第五章-線性系統(tǒng)的頻域分析法

1、第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析法,頻域分析法的由來： 工程技術上常采用傅里葉分析法來分析線性系統(tǒng)（信號與系統(tǒng)）。 因為任何周期函數(shù)都可以展開為含有許多正弦分量或者余弦分量的傅里葉級數(shù)；而任何非周期函數(shù)都可表示為傅里葉積分，從而可將一個時間域的函數(shù)變換為頻率域的函數(shù)。 在我們研究輸入為非正弦函數(shù)的線性系統(tǒng)時，應用傅里葉級數(shù)和傅里葉變換的這個性質，可以通過研究對各種頻率正弦波的響應特性來了解系統(tǒng)對非正弦輸入的響應特性。 自動控制系統(tǒng)的頻域分析法就是建立在這個基礎上的。,參見信號與系統(tǒng),控制系統(tǒng)的頻率特性反映正弦信號作用下系統(tǒng)響應的性能，是系統(tǒng)的一種數(shù)學模型。 應用頻率特性來研究線性系統(tǒng)的經典方法稱為頻

2、域分析法。 頻域分析法具有以下特點： 1.控制系統(tǒng)及其元部件的頻率特性可以運用分析法或者實驗法獲得，并可用多種形式的曲線來表示，因而系統(tǒng)分析和控制器設計可以應用圖解法進行。 2.頻率特性的物理意義明確。頻域性能指標和時域性能指標之間有相應的對應關系。 3.控制系統(tǒng)的頻域設計可以兼顧動態(tài)響應和噪聲抑制兩方面的要求。 4.還可以推廣到研究某些非線性系統(tǒng)。,頻域分析法的基本介紹,時域分析法與頻域分析法比較： 時域分析法是分析控制系統(tǒng)的直接方法，比較直觀、精確。當往往需要求解復雜的微分方程。 頻域分析法是一種圖解分析法。它依據(jù)系統(tǒng)的又一種數(shù)學模型頻率特性，利用頻域指標和時域指標之間的對應關系，間接地揭

3、示系統(tǒng)的暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對系統(tǒng)的暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性的影響，并能指明改進系統(tǒng)的方向。也是一種工程上常用的方法。,復域分析法（根軌跡法），根軌跡法與時域分析法聯(lián)系較為緊密。,本章內容,5-1 頻率特性（數(shù)學模型） 5-2 典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性（系統(tǒng)建模） 5-3 頻率域穩(wěn)定判據(jù)（穩(wěn)定性問題） 5-4 Matlab在頻率響應法中的應用 5-5 穩(wěn)定欲度（相對穩(wěn)定性問題） 5-6閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性 5-7 頻域響應和時域響應之間的關系 5-8 控制系統(tǒng)頻域設計,頻域分析法與時域分析法是截然不同的兩種分析和設計系統(tǒng)的方法，但是本質是統(tǒng)一的。,5-1 頻率特性,1

4、.頻域特性的基本概念（這種數(shù)學模型是怎樣的？） 2.頻率特性的幾何表示（這種數(shù)學模型怎樣表示？）,1.頻域特性的基本概念,首先以RC濾波網(wǎng)絡為例，引出頻率特性的基本概念。,那么該性質是否具有一般性，即能否推廣到一般的n階線性定常系統(tǒng)中？,其中，,如果該結論成立，我們知道，控制系統(tǒng)中的信號均可以表示為不同頻率正弦信號的合成。那么我們將各種不同頻率的輸入正弦信號對應該線性系統(tǒng)的響應情況都求出來，那么任何一種控制信號對系統(tǒng)的響應就可以通過疊加相應的正弦信號響應而得到。（信號與系統(tǒng)傅里葉變換。）這也是頻率分析法的根本思想所在。,該結論成立的意義：,那么該性質是否具有一般性，即能否推廣到一般的n階線性定

