簡單的線性規(guī)劃問題課件2(人教A版必修).ppt

1、3.3.2 簡單的線性規(guī)劃問題,了解線性規(guī)劃的意義，了解線性規(guī)劃的基本概念，掌握線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應用線性規(guī)劃的方法解決一些簡單的實際問題，提高解決實際問題的能力,課前自主學習,1關(guān)于x，y的不等式(組)稱為對變量x，y的約束條件，如果約束條件都是關(guān)于x，y的一次不等式，則稱約束條件為_約束條件 答案：線性 2把要求最大(小)值的函數(shù)zf(x，y)稱為_函數(shù) 答案：目標,自學導引,3在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題，稱為_規(guī)劃問題滿足線性約束條件的解(x，y)叫做_解，由所有可行解組成的集合叫做_域，其中，使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解 答案：線性可行

2、可行,線性目標函數(shù)z2x3y最大值的幾何意義是什么？,自主探究,A4 B11 C12 D14,預習測評,解析：只需畫出線性規(guī)劃區(qū)域，如下圖 可知，z4xy在A(2,3)處取得最大值11.,答案：B,A無最大值有最小值 B無最小值有最大值 C無最大值和最小值 D有最大值和最小值 解析：可行域無上界 答案：A,3在如圖所示的區(qū)域內(nèi)，zxy的最小值為_,解析：當直線xyz0經(jīng)過原點時，z最小，最小值為0. 答案：0,4.在如圖所示的區(qū)域內(nèi)，zxy的最大值為_,解析：因為z為直線zxy的縱截距，所以要使z最大，只要縱截距最大就可以，當直線過(0,2)點時，直線的縱截距最大，最大值為2. 答案：2,課堂

3、講練互動,1基本概念 (1)約束條件和線性約束條件：變量x，y滿足的一次不等式(組)叫做對變量x，y的約束條件；如果約束條件都是關(guān)于x，y的一次不等式，那么又稱為線性約束條件線性約束條件除了用一次不等式表示外，有時也用一次方程表示 (2)目標函數(shù)和線性目標函數(shù)：求最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式，叫目標函數(shù)；如果這個解析式是關(guān)于x，y的一次解析式，那么又稱為線性目標函數(shù),要點闡釋,(3)線性規(guī)劃問題：一般地，在線性約束條件下，求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題 (4)可行解與可行域：滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域 (5)最優(yōu)

4、解：使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，稱為這個問題的最優(yōu)解,2解決線性規(guī)劃問題的一般方法 解決線性規(guī)劃問題的一般方法是圖解法，其步驟如下： (1)確定線性約束條件，注意把題中的條件準確翻譯為不等式組； (2)確定線性目標函數(shù)； (3)畫出可行域，注意作圖準確； (4)利用線性目標函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解； (5)實際問題需要整數(shù)解時，應調(diào)整檢驗確定的最優(yōu)解(調(diào)整時，注意抓住“整數(shù)解”這一關(guān)鍵點),說明：求線性目標函數(shù)在約束條件下的最值問題的求解步驟是： 作圖畫出約束條件(不等式組)所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中的任意一條直線l. 平移將直線l平行移動，以確定最優(yōu)解所對應的點的

5、位置 求值解有關(guān)的方程組求出最優(yōu)解的坐標，再代入目標函數(shù)，求出目標函數(shù)的最值,特別提醒：尋找整點最優(yōu)解的方法 平移找解法：先打網(wǎng)格、描整點、平移直線l，最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整點便是最優(yōu)解，這種方法應充分利用非整數(shù)最優(yōu)解的信息，結(jié)合精確的作圖才行當可行域是有限區(qū)域且整點個數(shù)又較少時，可逐個將整點坐標代入目標函數(shù)求值，經(jīng)比較求最優(yōu)解,調(diào)整優(yōu)值法：先求非整點最優(yōu)解及最優(yōu)值，再借助不定方程知識調(diào)整最優(yōu)解，最后篩選出整點最優(yōu)解 由于作圖有誤差，有時由圖形不一定能準確而迅速地找到最優(yōu)解，此時將可能的數(shù)逐一檢驗即可,題型一求線性目標函數(shù)的最值,典例剖析,解：畫出約束條件表示的點(x，y)的可行域，如圖所示的

