近世代數(shù)集合的等價(jià) 關(guān)系與分類.ppt

1、,三、集合的等價(jià) 關(guān)系與分類,定理1.1.1 -類,例7,例8,例9,二、集合的分類,定義1.1.4 -集合的分類,例3,例6,1.1 等價(jià)關(guān)系與集合的分類,一、等價(jià)關(guān)系,定義1.1.1 -關(guān)系,定義1.1.2 -等價(jià)關(guān)系,例1,例2,例5,例4,定義1.1.3 -等價(jià)類,一、等價(jià)關(guān)系,元素的一個(gè)條件如果對(duì) 中任意一個(gè)有序元素對(duì),的一個(gè)關(guān)系(relation)如果 與 滿足條件 ，則稱,與 有關(guān)系 ，記作 ；否則 稱 與無(wú)關(guān)系 關(guān),系 也稱為二元關(guān)系,，我們總能確定 與 是否滿足條件 ，就稱 是,定義1.1.1設(shè) 是一個(gè)非空集合, 是關(guān)于 的,例1設(shè) 是一個(gè)非空集合， 的所有子集組成的,集合記

2、為 因?yàn)閷?duì) 的任意兩個(gè)子集 ， ，,或 有且僅有一個(gè)成立，所以集合的包含關(guān)系“ ”,是 的一個(gè)關(guān)系進(jìn)一步討論可以發(fā)，這個(gè)關(guān)系還,具有下面兩條性質(zhì)：,(1) 反身性，即對(duì) 的任一子集 ，有 ；,(2) 傳遞性, 即對(duì) 的任意子集 , , , 如果, ,則有 ,例2 在整數(shù)集 中, 規(guī)定 因?yàn)?這個(gè)關(guān)系也具有反身性和傳遞性,例3 在整數(shù)集 中, 規(guī)定 ( 即 與 互,素) 因?yàn)?與 有且僅有一個(gè)成立, 所,以是 的一個(gè)關(guān)系這個(gè)關(guān)系既不滿足反身性也不滿,足傳遞性, 但卻滿足所謂的對(duì)稱性, 即對(duì)任意兩個(gè)整數(shù),由 ，可推出 ,與 有且僅有一個(gè)成立, 所以“|”是 的一個(gè)關(guān)系,定義1.1.2設(shè) 是 非空集

3、合的一個(gè)關(guān)系, 如,果 滿足,(E1) 反身性, 即對(duì)任意的 , 有 ；,(E2)對(duì)稱性, 即若 , 則 ；,(E3) 傳遞性, 即若 ,且 ,則 ,則 稱是 的一個(gè)等價(jià)關(guān)系(equivalence relation),并且如果 ,則稱 等價(jià)于 ,記作 ,定義1.1.3如果是集合 的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,對(duì) , 令,稱子集 為 的一個(gè)等價(jià)類 (equivalence class) ,的全體等價(jià)類的集合稱為集合 在等價(jià)關(guān)系下的商集,(quotient set), 記作 ,例易知, 三角形的全等,相似, 數(shù)域 上 階,方陣的相等,相似等都是等價(jià)關(guān)系, 而例1,例2,例3所述的關(guān)系都不是等價(jià)關(guān)系,例設(shè) 是正

4、整數(shù), 在整數(shù)集 中, 規(guī)定,這個(gè)關(guān)系為同余關(guān)系 (congruence relation) , 并記作, 則 ,(1)對(duì)任意整數(shù) ,則,(讀作“ 同余于 , 模 ”)整數(shù)的同余關(guān),系及其性質(zhì)是初等數(shù)論的基礎(chǔ),二、集合的分類,定義1.1.4如果非空集合 表成若干個(gè)兩兩不,相交的非空子集的并, 則稱這些子集為集合 的一種,分類 (partition),其中每個(gè)子集稱為一個(gè)類 (class).,如果,的子集族 構(gòu)成 的一種分類,則記作,例6 設(shè) 為數(shù)域 上全體 階方陣的集合,令,表示所有秩為 的 階方陣構(gòu)成的子集.,(1) ;,(2) ,所以 是 的一種分類,例7 是整數(shù)集 的一,種分類,于 ,且

5、 , 同一元素在兩個(gè)子集中重復(fù)出現(xiàn),例8 對(duì)實(shí)數(shù)集 , 令子集 , .由,所以 不是 的一種分類,三、集合的等價(jià)關(guān)系與集合的分類這兩個(gè)概念之間,聯(lián)系,定理1.1.1集合 的任何一個(gè)等價(jià)關(guān)系都確定,了 的一種分類,且其中每一個(gè)類都是集合 的一個(gè)等,價(jià)類.反之,集合 的任何一種分類也都給出了集合,的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,且相應(yīng)的等價(jià)類就是原分類中的那,些類,證首先, 為 集合的一個(gè)等價(jià)關(guān)系, 則,(1) 對(duì)任意的 , 由反身性知 , 所以,(2) 如果 ,從而由對(duì)稱性知 再由傳遞性知,又對(duì)任意的 ,則 ,.這說(shuō)明, 不同的類沒(méi)有公共元素,.于是 , 因此 .,則有 ,同理 , 所以,于是,同樣由傳遞性得,從而由 (P1), (P2)知, 全體等價(jià)類形成的 一種,分類,顯然每一個(gè)類都是 的等價(jià)類,其次, 如果已知集合 的一種分類 , 在 中規(guī),定關(guān)系“”：,對(duì)任意的 , 由于 與本身屬于同一類, 所以,.如果 , 即 與 屬于同一類, 自然 與 也,屬于同一類, 所以 . 最后, 如果 , ,即 與 屬于同一類, 與 屬于同一類,因而 與 同在,所在的類中, 所以 因此“”是 的一個(gè)等價(jià),關(guān)系.顯然, 由此等價(jià)關(guān)系得到的等價(jià)類就是原分類中,那些類,例設(shè) 試確定集合 上的全部等價(jià),關(guān)系,解由定理1.1.1知，只要求出的 全部分類,也,即求出的 所有可能的子集分劃即