5、常系統(tǒng)中？,其中，,證明：,對于一般的n階線性定常系統(tǒng)中，若輸入 ，則輸出的穩(wěn)態(tài)值為,頻率特性的定義,對于一般的n階線性定常系統(tǒng)中，若輸入 ，則輸出的穩(wěn)態(tài)值為,也就是說， 對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，由諧波輸入（正弦輸入）產生的穩(wěn)態(tài)分量仍然是與輸入同頻率的諧波函數(shù)，只是幅值和相位產生了變化，并且這種變化是頻率的函數(shù)，這個函數(shù)與系統(tǒng)數(shù)學模型相關。,（重要概念）,獲取系統(tǒng)頻率特性的途徑有兩個: 1. 分析法 當已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時，用 代入傳遞函數(shù)可得到系統(tǒng)的頻率特性G(j)。因此，頻率特性是 特定情況下的傳遞函數(shù)。它和傳遞函數(shù)一樣，反映了系統(tǒng)的內在聯(lián)系。這種通過傳遞函數(shù)確定頻率特性的方法是求取頻率特性的

6、分析法（解析法）。 2. 實驗法 當系統(tǒng)已經建立，尚不知道其內部結構或傳遞函數(shù)時，在系統(tǒng)的輸入端輸入一正弦信號 ，測出不同頻率時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的振幅Y和相移，便可得到它的幅頻特性 和相頻特性 。這種通過實驗確定系統(tǒng)頻率特性的方法是求取頻率特性的實驗法（也叫系統(tǒng)辨識）。 系統(tǒng)辨識：由系統(tǒng)的輸入與輸出確定系統(tǒng)數(shù)學模型的方法。,5、頻率特性一般針對穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)而言。,正弦輸入穩(wěn)態(tài)誤差求法總結： 1.定義法，求拉式反變換（不能用終值定理） 2.動態(tài)誤差系數(shù)法 3.頻率響應法,用頻率特性求取正弦輸入穩(wěn)態(tài)誤差的方法：,2.頻率特性的幾何表示法（圖示法）（重點）,僅從 的表達式中看出的信息不直觀，在工程

7、分析和設計中，通常把線性系統(tǒng)的頻率特性畫成曲線，觀察其在不同頻率段上的變換，再運用圖解法進行研究（包括穩(wěn)態(tài)性能、暫態(tài)性能等）。常用的頻率特性曲線有三種：,（伯德曲線或伯德圖，波特圖）,（尼克爾斯曲線或尼克爾斯圖）,（極坐標圖，奈奎斯特圖，奈氏圖，幅相曲線）,Bode 圖是重點，Nyquist圖次重點。（考試、考研必考）,本教材，寫的跳躍性過大，也太難，建議參考其他作者書。,頻率特性 幅頻特性 相頻特性 實頻特性 虛頻特性 對數(shù)幅頻特性,Remark:,給定一個環(huán)節(jié)或者系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ，可以馬上得到：,以上特性，在頻率特性的幾何表示中，經常用到，通常都需要事先計算出來，再繪圖。,例 RC網(wǎng)絡的奈

8、奎斯特圖,單位：弧度/秒,半對數(shù)坐標系的優(yōu)點： 對數(shù)頻率特性采用 的對數(shù)分度實現(xiàn)了橫坐標的非線性壓縮，便于在較大頻率范圍內反映頻率特性的變化情況。對數(shù)幅頻特性采用 則將幅值的乘法運算轉化為加減運算，可以簡化曲線的繪制過程。,例 RC網(wǎng)絡的伯德圖,RC網(wǎng)絡Nichols圖(T=0.5),5-2 典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性,設典型的線性系統(tǒng)結構如圖所示，閉環(huán)系統(tǒng)的很多性能可通過研究開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性來得到。 該線性系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，為了研究開環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線，本節(jié)先研究開環(huán)系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)的頻率特性，進一步研究開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性。,本節(jié)目錄 1.典型環(huán)節(jié) 2.最小相位環(huán)節(jié)的頻率特性（Nyqu

9、ist圖與bode圖） 3.非最小相位環(huán)節(jié)的頻率特性（Nyquist圖與bode圖） 4.系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線（Nyquist圖） 5.系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線（bode圖） 6.傳遞函數(shù)的頻域實驗確定 7.延遲環(huán)節(jié)和延遲系統(tǒng),重點掌握最小相位情況的各個知識點，非最小相位情況的考試不考，考研可能考。,1.典型環(huán)節(jié),2.最小相位環(huán)節(jié)的頻率特性,（考試、考研重點，nyquist圖與bode圖必須會畫，概率圖）,考試的標準畫法,o,比例環(huán)節(jié)的nyquist圖與bode圖,考試的標準畫法,注意考察幾個特殊點：,與橫軸的交點。,o,積分環(huán)節(jié)的nyquist圖與bode 圖,半對數(shù)坐標系中的直線方程（重要

