線性代數(shù)B-1.5 Cramer法則.ppt

1、線性代數(shù)B,任課教師:胡鳳珠,1、什么是行列式的余子式及代數(shù)余子式？,知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí),2、引理 一個(gè)n階行列式D,若其中第i行所有元素除aij外都為零，則該行列式等于aij與它的代數(shù)余子式Aij的乘積，即,知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí),3、定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素與它對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即,或,知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí),4、推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即,或,5、 關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì):,其中,6、用降階法計(jì)算行列式,知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí),7、范德蒙德(Vandermonde)行列式的結(jié)論。,知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí),回顧：二元線性方程組的求解,當(dāng)D=a11a22-a12

2、a210時(shí)，,思考 n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的線性方程組的求解問(wèn)題,有沒(méi)有 二元線性方程組的求解結(jié)論？,1.4 克萊姆法則,二、Cramer法則,三、重要定理,一、線性方程組的概念,則此方程組稱為,非齊次線性方程組;,此時(shí)方程組稱為 齊次線性方程組.,一、線性方程組的概念,mn線性方程組,本節(jié)討論n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的線性方程組,的求解問(wèn)題,(1),二、Cramer法則,定理1 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式D不等于零 則方程組(1)有解且解唯一，,其中Dj (j1 2 n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素a1j a2j anj對(duì)應(yīng)地?fù)Q為常數(shù)項(xiàng)b1 b2 bn后得到的n階行列式,(1),表示為,系數(shù)行

3、列式,定理1 證明：,在把 n 個(gè)方程依次相加，得,(1),證,在把 n 個(gè)方程依次相加，得,由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,于是,當(dāng) 時(shí),方程組 有唯一的一個(gè)解,由于方程組 (*) 與方程組(1)等價(jià),故上面的解,也是方程組的(1) 解.,例1 用Cramer法則解方程組,解,例1 用Cramer法則解方程組,解,計(jì)算分子,三、重要定理,(1),定理2 若線性方程組(1) 的系數(shù)行列式D0, 則(1)一定有解,且解是唯一的 .,定理2若線性方程組 (1) 無(wú)解或解不唯一， 則它的系數(shù)行列式必為零. 定理2是定理2的逆否命題，解題或證明中常用。,三、重要定理,定理2 若線性方程組(1) 的系數(shù)行列式D

4、0, 則(1)一定有解,且解是唯一的 .,定理2若線性方程組 (1) 無(wú)解或解不唯一， 則它的系數(shù)行列式必為零.,定理3 若齊次線性方程組(2) 的系數(shù)行列式 D0， 則齊次線性方程組(2)只有零解.,三、重要定理,定理2 若線性方程組(1) 的系數(shù)行列式D0, 則(1)一定有解,且解是唯一的 .,定理2若線性方程組 (1) 無(wú)解或解不唯一， 則它的系數(shù)行列式必為零.,定理3 若齊次線性方程組(2) 的系數(shù)行列式 D0， 則齊次線性方程組(2)只有零解.,定理3若齊次線性方程組（2）有非零解， 則它的系數(shù)行列式必為零.,解,填空題,齊次方程組有非零解，則,所以當(dāng) = 0, = 2或 = 3 時(shí)

5、,齊次方程組有非零解.,當(dāng)0, 2且 3時(shí), 齊次方程組只有零解.,Cramer法則,定理1 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式D不等于零 則方程組(1)有解且解唯一，,其中Dj (j1 2 n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素a1j a2j anj對(duì)應(yīng)地?fù)Q為常數(shù)項(xiàng)b1 b2 bn后得到的n階行列式,(1),表示為,小結(jié),定理2 若線性方程組(1) 的系數(shù)行列式D0, 則(1)一定有解,且解是唯一的 .,定理2若線性方程組 (1) 無(wú)解或解不唯一， 則它的系數(shù)行列式必為零.,定理3 若齊次線性方程組(2) 的系數(shù)行列式 D0， 則齊次線性方程組(2)只有零解.,定理3若齊次線性方程組（2）有非零解

6、， 則它的系數(shù)行列式必為零.,小結(jié),1. 用克萊姆法則解方程組的兩個(gè)條件,(1)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù); (2)系數(shù)行列式不等于零.,2.克萊姆法則建立了線性方程組的解與已知的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系. 它主要適用于理論推導(dǎo).,小結(jié),3、當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí),不能用克萊姆法則解方程組,此時(shí)方程組的解為無(wú)解或有無(wú)窮多解。,習(xí)題1-5, P25 :5,復(fù)習(xí)第一章的主要知識(shí)點(diǎn)與主要方法 預(yù)習(xí)第二章的內(nèi)容,已批改作業(yè),P5:3,作業(yè)：P5:3;P10:3.4,P10:,P10:4,P10:4(3),作業(yè)：P16:2(1)，P25:4(4).,行列式的計(jì)算方法,1）定義法；(0比較多) 2）化三

7、角形法； 3）降階展開(kāi)法； (階數(shù)不高的數(shù)字行列式) 4）利用范德蒙德行列式. 5）遞推公式法； 6）拆行拆列法； 7）加邊法； 8）數(shù)學(xué)歸納法；,利用范德蒙德行列式,例1,遞推法,例2計(jì)算,解,按第1行展開(kāi),再按最后一行展開(kāi)，得 遞推公式 D2nandnD2n2bncnD2n2,即 D2n(andnbncn)D2n2,依次遞推下去 D2n-2(an-1dn-1bn-1cn-1)D2n4, ,拆項(xiàng)法與遞推法,例3 計(jì)算,解,由此遞推，得,如此繼續(xù)下去，可得,例3 計(jì)算,分析:,第1行提取公因子x1 ,第2行提取公因子x2 , ,第n行提取公因子xn,于是,再思考,例3 計(jì)算,分析:,再思考2,1 0 0 0,a a a,加邊法,第2列至第n列都乘以 加到第1列,計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用 在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法,小結(jié),練習(xí)題