,則兩直線相交.若方程組無解,則兩直線平行.若方程組有無數(shù)個解,則兩直線重合.3、思考 當變化時，方程3x+4y-2+(2x+y+2)=0表示什么圖形？圖形有何特點？3 提出疑惑同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有那些疑惑，請?zhí)钤谙旅娴谋砀裰幸苫簏c疑惑內(nèi)容 課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標1. 掌握判斷兩條直線相交的方法，會通過解方程組求兩條直線的交點坐標；:高考學(xué)習(xí)網(wǎng)教學(xué)重點:根據(jù)直線的方程判斷兩直

14、線的位置關(guān)系和已知兩相交直線求交點.教學(xué)難點:對方程組系數(shù)的分類討論與兩直線位置關(guān)系對應(yīng)情況的理解.二、學(xué)習(xí)過程自主學(xué)習(xí)【知識點一】、兩條直線的交點如果兩條直線相交，則交點坐標分別適合兩條直線的方程，即（ ); 把兩條直線的方程組成方程組，若方程組有( )解，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組( )，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；若方程組有( )，則兩條直線有無數(shù)個公共點，此時兩條直線重合.【知識點二】、直線系方程 具有某一共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，表示直線系的方程叫做直線系方程.方程的特點是除含坐標變量x、y以外，還含有待定系數(shù)(也稱參變量).(1)共點直線系方程

15、：經(jīng)過兩直線l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交點的直線方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0，其中是待定系數(shù).在這個方程中，無論取什么實數(shù)，都得不到A2x+B2y+C2=0，因此它不能表示直線l2.(2)平行直線系：與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是( )，是參變量.(3)垂直直線系方程：與Ax+By+C=0(A0，B0)垂直的直線系方程是( )(4)特殊平行線與過定點(x0，y0)的直線系：當斜率k一定而m變動時，( )表示斜率為k的平行線系，( )表示過定點(x0，y0)的直線系(不含直線x=x0).問題 設(shè)兩條直線的方程為l1:A1

16、x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0，如果這兩條直線相交，你能分析它們的系數(shù)滿足什么關(guān)系嗎？探究:我們可以先解由兩直線方程聯(lián)立的方程組B2-B1,得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0. 當A1B2-A2B10時，得x=；再由A2-A1，當A1B2-A2B10時，可得y=.因此，當A1B2-A2B10時，方程組有唯一一組解x、y. 這時兩條直線相交，交點的坐標就是(x，y).因此這兩條直線相交時，系數(shù)滿足的關(guān)系為A1B2-A2B10.精講點撥例1 求下列兩直線的交點坐標,l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.變式訓(xùn)練求經(jīng)過原點且經(jīng)過以下兩條直線的交點的直

17、線方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.例2 判斷下列各對直線的位置關(guān)系.如果相交，求出交點坐標.(1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.(2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.(3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0. 變式訓(xùn)練 判定下列各對直線的位置關(guān)系，若相交，則求交點.(1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0.(2)l1:(-)x+y=7,l2:x+(+)y-6=0.(3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5.問題 當變化時，方程3x+4y-2+(2x+y+2)=0表示什么圖形？圖形有何特點？例3

18、 求經(jīng)過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y-1=0平行的直線方程.變式訓(xùn)練求經(jīng)過兩條直線l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交點，且與直線2x-y-1=0垂直的直線方程.例4 求證：不論m取什么實數(shù)，直線(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都經(jīng)過一個定點，并求出這個定點的坐標.變式訓(xùn)練 當a為任意實數(shù)時，直線(a-1)x-y+2a+1=0經(jīng)過的定點是（ ）A.(2,3) B.(-2,3)C.(1,) D.(-2,0)反思總結(jié) 1. 兩條直線的交點。直線相交的問題轉(zhuǎn)化為求方程組的解的問題,且解的個數(shù)決定兩條直線的位置關(guān)系.兩直線的交點坐標對應(yīng)的就是兩

19、直線方程所組成方程組的解.2. 直線系方程。如果在求直線方程的問題中,有一個已知條件,另一個條件待定時,可選用直線系方程來求解. 當堂檢測1.兩條直線l1:2x+3y-m=0與l2:x-my+12=0的交點在y軸上，那么m的值為( )A.-24 B.6 C.6 D.以上答案均不對2.無論k為何值，直線(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都過一個定點，則定點坐標為( )A.(1,3) B.(-1,3) C.(3,1) D.(3,-1)3.求經(jīng)過兩條直線l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交點，且與直線2x-y-1=0平行直線方程. 參考答案1.解析:l1:2x+3y-m=0在y軸上的

20、截距為，l2:x-my+12=0在y軸上的截距為，根據(jù)兩直線的交點在y軸上得m=6.答案：C2.思路解析:直線方程展開按是否含參數(shù)k合并同類項,得(2x+y-5)+k(x-y-4)=0，由直線系方程,知此直線過兩直線的交點，即為解得交點為(3,-1).3.解析:由l1與l2的交點為（1，3）.(1)解法一：設(shè)與直線2x-y-1=0平行的直線為2x-y+c=0，則2-3+c=0，c=1.所求直線方程為2x-y+1=0.解法二：所求直線的斜率k=2，且經(jīng)過點（1，3），所求直線方程為y-3=2(x-1)，即2x-y+1=0. 課后鞏固練習(xí)與提高知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、2.拓展提升1.已知直線mx+

21、4y-2=0與2x-5y+n=0互相垂直，垂足為(1,p)，則m-n+p為（ ）A.24 B.20 C.0 D.-42.已知點P(-1,0),Q(1,0)，直線y=-2x+b與線段PQ相交，則b的取值范圍是（ ）A.-2,2 B.-1,1 C.-, D.0,23.三條直線x+y=2、x-y=0、x+ay=3構(gòu)成三角形，求a的取值范圍.4. 已知兩直線l1:x+my+6=0，l2：(m2)x3y2m=0，當m為何值時，直線l1與l2：相交；平行；重合；垂直.5.三條直線l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0構(gòu)成三角形的條件是什么？ (2)由可得直線x+y=2和直線x-y=0的交點坐標為(1，1).若