二次函數(shù)與菱形的專題

1、二次函數(shù)和菱形1 .如圖所示，在平面正交坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2 bx c的圖像與x軸和a、b點(diǎn)相交，a點(diǎn)位于原點(diǎn)的左側(cè)，b點(diǎn)的坐標(biāo)與(3，0 )、y軸和C(0，-3)點(diǎn)、點(diǎn)p相交(1)求出該二次函數(shù)的公式(2)當(dāng)點(diǎn)p移動(dòng)到哪個(gè)位置時(shí)，四邊形ABPC面積最大，求出此時(shí)的p點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.(3)連接po、PC，將POC沿著CO折返，得到四邊形popc，則四邊形popc成為菱形地存在點(diǎn)p嗎？ 如果存在，請(qǐng)求當(dāng)時(shí)的點(diǎn)p的坐標(biāo)如果不存在，請(qǐng)說明理由已知拋物線y=ax2 bx 8(a1 )通過點(diǎn)d (5，3 )，與x軸和點(diǎn)b、c (點(diǎn)b、c都是y軸右側(cè))交叉，在BC=2，與直線BD

2、和點(diǎn)a交叉。(1)求拋物線的解析式(2)坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)n，ABN和BCD是否相似？ 如果存在，求點(diǎn)a，n的坐標(biāo)如果不存在，請(qǐng)說明理由(3)在直線BD上是否存在點(diǎn)p和平面內(nèi)的點(diǎn)q，是否將以q、p、b、c這4點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形作為菱形。 如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)p的坐標(biāo)如果不存在，請(qǐng)說明理由3 .如該圖所示，二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)o，y軸是對(duì)稱軸，并且通過點(diǎn)a (3，3 )，一次函數(shù)的圖像通過點(diǎn)a和點(diǎn)b (6，0 )。(1)求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式(2)一次函數(shù)圖像和y軸與點(diǎn)c相交時(shí)，e是拋物線上的OA段上的一點(diǎn)，通過點(diǎn)e的與y軸平行的直線DE和直線AC與點(diǎn)d相交，求出DOE=EDA

3、和點(diǎn)e的坐標(biāo)。(3)點(diǎn)m是線段AC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，通過點(diǎn)m，y軸的平行線與拋物線f相交，以點(diǎn)o、c、m、f為頂點(diǎn)的四邊形能做成菱形嗎？ 如果可能的話，求點(diǎn)f的坐標(biāo)。如果不是的話，請(qǐng)說明理由4 .如圖所示，已知拋物線通過原點(diǎn)o和x軸上的點(diǎn)a (4，0 )，將拋物線的頂點(diǎn)設(shè)為e，其對(duì)稱軸與x軸和點(diǎn)d相交(1)求出m的值及與該拋物線對(duì)應(yīng)的解析式(2)P(x，y )是拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，如果SADP=SADC，則求出所有符號(hào)條件的點(diǎn)p的坐標(biāo)。(3)點(diǎn)q是平面內(nèi)的任意點(diǎn)，點(diǎn)m從點(diǎn)f開始沿著對(duì)稱軸以每秒1單位的長(zhǎng)度的速度等速運(yùn)動(dòng)，如果能夠使以點(diǎn)m的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒、q、a、e、m這4點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形成菱形

4、，則請(qǐng)直接寫入點(diǎn)m的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值，否則5 .如圖所示，在平面正交坐標(biāo)系中，矩形ABCD的3個(gè)頂點(diǎn)a (-3，4 )、以b (-3，0 )、c (-1，0 ).d為頂點(diǎn)拋物線y=ax2 bx c通過點(diǎn)b，動(dòng)點(diǎn)p從點(diǎn)d沿著DC邊向點(diǎn)c移動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)q從點(diǎn)b沿著BA邊向點(diǎn)a移動(dòng)(1)求拋物線的解析式(2)t為怎樣的值時(shí)，四邊形BDGQ的面積最大，最大值是多少？(3)在動(dòng)點(diǎn)p、q的運(yùn)動(dòng)中，在矩形ABCD內(nèi)(包括其邊界)是否存在點(diǎn)h，以b、q、e、h為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，如果存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的菱形的周長(zhǎng)。如果不存在，請(qǐng)說明理由在平面正交坐標(biāo)系中，拋物線y=ax 2、2 ax、3 a的交點(diǎn)x軸在a、b

