2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第6講函數(shù)的奇偶性與周期性優(yōu)選學(xué)案

1、第6講函數(shù)的奇偶性與周期性考綱要求考情分析命題趨勢1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義2能運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性3了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性.2017全國卷，142017山東卷，142016天津卷，62015廣東卷，31.對函數(shù)的奇偶性與周期性的考查主要有兩種題型：一是判斷函數(shù)的奇偶性與周期性，二是已知函數(shù)的奇偶性與周期性求值或范圍，難度一般2函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用，題型有根據(jù)性質(zhì)判斷圖象、解不等式、求方程根的個數(shù)等，難度較大.分值：5分1偶函數(shù)、奇函數(shù)的概念一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有_f(x)f(

2、x)_，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有_f(x)f(x)_，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)2奇、偶函數(shù)的圖象特點偶函數(shù)的圖象關(guān)于_y軸_對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于_原點_對稱3函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|)(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性(3)在公共定義域內(nèi)有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇4函數(shù)的周期性(1)對于函數(shù)f(x)，如果存在一個_非零常數(shù)_T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有_f(xT)f(x)_，那么函數(shù)f(x)就叫做周期

3、函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的周期(2)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的_最小_正周期5函數(shù)周期性的常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量x的值：(1)若f(xa)f(x)，則T2a(a0)；(2)若f(xa)，則T2a(a0)；(3)若f(xa)，則T2a(a0)6函數(shù)的對稱性與周期性的關(guān)系(1)如果函數(shù)f(x)(xD)在定義域內(nèi)有兩條對稱軸xa，xb(ab)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期T2(ba)(不一定是最小正周期，下同)(2)如果函數(shù)f(x)(xD)在定義域內(nèi)有兩個對稱中心A(a,0)，B(b,0)(a0或x0來尋找等式f(x)f(x)

4、或f(x)f(x)成立，只有當(dāng)對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關(guān)系時，分段函數(shù)才具有確定的奇偶性【例1】 (1)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(C)Af(x)g(x)是偶函數(shù)B|f(x)|g(x)是奇函數(shù)Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù)D|f(x)g(x)|是奇函數(shù)(2)判斷下列各函數(shù)的奇偶性f(x)(x1)；f(x)；f(x)解析(1)f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，故f(x)g(x)為奇函數(shù)，f(x)|g(x)|為奇函數(shù)，|f(x)|g(x)為偶函數(shù)，|f(x)g(x)|為偶函數(shù)故選C(2)由得定義域為(1,1，關(guān)于原點不對稱，

5、故f(x)為非奇非偶函數(shù)由得定義域為(1,0)(0,1)，關(guān)于原點對稱x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱當(dāng)x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；當(dāng)x0時，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)綜上可知，對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(x)f(x)成立，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用與函數(shù)奇偶性有關(guān)的問題及解決方法(1)已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)值將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解(2)已知函數(shù)的奇偶性求解析式將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性

6、構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式(3)已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值常常利用待定系數(shù)法：由f(x)f(x)0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或?qū)Ψ匠糖蠼?4)應(yīng)用奇偶性畫圖象和判斷單調(diào)性利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象并判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性【例2】 (1)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)g(x)x3x21，則f(1)g(1)(C)A3B1C1D3(2)已知函數(shù)f(x)ax3bsin x4(a，bR)，flg(log210)5，則flg(lg 2)(C)A5B1C3D4解析(1)用“x”代替“x”，得f(x

7、)g(x)(x)3(x)21，化簡得f(x)g(x)x3x21，令x1，得f(1)g(1)1.故選C(2)f(x)ax3bsin x4，f(x)a(x)3bsin(x)4，即f(x)ax3bsin x4，得f(x)f(x)8.又lg(log210)lglg(lg 2)1lg(lg 2)，flg(log210)flg(lg 2)5，又由式，知flg(lg 2)flg(lg 2)8，5flg(lg 2)8，flg(lg 2)3.三函數(shù)的周期性函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用(1)判斷函數(shù)的周期性只需證明f(xT)f(x)(T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題(2)

8、根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(kZ，且k0)也是函數(shù)的周期【例3】 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x6)f(x)當(dāng)3x1時，f(x)(x2)2；當(dāng)1x3時，f(x)x.則f(1)f(2)f(3)f(2 018)(C)A337B338C339D2 018解析由f(x6)f(x)可知，函數(shù)f(x)的周期為6，由已知條件可得f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，所以在一個周期內(nèi)有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 01

9、8)f(1)f(2)336112336339.四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)單調(diào)性與奇偶性的綜合注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性(2)周期性與奇偶性的綜合此類問題多考查求值問題，常用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解(3)單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解【例4】 (1)已知定義域為(1,1)的奇函數(shù)f(x)是減函數(shù)，且f(a3)f(9a2)0，則實數(shù)a的取值范圍是(A)A(2，3)B(3，)C(2，4)D(2,3)(2)