6、陰影部分(包括邊界直線) 作直線l：3x5y0，把直線向右上方平移至l1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點M，此時，l1：3x5yz0的縱截距最小，此時z3x5y取最小值,圖解法是解決線性規(guī)劃問題的有效方法其關(guān)鍵在于平移直線axby0時，看它經(jīng)過哪個點(或哪些點)時最先接觸可行域和最后離開可行域，則這樣的點即為最優(yōu)解，再注意到它的幾何意義，從而確定是取得最大值還是最小值,A有最小值2，最大值3 B有最小值2，無最大值 C有最大值3，無最小值 D既無最大值，也無最小值,解析：如圖所示，作出可行域，作直線l0：xy0，平移l0，當l0過點A(2,0)時，z有最小值2，無最大值,答案：B,題型二求解非線

7、性目標函數(shù)的最值,解：畫出滿足條件的可行域 (1)令tx2y2.則對t的每個值，x2y2t表示一簇同心圓(圓心為原點O)，且對同一圓上的點，x2y2的值都相等由下圖可知：,當(x，y)在可行域內(nèi)取值時，當且僅當圓過C點時，u最大，過(0,0)時u最小又C(3,8)，umax73，umin0.,方法點評：(1)對形如z(xa)2(yb)2型的目標函數(shù)均可化為求可行域內(nèi)的點(x，y)與點(a，b)間的距離平方的最值問題,題型三線性規(guī)劃的實際應用 【例3】 某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)預測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計劃投資

8、金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？,上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分(含邊界)即可行域,作直線l0：x0.5y0，并作平行于直線l0的一組直線x0.5yz，zR，與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點，且與直線x0.5y0的距離最大，這里M點是直線xy10和03x0.1y1.8的交點,答：投資人用4萬元投資甲項目、6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大,方法點評：充分利用已知條件，找出不等關(guān)系，畫出適合條件的平面區(qū)域，然后在該平面區(qū)域內(nèi)找出符合條件的點

9、的坐標實際問題要注意實際意義對變量的限制必要時可用表格的形式列出限制條件,3某工廠制造甲、乙兩種產(chǎn)品，已知制造甲產(chǎn)品1 kg要用煤9噸，電力4 kW，勞力(按工作日計算)3個；制造乙產(chǎn)品1 kg要用煤4噸，電力5 kW，勞力10個又知制成甲產(chǎn)品1 kg可獲利7萬元，制成乙產(chǎn)品1 kg可獲利12萬元，現(xiàn)在此工廠只有煤360噸，電力200 kW，勞力300個，在這種條件下應生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少千克，才能獲得最大經(jīng)濟效益？,利潤目標函數(shù)為z7x12y. 作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域(如下圖),作直線l：7x12y0，把直線l向右上方平移至l1位置時，直線l經(jīng)過可行域上的點M時，此時z7

10、x12y取最大值,答：應生產(chǎn)甲種產(chǎn)品20千克，乙種產(chǎn)品24千克，才能獲得最大經(jīng)濟效益,誤區(qū)解密憑空而想，沒抓住問題本質(zhì)致誤,因為x、y為整數(shù)，而離點A最近的整點是C(1,2)，這時S13，所以所求的最大值為13. 錯因分析：顯然整點B(2,1)滿足約束條件，且此時S14，故上述解法不正確 對于整點解問題，其最優(yōu)解不一定是離邊界點最近的整點 而要先對邊界點作目標函數(shù)tAxBy的圖象，則最優(yōu)解是在可行域內(nèi)離直線tAxBy最近的整點,正解：與錯解中第一段解題過程相同 因為x，y為整數(shù)，所以當直線5x4yt平行移動時，從點A起第一個通過的可行域的整點是B(2,1)，此時Smax14.,1常見的幾種目標函數(shù)的最值的求法： 利用截距的幾何意義；利用斜率的幾何意義；利用距離的幾何意義往往是根據(jù)題中給出的不等式，求出(x，y)的可行域，利用(x，y)的條件約束，數(shù)形結(jié)合求得目標函數(shù)的最值,課堂總結(jié),2線性規(guī)