5、兩個(gè)點(diǎn)上，交點(diǎn)y的正軸在點(diǎn)c上，結(jié)果是OB=OC。(1)求拋物線的解析式(2)如圖2所示，把點(diǎn)d作為第一象限拋物線上的一點(diǎn)，通過點(diǎn)d把DEBC、DE=d、點(diǎn)d的橫軸作為t，求出d和t的函數(shù)式。(3)在(2)的條件下，點(diǎn)f是拋物線上的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸把x軸交給點(diǎn)g，連接DF，通過d把FG交給點(diǎn)h，點(diǎn)m是對(duì)稱軸的左側(cè)拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)n是平面上的點(diǎn)且tanHDN=、7 .如圖所示，已知拋物線y=ax22x c(a0 )和x軸、y軸分別與點(diǎn)a、b、c這三點(diǎn)相交的點(diǎn)a (-2，0 )、點(diǎn)C(0，-8)(1)求出拋物線的解析式以及頂點(diǎn)d的坐標(biāo)(2)如圖1所示，拋物線的對(duì)稱軸和x軸與點(diǎn)e相交，在第四象限的拋物線

6、上具有點(diǎn)p，沿著直線EP折疊EBP，點(diǎn)b的對(duì)應(yīng)點(diǎn)b落在拋物線的對(duì)稱軸上，求出點(diǎn)p的坐標(biāo)。(3)如圖2所示，以BC的交拋物線的對(duì)稱軸為點(diǎn)f、直線CD、點(diǎn)m為直線CD上的動(dòng)點(diǎn)、點(diǎn)n為平面內(nèi)的一點(diǎn)、以點(diǎn)b、f、m、n為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫入點(diǎn)m的坐標(biāo)。如該圖所示，ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)b、d在拋物線y=x2 bx c上，OB=OC、AB=5、tanACB=。(1)求拋物線的解析式(2)拋物線上是否存在點(diǎn)e，以a、c、d、e為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？ 如果存在，請(qǐng)求點(diǎn)e的坐標(biāo)如果不存在，請(qǐng)說明理由(3)起動(dòng)點(diǎn)p從點(diǎn)a向點(diǎn)d運(yùn)動(dòng)，同時(shí)起動(dòng)點(diǎn)q從點(diǎn)c向點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是每秒1單位的長(zhǎng)度，一方到達(dá)終點(diǎn)時(shí)

7、另一方的點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t (秒)9 .如圖所示，拋物線y=x 2，x 1和y軸與a點(diǎn)相交，通過點(diǎn)a的直線和拋物線與別的點(diǎn)b相交，通過點(diǎn)b成為BCx軸，垂下腳的是點(diǎn)c (-3，0 )。(1)求直線AB的函數(shù)關(guān)系式(2)起動(dòng)點(diǎn)e在線段OC上從原點(diǎn)以每秒一個(gè)單位的速度向c移動(dòng)，通過點(diǎn)e把EGx軸、相交直線AB設(shè)為點(diǎn)f、把相交拋物線移動(dòng)到點(diǎn)g .點(diǎn)e的時(shí)間設(shè)為t秒、把GF的長(zhǎng)度設(shè)為s單位，求出s和t的函數(shù)式，寫出t能夠取值的范圍。(3)在(2)的條件下(不考慮點(diǎn)e和點(diǎn)o、c重疊的情況)，連接CF、BG，t為怎樣的值時(shí)，四邊形BCFG是平行四邊形？ 關(guān)于求出的t值，平行四邊形BCFG是菱形嗎？

8、 請(qǐng)說明理由如圖所示，可知拋物線y=ax2 c的過點(diǎn)(-2，2 )、(4，5 )、過點(diǎn)f (0，2 )的直線l:y=kx 2和拋物線相交于a、b兩點(diǎn)，點(diǎn)b位于點(diǎn)(1)求拋物線的解析式(2)點(diǎn)b在拋物線上移動(dòng)時(shí)，判斷線段BF和BC的數(shù)關(guān)系(，=)，證明你的判斷(3)P是y軸上的一點(diǎn)，以b、c、f、p為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，設(shè)置點(diǎn)P(0，m )，求自然數(shù)m的值。(4)如果4)k=1，為了使QBF的面積達(dá)到最大，在直線l之下的拋物線上是否存在點(diǎn)q？ 如果存在，求點(diǎn)q的坐標(biāo)及QBF的最大面積如果不存在，請(qǐng)說明理由11 .如該圖所示，拋物線y=ax2 bx2，2的對(duì)稱軸是直線x=1，x軸和a、b兩點(diǎn)，y軸