10、，bode圖解計算時經常用到）,其中， 和 為直線上的兩點， 為直線斜率。,一定在第四象限，相角變化在0度到-90度。,考試的標準畫法,慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線,注意考察幾個特殊點：,與轉折點,考試的標準畫法,注意考察幾個特殊點：,與轉折點,慣性環(huán)節(jié)極坐標圖,o,第四象限,第三象限,根據(jù)實頻和虛頻確定相角象限的方法（重要）,為 的減函數(shù) 。當 時，諧振峰值 。,注意：,3.有諧振時，,2. 與虛軸的交點,1.,（特殊點與趨勢）,（轉折點，是阻尼比的減函數(shù)）,4.無諧振時,對數(shù)幅頻特性：,時，忽略 中的 和,二階振蕩環(huán)節(jié)的折線（漸近線）方程,注意： 越小，最小為0， 出現(xiàn)的越晚； 越大，最大為0.70

11、7， 出現(xiàn)的越早,比例環(huán)節(jié)bode 圖,典型最小相位環(huán)節(jié)bode圖匯總,P193 圖5-11,振蕩環(huán)節(jié)與二階微分環(huán)節(jié)（折線圖怎么畫）,轉折頻率？,最小相位系統(tǒng)： 比例相頻不衰減； 積分相頻衰減-90度 一節(jié)慣性相頻逐步衰減90度 二階振蕩相頻逐步衰減180度 微分相頻超前90度 一階微分逐步超前90度 二階微分逐步超前180度,3.非最小相位環(huán)節(jié)的頻率特性,注意：運用實頻和虛頻判斷相角象限,4. 系統(tǒng)的概略開環(huán)幅相曲線（Nyquist圖）（考試、考研必考）,1）將開環(huán)傳遞函數(shù)表示成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式：,2）求系統(tǒng)的頻率特性：,即,概略繪制的具體步驟,3）求,4）補充必要的特征點(主要指曲線

12、與負實軸的交點，相交時所對應頻率稱為穿越頻率)。 5）根據(jù) 的變化趨勢確定曲線歷經的象限與單調性，畫出Nyquist 圖的大致形狀。,例：,已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試繪制系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖。,解：,1）系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,2）起點和終點,3）曲線與實軸的交點。,例：,已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試繪制系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖并求與實軸的交點。,解：,1）系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,2）起點和終點,3）曲線與實軸的交點。,相交時，滿足,解得：,舍去,（虛頻為零）,又,解得，,例：,已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試繪制系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖。,解：,1）系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,2）起點和終點,最小相位系統(tǒng)

13、nyquist圖的一般形狀：（考試、考研時利用此規(guī)律作圖）,考慮如下系統(tǒng)：,1）,n為分母階次,m為分子階次,只包含慣性環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng)Nyquist圖,2),3),結論：（最小相位系統(tǒng)）（考試考研的快速作圖方法） 開環(huán)含有v個積分環(huán)節(jié)系統(tǒng)，Nyquist曲線起自幅角為v90的無窮遠處。 n = m時，Nyquist曲線起自實軸上的某一有限遠點，且止于實軸上的某一有限遠點。 n m時，Nyquist曲線終點幅值為0 ，而相角為(nm)90。 不含一階或二階微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，相角滯后量單調增加。含有一階或二階微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，由于相角非單調變化， Nyquist曲線可能出現(xiàn)凹凸。,例5-3 已知單位反

14、饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線。,解：1）.系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為,2）開環(huán)幅相曲線的起點：,終點：,3）與實軸的交點：,當,時，存在交點。,交點為,當時 ，交點不存在。,應該指出，由于開環(huán)傳遞函數(shù)具有一階微分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線有凹凸現(xiàn)象，因為繪制的是概略幅相曲線，故這一現(xiàn)象無需準確反映。,例5-4：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。,解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為,非最小相位系統(tǒng)nyquist圖繪制舉例（考研）,開環(huán)幅相曲線的起點幅頻：,各環(huán)節(jié)在 時的相頻特性范圍：,開環(huán)幅相曲線的終點幅頻：,因此，開環(huán)頻率特性的相頻范圍為：,即：,（象限判斷）,與虛軸的交點：令虛

