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1、三角形,第2章,線段的垂直平分線,2.3,公路同側(cè)有A、B兩個(gè)村莊,共同出資在路邊修建一個(gè)車 站,使它到兩個(gè)村莊的路程相等。你能確定車站的位置嗎?,公 路,情境引入,B,C,D,A,CDAB,AD=BD,2.4 線段的垂直平分線,我們把垂直且平分一條線段的直線 叫作這條的線段的垂直平分線。,線段是軸對(duì)稱圖形,線段的垂直平分線 是它的對(duì)稱軸,動(dòng)手操作:1、在紙上畫線段AB,通過折使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合,將紙展開鋪平,記折痕所在的直線L,這條折痕是線段AB的什么線? 2、在線段AB的垂直平分線上任取一點(diǎn)P,連接PA、PB,,觀察線段PA、PB之間有什么關(guān)系?量一量PA、PB的長(zhǎng)度,可以得出什么結(jié)論? 再
2、在這條垂直平分線上任取一點(diǎn)Q,連接QA、QB,量一量QA、QB的長(zhǎng)度,可以得出什么結(jié)論? 疊一疊,將線段AB沿著直線L對(duì)折,你發(fā)現(xiàn)了什么?可以得出什么結(jié)論?,自主探索,線段垂直平分線的性質(zhì)定理:,線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。,A,B,P,O,Q,R,即:PQ垂直平分線段AB AP=BP,AR=BR,AQ=BQ,線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.,幾何語言:,CDAB,AO=BO PA=PB,我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等,反過來,如果已知一點(diǎn)P到線段AB 兩端的距離PA與PB相等,那么點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上嗎?,(1) 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),因?yàn)镻
3、A = PB, 所以點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn),顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.,(2) 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí),如圖, 因?yàn)镻A =PB,所以PAB是等腰三角形.過頂點(diǎn)P 作PCAB,垂足為點(diǎn)C,從而底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線. 即PCAB,且AC = BC.,因此直線PC是線段AB的垂直平分線, 此時(shí)點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.,到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.,幾何語言:,PA=PB 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,舉 例,例1 已知:如圖,在ABC中,AB,BC 的垂直平分線相交于點(diǎn)O,連接OA,OB,OC. 求證: 點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.,舉 例,證明 點(diǎn)
4、O在線段AB的垂直平分線上, OA = OB. 同理OB = OC. OA = OC. 點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.,已知:如圖,點(diǎn)C,D 是線段AB 外的兩點(diǎn), 且AC =BC,AD =BD, AB與CD相交于點(diǎn)O. 求證:AO=BO.,證明:AC=BC 點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上 AD=BD 點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上 CD是線段AB的垂直平分線 AO=BO,如圖,已知線段AB,作線段AB的垂直平分線.,根據(jù)“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”, 要作線段AB的垂直平分線, 關(guān)鍵是找出到線段AB兩端距離相等的兩點(diǎn).,作法,分別以點(diǎn)A,B 為圓心, 以大于 AB 的長(zhǎng) 為半徑畫弧
5、, 兩弧相交于點(diǎn)C 和點(diǎn)D;,過點(diǎn)C,D作直線CD,則直線CD就是線段AB的垂直平分線.,因?yàn)榫€段AB的垂直平分線CD與線段AB的交點(diǎn)就是線段AB 的中點(diǎn), 所以可以用這種方法作出線段的中點(diǎn).,如何過一點(diǎn)P 作已知直線l 的垂線呢?,(1)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上.,(2) 當(dāng)點(diǎn)P在直線l外.,在直線l 上點(diǎn)P 的兩旁分別截取線段PA, PB,使PA= PB;,(1)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上.,分別以A,B 為圓心 以大于 AB 的長(zhǎng)為半徑畫弧, 兩弧相交于點(diǎn)C;,過點(diǎn)C, P作直線CP, 則直線CP為所求作的直線.,(2) 當(dāng)點(diǎn)P在直線l外.,以點(diǎn)P 為圓心, 以大于點(diǎn)P 到直線l的距離的線段長(zhǎng)為半徑畫弧, 交直線l于點(diǎn)A,B;,分別以A,B 為圓心 以大于 AB 的長(zhǎng)為半徑畫弧, 兩弧相交于點(diǎn)C;,過點(diǎn)C,P作直線CP,則直線CP為所求作的直線.,1. 線段的垂直平分線的性質(zhì)是什么?,2. 線段的垂直平分線的判定是什么?,例1 如圖,已知AD是ABC的BC邊上的高,且C 2B,求證:BDACCD.,證明:在BD上取DE=CD,連接AE,則ACD
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