9、和點(diǎn)c，點(diǎn)a的坐標(biāo)是(-2，0 )，點(diǎn)p是拋物線上的一個(gè)移動(dòng)點(diǎn)，超過點(diǎn)p形成pd(1)求拋物線解析式(2)如果點(diǎn)p在第1象限內(nèi)，則在OD=4PE時(shí)，求出四邊形POBE的面積(3)在(2)的條件下，如果點(diǎn)m是直線BC上的點(diǎn)、點(diǎn)n是平面正交坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，則是否存在以點(diǎn)b、d、m、n為頂點(diǎn)的四邊形成為菱形的點(diǎn)m和點(diǎn)n？ 如果存在，直接導(dǎo)出點(diǎn)n的坐標(biāo)如果不存在，請(qǐng)說明理由12 .如圖1所示，拋物線y=ax2 bx 4的圖像超過a (-1，0 )、b (4，0 )兩點(diǎn)，相交于y軸和點(diǎn)c，形成直線BC，移動(dòng)點(diǎn)p從點(diǎn)c起以每秒單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)b移動(dòng)(2)如圖2所示，在t=1時(shí)，求出SACP的面積。(3)如

10、圖3所示，通過點(diǎn)p在x軸上作垂線，分別穿過x軸，拋物線位于e、f兩點(diǎn)。求出與pf的長(zhǎng)度t相關(guān)的函數(shù)式，求出pf的長(zhǎng)度的最大值連接cf，將PCF沿著cf折疊，得到pcf，t為怎樣的值時(shí)，四邊形PFPc為菱形？13 .如圖所示，在平面正交坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2 bx 3和x軸與點(diǎn)a (-4，0 )、b (-1，0 )這兩個(gè)點(diǎn)相交。(1)求拋物線的解析式(2)在第三象限拋物線上有微動(dòng)點(diǎn)d如圖(1)所示，四邊形ODAE是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，平行四邊形ODAE的面積為6時(shí)，說明請(qǐng)判斷平行四邊形ODAE是否為菱形的理由如圖(2)所示，有直線y=x 3和拋物線與點(diǎn)q、c兩點(diǎn)相交，通過點(diǎn)d，直線D

11、Fx軸與點(diǎn)h相交，QC與點(diǎn)f相交的點(diǎn)d嗎？ 這樣的點(diǎn)d，從點(diǎn)d到直線CQ的距離和從點(diǎn)c到直線DF的距離之比為： 2。 如果存在，請(qǐng)求點(diǎn)d的坐標(biāo)如果不存在，請(qǐng)說明理由14 .如圖所示，在平面正交坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a (x1) 2，3與x軸和a、b兩點(diǎn)(點(diǎn)a是點(diǎn)b的左側(cè))、y軸和點(diǎn)C(0，- )、頂點(diǎn)是d、對(duì)稱軸與x軸交叉(1)求出a的值及點(diǎn)a、b的坐標(biāo)(2)直線l將四邊形ABCD分為面積比37的2個(gè)時(shí)，求出直線l的函數(shù)式(3)點(diǎn)p在第2象限時(shí)，如果PQ的中點(diǎn)在m，點(diǎn)n在拋物線上，則以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能成為菱形嗎？ 如果可能的話，求點(diǎn)n的坐標(biāo)。如果不是的話，請(qǐng)說明理由已知如15

12、 .如該圖所示，在平面正交坐標(biāo)系中，ABC的邊BC在x軸上，頂點(diǎn)a在y軸的正軸上，OA=2、OB=1、OC=4。(1)求a、b、c三點(diǎn)的拋物線的解析式(2)將點(diǎn)g作為對(duì)稱軸上的點(diǎn)，求出GAB周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)g的坐標(biāo)(3)拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)p相交時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)q存在或存在，使得PAQ成為以PA為腰的等腰直角三角形，則導(dǎo)出全部滿足條件的點(diǎn)q的坐標(biāo)，如果選擇其中一個(gè)進(jìn)行說明而不存在，則說明理由(4)將點(diǎn)m作為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，在平面正交坐標(biāo)系中，無論是否存在以點(diǎn)a、b、m、n為頂點(diǎn)的四邊形成為菱形的點(diǎn)n，如果不直接寫出點(diǎn)n的坐標(biāo)而存在，則說明理由16 .如圖所示，已知如下情況：使拋物線C1

