utf8''固體理論4固體能帶理論(1)

1、固體能帶理論,一、自由電子模型（前面幾節(jié)使用的）,在這個(gè)模型中，電子與電子，晶格與電子之間的相互作用被忽略.也可以這樣說(shuō)晶格對(duì)電子的影響視為平均勢(shì)場(chǎng).,索米菲理論：自由電子模型費(fèi)米狄拉克分布 解釋： 1.電子氣熱容量 2.電子發(fā)射 3.電子氣的順磁與逆磁效應(yīng),1. 磁阻,困難：,2. 霍耳效應(yīng),3.電導(dǎo)、熱導(dǎo),二、3個(gè)重要近似和周期性勢(shì)場(chǎng),多粒子系統(tǒng),多電子系統(tǒng),單電子系統(tǒng),即：每個(gè)電子在由正離子產(chǎn)生的和其他電子的平均電荷分布的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng).,絕熱近似：,由于原子核質(zhì)量比電子的質(zhì)量大得多，電子的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)大于原子核的運(yùn)動(dòng)速度，即原子核的運(yùn)動(dòng)跟不上電子的運(yùn)動(dòng)。所以在考慮電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，認(rèn)為原子實(shí)不動(dòng)

2、。,單電子近似：,一個(gè)電子在離子實(shí)和其它電子所形成的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。又稱Hartree-Fock自洽場(chǎng)近似。,周期場(chǎng)近似：,原子實(shí)和電子所形成的勢(shì)場(chǎng)是周期性的。,2.周期性勢(shì)場(chǎng) ：,單電子近似的結(jié)果：周期性勢(shì)場(chǎng)（周期為一個(gè)晶格常數(shù)）,1D,3D,r為電子位置矢量,為離子的位矢,Schrodinger eq.,3. Bloch波,1）Bloch定理：在周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子，氣波函數(shù)由如下形式,其中u具有晶格的周期性，即,證明：?jiǎn)栴}：求H的本征函數(shù)，直接求困難.,方法：,定義平移算符：,由量子力學(xué)知道，如果兩算符對(duì)易，則它們具有共同的本征函數(shù).,問(wèn)題：,任意兩個(gè)算符對(duì)易嗎？,設(shè),為本征值,取,為變量

3、,則：,其中：,具有晶格周期性,證明：,Bloch定理 ：,在周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)具有如下形式,推廣 ：,三維情況,描寫電子的共有化狀態(tài),描寫電子在原胞中的運(yùn)動(dòng),2）Bloch波的性質(zhì),a.波函數(shù)不具有晶體周期性，而（k為實(shí)數(shù)時(shí)）電子分布幾率具有晶格的周期性,b.當(dāng)k為虛數(shù)，描寫電子的表面態(tài)，kis(s0),S小于0時(shí)無(wú)意義.,c) 周期邊界條件：,d) 波矢相差倒格矢整數(shù)倍的Bloch波等效.因此把波矢限制在第一布區(qū)內(nèi).且第一布區(qū)內(nèi)的分立波矢數(shù)為晶體原胞數(shù)N可容納的電子數(shù)為2N.,證明：,具有共同本征值.,與,描寫同一狀態(tài).,因此可以把波矢限制在第一布區(qū)內(nèi),波矢數(shù)：,考慮自旋：電子

4、數(shù)為2N,解：（1）方法a,方法b.,例：電子波函數(shù)為：,求波矢k。,2,三、單電子近似下電子的能量狀態(tài),電子滿足的薛定諤方程：,在克龍尼克潘納模型下：,周期運(yùn)動(dòng)中的離子許可能級(jí)形成能帶.能帶之間存在不許可能量范圍稱為禁帶，且禁帶位于布區(qū)邊界.,這個(gè)模型有多方面適應(yīng)性.改變b.a.c的值可以討論表面態(tài).合金及人造晶格的能帶.,關(guān)于能帶的討論：,1.在布里淵源的內(nèi)部，電子的能量可粗略的視為自由電子的能量,2.在布區(qū)邊界上，電子能量不連續(xù)，出現(xiàn)禁帶，禁帶的寬度為：,為勢(shì)能函數(shù)的第l個(gè)傅立葉分量,產(chǎn)生禁帶的原因：是在布區(qū)邊界上存在布拉格反射.,3.在同一能帶中，能量最大的地方稱為帶頂，能量最小的地方

