D104對(duì)面積曲面積分.ppt

1、,第四節(jié),一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì),二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對(duì)面積的曲面積分,第十章,一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì),引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度,類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用,可得,求質(zhì),“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的,最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義:,設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限”,都存在,的曲面積分,其中 f (x, y, z) 叫做被積,據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為,曲面面積為,f (x, y,

2、 z) 是定義在 上的一,個(gè)有界函數(shù),或第一類曲面積分.,若對(duì) 做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對(duì)面積,函數(shù), 叫做積分曲面.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則對(duì)面積的曲面積分存在., 對(duì)積分域的可加性.,則有, 線性性質(zhì).,在光滑曲面 上連續(xù),對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長的曲線積分性質(zhì)類似., 積分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成兩,片光滑曲面,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理: 設(shè)有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有,二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法,則曲面積分,證明: 由定義知,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

3、返回 結(jié)束,二、曲面的面積,設(shè)光滑曲面,則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn),處小切平面的面積 d A 無限積累而成.,設(shè)它在 D 上的投影為 d ,(稱為面積元素),則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,而,(光滑),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,可有類似的公式.,1) 如果曲面方程為,2) 若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS,的表達(dá)式 ,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的,二重積分. (見本節(jié)后面的例4, 例5),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 計(jì)算曲面積分,其中是球面,被平面,截出的頂部.,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考:,若 是球面,被平行

4、平面 z =h 截,出的上下兩部分,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 計(jì)算,其中 是由平面,坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.,解: 設(shè),上的部分, 則,與,原式 =,分別表示 在平面,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3.,設(shè),計(jì)算,解: 錐面,與上半球面,交線為,為上半球面夾于錐面間的部分,它在 xoy 面上的,投影域?yàn)?則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考: 若例3 中被積函數(shù)改為,計(jì)算結(jié)果如何 ?另外能否用球坐標(biāo)做？,如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為,因此有,其中,適用范圍:,1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單;,2)

5、被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 計(jì)算,解: 取球面坐標(biāo)系, 則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 計(jì)算,其中 是介于平面,之間的圓柱面,分析: 若將曲面分為前后(或左右),則,解: 取曲面面積元素,兩片,則計(jì)算較繁.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6 求橢圓柱面,位于 xoy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 S .,解:,取,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 定義:,2. 計(jì)算: 設(shè),則,(曲面的其他兩種情況類似),注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性簡化計(jì)算的技巧.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P158 題4(1)., 在 xoy 面上的投影域?yàn)?這是 的面積 !,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P159 題7.,如圖所示, 有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P184 題2. 設(shè),一卦限中的部分, 則有( ).,( 2000 考研 ),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題 1. 已知曲面殼,求此曲面殼在平面 z1以上部分 的,的面密度,質(zhì)量 M .,解: 在 xoy 面上的投影