10、已知函數(shù)f(x)是(，)上的偶函數(shù)，若對于x0，都有f(x2)f(x)，且當(dāng)x0,2)時，f(x)log2(x1)，則f(2 017)f(2 018)_1_.解析(1)由f(a3)f(9a2)0，得f(a3)f(9a2)又奇函數(shù)滿足f(x)f(x)，得f(a3)f(a29)f(x)是定義域為(1,1)的減函數(shù)，解得2a0，即x1，其定義域關(guān)于原點不對稱，是非奇非偶函數(shù)2已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)3xm(m為常數(shù))，則f(log35)(D)A6B6C4D4解析因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)3xm，所以f(0)1m0m1，則f(log35)f(lo

11、g35)(3log351)4.3已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，在x0時，f(x)exln(x1)，若f(a)f(a1)，則a的取值范圍是(B)A(，1)BCD(1，)解析根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，可知函數(shù)在0，)上是增函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)圖象的對稱性，可知函數(shù)在(，0)上是減函數(shù)，所以f(a)f(a1)等價于|a|a1|，解得a.故選B4(2016四川卷)若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x0，所以不是奇函數(shù)，所以B項錯；對于C項，f(x)2x2xf(x)，f(x)是偶函數(shù)，所以C項錯；對于D項，f(x)x31定義域為R，但圖象不過原點，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)，所以D項錯只有

12、A項滿足定義域關(guān)于原點對稱，并且f(x)f(x)，是奇函數(shù)2已知f(x)3ax2bx5ab是偶函數(shù)，且其定義域為6a1，a，則ab(A)AB1C1D7解析因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以6a1a0，所以a.又因為f(x)為偶函數(shù)，所以3a(x)2bx5ab3ax2bx5ab，得b0，所以ab.故選A3已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，當(dāng)x(0,2)時，f(x)2x2，則f(2 019)(A)A2B2C98D98解析因為f(x4)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(2 019)f(50443)f(3)f(1)又f(x)為奇函數(shù)，所以f(1)f(1)212

13、2，即f(2 019)2.4已知函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)lg x，則f(D)ABClg 2Dlg 2解析因為當(dāng)x0時，f(x)lg x，所以flg2，則ff(2)，因為函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)，所以ff(2)lg 2.5已知偶函數(shù)yf(x)滿足f(x5)f(x5)，且0x5時，f(x)x24x，則f(2 018)(B)A3B4C4D12解析f(x5)f(x5)，f(x10)f(x)，f(x)為周期函數(shù)，且周期為10，f(2 018)f(202102)f(2)f(2)22424.故選B6已知f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在0，)上是增函數(shù)，如果f(ax1)f(x2)在x時恒成立，則

14、實數(shù)a的取值范圍是(D)A2,1B5,0C5,1D2,0解析因為f(x)是偶函數(shù)，在0，)上是增函數(shù)，如果f(ax1)f(x2)在x時恒成立，則ax1|x2|，即x2ax12x.由ax12x，得ax1x，a1，而1在x1時取得最小值0，故a0.同理，x2ax1時，a2，所以a的取值范圍是2,0二、填空題7(2018河南豫西南部分示范性高中期中)已知奇函數(shù)f(x)則實數(shù)a_4_.解析因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)f(x)，則f(1)f(1)，所以421(21a)，解得a4.8設(shè)定義在2,2上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，若f(1m)f(m)，則實數(shù)m的取值范圍是_.解析因為f(x

15、)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)f(|x|)所以不等式f(1m)f(m)，等價于f(|1m|)f(|m|)又當(dāng)x0,2時，f(x)是減函數(shù)所以解得1m.9(2017山東卷)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x4)f(x2)若當(dāng)x3,0時，f(x)6x，則f(919)_6_.解析f(x4)f(x2)，f(x)的周期為6，91915361，f(919)f(1)又f(x)為偶函數(shù)，f(919)f(1)f(1)6.三、解答題10若f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)g(x)，求f(x)的表達式解析在f(x)g(x)中用x代替x，得f(x)g(x).

16、又f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，所以f(x)g(x)，聯(lián)立方程兩式相減得f(x).11已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當(dāng)x(0,1)時，f(x).(1)求f(1)和f(1)的值；(2)求f(x)在1,1上的解析式解析(1)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，f(1)f(12)f(1)f(1)，f(1)0，f(1)0.(2)由題意知，f(0)0.當(dāng)x(1,0)時，x(0,1)由f(x)是奇函數(shù)，得f(x)f(x).綜上，在1,1上，f(x)12函數(shù)f(x)的定義域為Dx|x0，且滿足對于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，求x的取值范圍解析(1)因為對于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x