5、稱為帶底，能量最大值與最小值之差稱為能帶寬度.帶底附近能量曲線是一開(kāi)口向上的小拋物線，帶頂附近，能量曲線是一開(kāi)口向下的小拋物線.,4.能量是k的周期函數(shù)，周期為倒格子矢量,同時(shí)為k的偶函數(shù)：,（1）第一布區(qū)圖,（2）擴(kuò)展區(qū)圖,（3）周期區(qū)圖,5.能量曲線的三種表示方法,6.E為k的多值函數(shù)，以視區(qū)別,表示第s個(gè),能帶的能量，而k表示在第一布區(qū)中取值.,7.每個(gè)能帶可容納2N個(gè)電子，第一布區(qū)分立k的數(shù)目為N,考慮自旋2N,解：,例1.求克龍尼克潘納模型第一、二、三個(gè)禁帶的寬度.,2.二維情況下，晶體勢(shì)場(chǎng),求布區(qū)邊界,處的能隙寬度,解：,二維,第一布區(qū)邊界：,能帶計(jì)算,我們介紹了一維周期場(chǎng)中電子的

6、運(yùn)動(dòng)特征，獲得了固體能帶的主要結(jié)論.本章主要考慮三維情況，介紹能帶的計(jì)算方法.,一回顧單電子近似,1. 絕熱近似多粒子體系變成多電子體系。原子核質(zhì)量比電子大的多，運(yùn)動(dòng)速度慢，可以認(rèn)為原子核固定在瞬時(shí)位置上.,2. Hatree-Fock近似. 多電子體系變?yōu)閱坞娮芋w系.每個(gè)電子在離子核勢(shì)場(chǎng)及其他電子產(chǎn)生的平均勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng).,3勢(shì)場(chǎng)是周期性的.,二能帶計(jì)算的一般步驟：,1.選取某個(gè)適當(dāng)?shù)木哂蠦lock函數(shù)形式的函數(shù)集（函數(shù)集的選取決定于所取的近似）將電子波函數(shù)在此集合中展開(kāi).,2. 將電子波函數(shù)（展開(kāi)后的）代入薛定諤方程得到一組各展開(kāi)系數(shù)所滿足的久期方程.,3.由各系數(shù)不全為0的有解條件（久期方程

7、的系數(shù)行列式為0），求出能量本征值.,4.依據(jù)能量本征值，求出波函數(shù)展開(kāi)系數(shù).,三. 平面波方法,一、平面波函數(shù)及其正交性,平面波：,的平面波組成一函數(shù)集.,正交性：,函數(shù)在另一個(gè)波函數(shù)上的投影為0.,證明：,二、波函數(shù)與勢(shì)函數(shù)在平面波函數(shù)集中展開(kāi)：,平面波函數(shù)集：,波函數(shù)：,勢(shì)函數(shù)：,為展開(kāi)系數(shù),所以V具有周期性.,三、中心方程及其解,Kittle稱之為中心方程.,各方程有解之條件：,矩陣元,如果選取 為某個(gè)固定方向，計(jì)算這個(gè)方向的能帶,平面波方法簡(jiǎn)單，但收斂較慢，取很多個(gè)平面波來(lái)計(jì)算，計(jì)算工作量較繁，如果取200個(gè)平面波，則得到200階行列式，40000個(gè)矩陣元，這就要求容量相當(dāng)大的計(jì)算機(jī)