13、:y=x2、拋物線y=x2平行移動(dòng)，使其頂點(diǎn)d落在位于拋物線C1的y軸右側(cè)的圖像上，將平行移動(dòng)后的拋物線設(shè)為C2，C2和y軸與點(diǎn)c (0，2 )相交。(1)求出拋物線C2的解析式(2)求出拋物線C2和x軸與a、b兩點(diǎn)(點(diǎn)b為點(diǎn)a的右側(cè))相交的點(diǎn)a、b的坐標(biāo)以及通過點(diǎn)a、b、c的圓的中心e的坐標(biāo)。(3)在通過點(diǎn)(0，)與x軸平行的直線上是否存在點(diǎn)f，如果存在四邊形CEBF是否為菱形，則求點(diǎn)f的坐標(biāo)不存在時(shí)，請(qǐng)說明理由17 .如該圖所示，直線y=x4，4和x軸，y軸分別與a、b兩點(diǎn)相交，拋物線y=x2 bx c通過a、b兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為c，連接BC。(1)求出拋物線的解析式以及點(diǎn)c的坐標(biāo)

14、(2)點(diǎn)m在拋物線上，連接MB，當(dāng)MBA CBO=45時(shí)，求出點(diǎn)m的坐標(biāo)。(3)點(diǎn)p從點(diǎn)c沿著線段CA從c向a運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)q從點(diǎn)b沿著線段BC從b向c運(yùn)動(dòng)，p、q的運(yùn)動(dòng)速度都是每秒1單位的長(zhǎng)度，q點(diǎn)到達(dá)c點(diǎn)時(shí)，p、q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，詢問坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)d拋物線和菱形主題的參考答案1 .解： (1)代入b、c兩點(diǎn)的坐標(biāo)理解：二次函數(shù)的公式是y=x 2，2 x，3(2)穿過點(diǎn)p的y軸上的平行線分別取決于BC和q、OB和f以及P(x，x 2，2 x，3 )。當(dāng)然，直線BC的解析式是y=x3，3q點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，x-3 )；正方形abpc=sabcsbpqscpq=abocqpofqpbf=(10分

15、)時(shí)，四邊形ABPC的面積最大此時(shí)p點(diǎn)的坐標(biāo)是四邊形ABPC的面積的最大值.(3)存在將四邊形POPC變成菱形的點(diǎn)p將p點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為(x，x 2，2 x，3 )，PP向e傳遞CO四邊形popc是菱形，PC=PO；如果連接PP，則PECO會(huì)被e、OE=EC=y=； (6分)x2-2x-3=解x1=、x2=(不合題意，舍棄)p點(diǎn)的坐標(biāo)是(，)解： (1)b點(diǎn)坐標(biāo)為(x 1，0 )，c點(diǎn)坐標(biāo)為(x 2，0 )，x1、x2是方程ax2 bx 8=0這兩條，x1x2=、x1x2=、BC=|x 1、x2|=2，(x 1、x2)2=4，即(x1x2) 2、4 x1x2=4，4、。將d點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，

16、則25a 5b 8=3能否解決(舍去)、拋物線解析式為y=x 2，6 x 8。(2)在2)y=x2-6x8的情況下，可以將y=0設(shè)置為x 2，6 x8=0，并且可以將解設(shè)置為x=2或x=4。b (2，0 )、c (4，0 )，將直線BD的解析式設(shè)為y=kx s，可代入b、d坐標(biāo)直線BD解析式為y=x2，2，A(0，-2)，點(diǎn)n在x軸上時(shí)，如果設(shè)為N(x，0 )，則點(diǎn)n應(yīng)該在點(diǎn)b的左側(cè)。bn=2，x，以及，A(0，-2)，b (2，0 )，d (5，3 )，AB=2，BD=3ABN=DBC，有BCDBNA或BCDBAN，BCDBNA時(shí)=，即=，解為x=，此時(shí)的n點(diǎn)坐標(biāo)為(，0 )；在BCD -ban的情況下，=，即=，解為x=4，此時(shí)的n點(diǎn)坐標(biāo)為(-4，0 )；點(diǎn)n在y軸上時(shí)，如果設(shè)為N(0，y )，則點(diǎn)n應(yīng)該在a點(diǎn)上。AN=y 2，根據(jù)以上情況可知有BCDABN或BCDANB，在BCD -ABN的情況下，=，即=，解為y=4，此時(shí)的n點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4 )；在BCDANB的情況下，=，即=，解為y=-，此時(shí)的n點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)；總體上存在滿足條件的n點(diǎn)，其坐標(biāo)為(，0 )或(-4，0 )或(0，4 )或(0，)；(3)點(diǎn)p在直線BD上，可以設(shè)定為P(t，t-2 )。BP=|t，2 |，PC=，以q、p、b、c這4點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，bc是邊或bc是對(duì)角線在BC是邊