15、部為零，解得,5.系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線（bode圖）,（考試、考研重點）,最小相位系統(tǒng),尋找最小相位系統(tǒng)開環(huán)Bode圖特點（熟記） 最低頻段的斜率取決于積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v，斜率為20vdB/dec。 注意到最低頻段的對數(shù)幅頻特性可近似為：（會推導） L() = 20lgK 20vlg 當1 rad/s時，L()=20lgK，即最低頻段的對數(shù)幅頻特性或其延長線在1 rad/s時的數(shù)值等于20lgK。（在1 rad/s處，只有比例環(huán)節(jié)能夠提供增益，其它的環(huán)節(jié)在此處都為0；環(huán)節(jié)轉折頻率在1前例外，此時對應低頻段的延長線。） 如果各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性用漸近線表示，則對數(shù)幅頻特性為一系列折線，折線的轉

16、折點為各環(huán)節(jié)的轉折頻率。 對數(shù)幅頻特性的漸近線每經過一個轉折點，其斜率相應發(fā)生變化，斜率變化量由當前轉折頻率對應的環(huán)節(jié)決定。對慣性環(huán)節(jié)，斜率下降20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)，下降40dB/dec；一階微分環(huán)節(jié)，上升20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)，上升40dB/dec。,由以上特點，可以總結出繪制最小相位系統(tǒng)bode圖的步驟（熟記）,1）將開環(huán)傳遞函數(shù)表示為典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)：,2）確定各環(huán)節(jié)的轉折頻率,并由小到大標示在對數(shù)頻率軸上。,3）計算20lgK，在1 rad/s 處找到縱坐標等于20lgK 的點，過該點作斜率等于-20v dB/dec的直線，向左延長此線至所有環(huán)節(jié)的轉折頻率之左，得到最低頻段

17、的漸近線。,4）向右延長最低頻段漸近線，每遇到一轉折頻率改變一次漸近線斜率。,5）對漸近線進行修正以獲得準確的幅頻特性（主要針對振蕩環(huán)節(jié) 和二階微分環(huán)節(jié)）。,6）相頻特性曲線由各環(huán)節(jié)的相頻特性相加獲得，計算幾個點的值 繪出大致曲線。,（整理成尾一式）,考試標準繪圖,相頻特性bode圖在同樣的坐標系下繪制一條近似的曲線即可。注意相頻的角度范圍不要錯即可。,非最小相位系統(tǒng)開環(huán)環(huán)bode圖的繪制（考研）,6.傳遞函數(shù)的頻域實驗確定（系統(tǒng)辨識）,可運用頻率響應實驗確定穩(wěn)定系統(tǒng)的數(shù)學模型。,1)頻率響應實驗 頻率響應實驗原理圖如圖所示。,首先選擇信號源輸出的正弦信號的幅值，以使系統(tǒng)處于非飽和狀態(tài)。 在一

18、定頻率范圍內（感興趣的范圍內），改變輸入正弦信號的頻率，記錄每個頻率點處系統(tǒng)輸出信號的波形。 由穩(wěn)定段的輸入輸出信號的幅值比和相位差繪制對數(shù)頻率特性曲線。,2）傳遞函數(shù)的確定（由Bode圖確定傳遞函數(shù)） 從低頻段起，將實驗所得的對數(shù)幅頻曲線用頻率為的 直線分段近似，獲得對數(shù)幅頻漸近特性曲線。,3）由 反求傳遞函數(shù)實例（適用范圍：最小相位系統(tǒng)，考試，考研）,課外閱讀：用matlab中的levy函數(shù)曲線擬合得到傳遞函數(shù)的方法。,（非常重要）,例5-7(考研）圖為由頻率響應實驗獲得的某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻曲線和對數(shù) 幅頻漸近特性曲線，試確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)。,解：,1）,2）,3）求,直線方程：,4）

19、求,作業(yè),注意： 最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性是一一對應的。漸近特性曲線可以確定最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 值得注意的是，實際系統(tǒng)并不都是最小相位系統(tǒng)，而最小相位系統(tǒng)可以和某些非最小相位系統(tǒng)具有相同的對數(shù)幅頻特性曲線，因此具有非最小相位環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，還需依據(jù)相應環(huán)節(jié)對相頻特性的影響并結合實測相頻特性予以確定。,7.延遲環(huán)節(jié)與延遲系統(tǒng),延遲系統(tǒng)及其開環(huán)幅相曲線,5-3 頻率域穩(wěn)定判據(jù)（考試、考研重點）,1.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（由奈奎斯特圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性） 2.對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)（由伯德圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性） 3.條件穩(wěn)定系統(tǒng),本節(jié)目錄,控制系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析和設計所需要解決的首要問題。奈