8、.雖然有求解行列式專用程序，工作量之大是可想而知的.如果計(jì)算方法是取一個(gè),計(jì)算一個(gè)點(diǎn)那么多少階行列式則可解出多少個(gè)能量本征,一個(gè)能量本征值代表一個(gè)許可態(tài)，去不同的 k 值則可得到,多少個(gè)能量譜線.,討論：,1.近自由近似零級(jí)波函數(shù)為平面波,與波函數(shù),比較,由中心方程：,與微分結(jié)果一致.,2.兩分量近似,中心方程得：,由于系數(shù)行列式為0,在遠(yuǎn)離布區(qū)處，電子能量大約為自由電子的能量，在布區(qū)邊界的地方，能帶分裂，出現(xiàn)禁帶，其寬度為：,3.能帶分裂處滿足Bragg反射條件,5.4 緊束縛方法,平面波方法的缺點(diǎn)：收斂較慢計(jì)算麻煩.,電子幾乎為一個(gè)原子所有，在空間上稍有擴(kuò)展，即緊束縛方法認(rèn)為電子在鼓勵(lì)原子

9、中的情形，而又不全如此：每個(gè)原子對(duì)它附近的電子的作用較強(qiáng)，當(dāng)二者的距離稍遠(yuǎn)時(shí)，作用很小.,緊束縛模型：,一、基函數(shù)（Wanner函數(shù)）,電子波函數(shù):,性質(zhì)：,a.區(qū)域性：,證明：,b.正交性：,不同格點(diǎn)不同能帶的旺尼爾函數(shù)正交,物理意義：不同能級(jí)的電子云重迭較少，同一原子不同能級(jí)的電子云也不重迭.,取旺尼爾函數(shù)為孤立原子波函數(shù)：,電子波函數(shù)：,滿足：,二.求系統(tǒng)的能量：,孤立原子：,晶 體：,討論s態(tài)：沒(méi)有簡(jiǎn)并，球?qū)ΨQ,包含三部 分,例：用緊束縛方法導(dǎo)出體心立方晶體的s能帶的表達(dá)式，并求出能帶寬度和電子的有效質(zhì)量。,解：,1.體心立方有八個(gè)鄰近，坐標(biāo)如下：,為孤立原子的能級(jí)， 為庫(kù)侖能.加上J

10、項(xiàng)能級(jí)變成能帶（因?yàn)镴較?。?，J項(xiàng)與k有關(guān)，色散關(guān)系（能譜）主要由此項(xiàng)體現(xiàn).s電子與方位無(wú)關(guān)，如果非s電子，J還與臨近原子的方位有關(guān).,由（1）、（4）得：,由（3）、（6）得：,由（2）、（7）得：,由（5）、（8）得：,(a),(b),(c),(d),由（a）、（b）得：,由（c）、（d）得：,(e),(f),由（e）、（f）得：,2.能帶寬度,3.解法一：用定義求,帶底（0，0，0）,解法二：展開(kāi)方法,費(fèi)米面的構(gòu)造,費(fèi)米面是電子的占據(jù)態(tài)與非占據(jù)態(tài)之間的分界面.晶體（特別是導(dǎo)體）的許多性質(zhì)決定于費(fèi)米面附近電子的行為.因此費(fèi)米面的形狀十分重要.,構(gòu)成費(fèi)米面的步驟：,1.畫出布區(qū)廣延圖,2.用

11、自由電子模型畫出費(fèi)米球,3.用的性質(zhì)，將費(fèi)米片斷移到這一布區(qū),4.自由電子過(guò)渡到準(zhǔn)自由電子，由于禁帶出現(xiàn)在布區(qū)邊界，費(fèi)米面于布區(qū)相割處，將費(fèi)米面銳處鈍化.,例1、二維正方晶格 1.畫出布區(qū)廣延圖,2.求,解：,1 0.798,2 1.128,3 1.384,4 1.596,5 1.784,6 1.954,費(fèi)米球如右圖,解:,所以 每個(gè)原子所貢獻(xiàn)的電子數(shù)為,例2.已知某簡(jiǎn)立方晶體的費(fèi)米球與第一布區(qū)的邊界相切，求每個(gè)原子的電子數(shù),狄哈斯阿耳勞效應(yīng),1.現(xiàn)象,低溫強(qiáng)場(chǎng)條件下，晶體的磁導(dǎo)率隨 振蕩,（后來(lái)發(fā)現(xiàn)電導(dǎo)率及比熱也有類似現(xiàn)象）,這些現(xiàn)象同費(fèi)米面附近的電子在強(qiáng)磁場(chǎng)中的行為有關(guān).因而與金屬的費(fèi)米面

12、的結(jié)構(gòu)有關(guān).因此，此現(xiàn)象是研究晶體費(fèi)米面的工具 .,2.解釋,a.磁場(chǎng)中電子應(yīng)滿足的schrodinger 方程及其解,磁矢勢(shì)：,電子的正則動(dòng)量：,電子應(yīng)滿足的schrodinger eg,上式為一個(gè)諧振子的schrodinger方程。由量子力學(xué)及：,或,由上式可以看出電子能量在xy面上變成了分立的能級(jí).所以電子的能量成為能帶，這個(gè)能帶稱為磁次能帶，此能帶的最低能量為,能帶序號(hào)為n.,b.求狀態(tài)密度：它與加了磁場(chǎng)后相鄰圓之間（or每個(gè)圓上的簡(jiǎn)并度）相等.,這說(shuō)明沒(méi)有磁場(chǎng)式，本來(lái)分布均勻的點(diǎn)在加上磁場(chǎng)后聚集到圓周上.每個(gè)圓上的代表點(diǎn)數(shù)隨磁場(chǎng)增多.,考慮Z方向：在單n個(gè)次能帶中波矢在,范圍的狀態(tài)數(shù)

13、：,有外磁場(chǎng)時(shí)：,c.解釋：,態(tài)密度曲線出現(xiàn)峰值，相鄰兩峰之間的能差是,由于磁場(chǎng)增大，每個(gè)峰內(nèi)所包含的電子數(shù)目增多，故可容納更多的電子.磁次能級(jí)減少，次能帶的抽空造成了振蕩.在某一磁場(chǎng)上，所需的磁次能帶n由下式確定：,未加磁場(chǎng)時(shí)，電子位于費(fèi)米海洋中,加上磁場(chǎng)后，電子位 于各磁次能級(jí)收上，加上 磁場(chǎng)B1后，能量上升的電 子與能量減少的電子相等.費(fèi)米能未改變，加上B2后能量上升的電子數(shù)多于能量減少的電子.費(fèi)米能升高. B3同B1時(shí)，費(fèi)米能量的起伏造成與之有關(guān)的物理量的振蕩.,3. 應(yīng)用用此效應(yīng)確定晶體的費(fèi)米面,設(shè)在磁場(chǎng)B1由n個(gè)磁次能帶； B2下有n-1個(gè)次能帶,S為垂直于磁場(chǎng)方向的費(fèi)米面的截面積

14、.,5.5 準(zhǔn)經(jīng)典近似,在外場(chǎng)作用下，電子如何運(yùn)動(dòng) ？如何描述？,用量子理論：不方便；經(jīng)典理論 ：困難.,準(zhǔn)經(jīng)典近似：描寫波的物理量與描寫粒子的量（速度、加速度、質(zhì)量間）的關(guān)系.,一、k態(tài)電子的速度,一維,三維,證：波包以,為中心，波矢在,范圍中的,波函數(shù)迭加而成,比,線度小的多.所以可認(rèn)為,波包的波函數(shù)：,幾率：,波包中心位置：,波包運(yùn)動(dòng)速度：,分量式：,二、動(dòng)量定理：,定義電子準(zhǔn)動(dòng)量：,則：,牛頓第二定律：,電子有效質(zhì)量：,證：,其中,討論：,1.周期場(chǎng)不存在時(shí)，電子的有效質(zhì)量為自由電子質(zhì)量.,有效質(zhì)量確實(shí)具有有效質(zhì)量的量綱,各向同性時(shí)：,2.有效質(zhì)量是二級(jí)張量,3.帶頂有效質(zhì)量為負(fù)，帶底