20、奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是常用的兩種頻域穩(wěn)定判據(jù)。頻域穩(wěn)定判據(jù)的特點是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。頻域判據(jù)使用方便，易于推廣。,一、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),1、幅角原理(數(shù)學基礎),可以證明，對于 s 平面上給定的一條不通過任何奇點的連續(xù)封閉曲線，在 F(s) 平面上必存在一條封閉象曲線與之對應。,F(s) 平面上的原點被封閉象曲線包圍的次數(shù)和方向，在下面的討論中具有特別重要的意義。我們將包圍的次數(shù)和方向與系統(tǒng)的穩(wěn)定性聯(lián)系起來。,復變函數(shù),設,研究當s沿閉合曲線G 順時針運行一周，F(xiàn)(s)的相角變化。,因為,所以,jw,s,ImF(s),F(s),s,z1,z2,p2,p1

21、,F(s1),s1,G,G F,其特征式為：,函數(shù)F(s)在s平面內除了奇點外處處解析。對于s平面上的每一個解析點， F(s)平面上必有一點與之對應。,，則,為：,這樣，對于s平面上給定的連續(xù)封閉軌跡，只要它不通過任何奇點，在,平面上就必有一個封閉曲線與之對應。,例如,例如考慮下列開環(huán)傳遞函數(shù)：,A,B,F,E,D,C,A1,B1,F1,E1,D1,C1,當s平面上的圖形包圍,的兩個極點和兩個零點，,的軌跡將不包圍原點,相應的,0,0,如果這個曲線只包圍一個零點，相應的,的軌跡將順時針包圍原點一次，,封閉曲線既不包圍零點又,的軌跡將永遠不會包圍,平面上的原點,不包圍極點，,幅角原理總結：,F

22、(s)包圍原點的圈數(shù)= 內 F (s)極點數(shù)- 內 F (s)零點數(shù),2、復變函數(shù)F(s)的選擇,我們的目的是為了研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，希望通過F(s)建立系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)極點的關系，進而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,兩者的極點數(shù)相同,F(s)的極點-系統(tǒng)的開環(huán)極點,F(s)的零點-系統(tǒng)的閉環(huán)極點,F(s)曲線與H(s)G(s)曲線形狀相同， H(s)G(s)曲線向右移動1個單位即得到F(s)曲線。因此F(s)曲線對F(s)平面坐標原點的包圍就等價于H(s)G(s)曲線對H(s)G(s)平面(-1,j0)點的包圍。,為了研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，我們需要知道系統(tǒng)是否有閉環(huán) 極點在右半s平面，因此選取閉合曲線G

23、包圍整個右半s 平面。,Nyquist圍線,F (s)包圍原點的圈數(shù)= 內系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)極點數(shù)- 內系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點數(shù),內系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點數(shù)= 內系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)極點數(shù)- F (s)包圍原點的圈數(shù),奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的思路來源：,恰當?shù)倪x擇 ，使得 包圍整個S右半平面，則根據(jù) 包圍原點的圈數(shù)和已知的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的數(shù)目，可以判斷系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的數(shù)目，進而可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,F (s)包圍原點的圈數(shù)= 內 F (s)極點數(shù)- 內 F (s)零點數(shù),選擇時 ，分了三種情況,0型系統(tǒng) 非0型系統(tǒng) 臨界穩(wěn)定系統(tǒng),3、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),A.,（P為右半平面系統(tǒng)的開環(huán)極點數(shù)

24、目）,(0型系統(tǒng)),a,b,c,（原點或者某常值點）,（最小相位）,在右上圖，當S沿著 順轉一周時，對應于 ，此時， 線圍繞著-1點順時針轉了2圈。而系統(tǒng)不存在右半平面的開環(huán)極點，所以 ，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。并且存在Z=P-R=0-（-2）=2個S右半平面的閉環(huán)極點。,由對稱性可以簡化繪圖，只需做出的一半的曲線 ， 即Nyquist圖即可，如右圖。但是 線圍繞著-1點轉的圈數(shù)，應該乘以2再與右半平面的開環(huán)極點數(shù)作比較。,注：利用半閉合曲線 計算閉合曲線 包圍原點圈數(shù)R的方法。,根據(jù)半閉合曲線 可獲得 包圍原點的圈數(shù) 。設 為穿越點 左側負實軸的次數(shù)， 表示正穿越的次數(shù)和（從上向下穿越）， 表示負穿