15、的有效質(zhì)量為正,由能量曲線的開(kāi)口方向可以得到解釋.,時(shí)，電子從外場(chǎng)獲得的能量大于交給晶體的能量,時(shí)，電子從外場(chǎng)獲得的能量小于交給晶體的能量,電子吸收外場(chǎng)能量，使其波矢增加，當(dāng)增加到一定程度，在從外場(chǎng)中吸收了能量的電子的波矢量剛好滿足Bragge反射條件，使電子總的向前的動(dòng)量減少.對(duì)應(yīng)于有效質(zhì)量為負(fù).,而是外場(chǎng)引起,變化，而,不隨,變化,例：,對(duì)于簡(jiǎn)立方，s電子的能帶表達(dá)式為：,求：1. k態(tài)電子的速度,2.能帶寬度,3.用級(jí)數(shù)展開(kāi)方法求帶頂、帶底的,4.由有效質(zhì)量的定義求,解:（1）,（2）能帶寬度,（3）a.帶底,（4）,由,b.,帶頂,底,頂,7.金屬、半導(dǎo)體、絕緣體的能帶結(jié)構(gòu) 空穴的概念

16、,固體能帶理論的主要貢獻(xiàn)在于它成功的解釋了物質(zhì)的導(dǎo)電機(jī)理，即說(shuō)明了有的物質(zhì)為什么能導(dǎo)電，有的物質(zhì)為什么不導(dǎo)電.雖然同樣有大量的電子存在.,一、幾個(gè)概念,1.滿帶電子不導(dǎo)電,這證明k態(tài)電子與-k態(tài)的電子運(yùn)動(dòng)方向相反，大小相等.,（1）無(wú)外場(chǎng)時(shí)，能帶完全被電子占滿，分布對(duì)稱，雖然每個(gè)電子均有電流 ,但總的效果為0,因?yàn)楸舜送耆窒?,（2）有外場(chǎng)時(shí)，所有電子的波矢均向左移動(dòng),但這種移動(dòng)并未改變是電子的填充狀態(tài)，因?yàn)閺?移出的電子從,點(diǎn)移進(jìn)來(lái)，整個(gè)能帶仍是滿的,在無(wú)外場(chǎng)時(shí)，電流為0，沒(méi)有外場(chǎng)作用時(shí)，電流不為0，無(wú)外場(chǎng)時(shí)，分布對(duì)稱，電流相互抵消.有外場(chǎng)時(shí)電子分布不對(duì)稱，有凈的剩余電流存在.,2.不滿帶

17、電子導(dǎo)電,二、用能帶理論解釋導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體,1.導(dǎo)體能帶特點(diǎn)：能帶未被完全充滿，或能帶產(chǎn)生交迭,(2). 堿金屬：各方向上的周期不一樣，能帶出現(xiàn)交迭，造成能帶實(shí)際不滿。,2.絕緣體：,價(jià)電子剛好填滿整個(gè)價(jià)帶，而更高的許可帶與價(jià)帶之間存在著一個(gè)很大的禁帶，除非很強(qiáng)的電場(chǎng)，否則電子不會(huì)被激發(fā)到許可帶上去而導(dǎo)電。,3.半導(dǎo)體,能帶結(jié)構(gòu)基本上與絕緣體相似，只是禁帶較窄（一般在2.0eV以下）依靠熱激發(fā)就可以使電子躍遷到許可帶上去而導(dǎo)電.,三、空穴的概念,1.定義：滿帶頂部附近的空狀態(tài)（如半導(dǎo)體中電子躍遷后留下的空位）,2. 性質(zhì)：,（1）荷電,（2）有效質(zhì)量,（3）速度,態(tài)電子的速度,證明：,外來(lái)電子的電流,不滿帶的電流,3.空穴在狀態(tài)空間的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,空穴波