25、越的次數(shù)和（從下向上穿越），則,此題中，,考試、考研標準答題格式,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，具有兩個右半平面的極點。,系統(tǒng)開環(huán)右半平面的極點為0，所以P=0,（關鍵）,例,在右半平面的極點數(shù)為P=1。 當K1時， ， R=2N=1=P 系統(tǒng)穩(wěn)定; 當K1時，N=0 ，系統(tǒng)不穩(wěn)定; 當K=1時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。,B .,a,b,c,d,（也稱為增補曲線）,(非0型系統(tǒng)),為,解：,開環(huán)Nyquist曲線不包圍(-1, j0 )點，而P=0，因此，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,（如何順時針增補的曲線？）,最小相位系統(tǒng)增補曲線的基本形式,（考試）,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,C .,（不要求掌握）,(

26、臨界穩(wěn)定系統(tǒng)),注1：奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的另外一種形式,注2：利用半閉合曲線 計算閉合曲線 包圍原點圈數(shù)R的方法。,根據(jù)半閉合曲線 可獲得 包圍原點的圈數(shù) 。設 為穿越點 左側負實軸的次數(shù)， 表示正穿越的次數(shù)和（從上向下穿越）， 表示負穿越的次數(shù)和（從下向上穿越），則,特殊情況：半次穿越。,半次正穿越,半次負穿越,某非最小相位系統(tǒng),注3：臨界穩(wěn)定,當半閉合曲線 穿過 點時，表明存 在 ，使得 即系統(tǒng)閉環(huán)特征方程存在共軛虛根，則系統(tǒng)可能臨界穩(wěn)定。計算 的穿越次數(shù) 時，應注意不計穿越 點的次數(shù)。,利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟： 1.繪制系統(tǒng)的奈奎斯特圖（注意表明奈奎斯特曲線與點 的關系

27、）。 2.增補奈奎斯特圖（非零型系統(tǒng)） 3.計算奈奎斯特曲線（及其增補曲線）圍繞點 逆時針旋轉的圈數(shù)（兩種方式繪圖數(shù)圈均可，穿越或者數(shù)圈） 4.圈數(shù) 與開環(huán)傳遞函數(shù)在S右半平面極點數(shù) 是否相等，相等則穩(wěn)定。 5.若不穩(wěn)定，閉環(huán)傳遞函數(shù)在S右半平面極點數(shù)為,切記：利用的是開環(huán)系統(tǒng)的奈奎斯特圖，判斷是的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,要求熟練掌握 1）相對應的奈奎斯特曲線是怎么畫出來的。 2）用奈奎斯特判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。及右半平面閉環(huán)極點數(shù)。,3,例 已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如下圖所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時K值的范圍。,P=0,（考試）,兩個重要例子：（考研）P211 例5-8 已知（最小相位）單位反

28、饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線 ，如圖所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時K值的范圍。,解：開環(huán)幅相曲線與負實軸有三個交點，設交點處穿越頻率分別為 ，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)形如,由題設條件知,當取K=10時，,若令 可得對應的K值,對應的，分別取 和 時，開環(huán)幅相曲線分別如下圖所示。,綜上，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時的K值范圍為（0，5）和（20/3，20)。當K等于5，20/3和20時，奈奎斯特曲線穿越臨界點（-1，j0),且在這三個值的鄰域，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，因此系統(tǒng)閉環(huán)條件穩(wěn)定。,例5-9 已知延遲系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,試根據(jù)奈氏判據(jù)確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時，延遲時間 值的范圍。,考研,解： 由圖知，延遲系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線 即半閉合曲線

29、為螺旋線，且為順時針方向，若開環(huán)幅相曲線與 點左側的負實軸有個 交點，則 包圍 點的圈數(shù)為 ，由于 ，故 ，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。若系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，則必有 。設 為開環(huán)幅相曲線穿越負實軸時的頻率，有,鑒于,當 增大時， 減小。而在頻率 為最小的 時，開環(huán)幅相曲線第一次穿過負實軸，因此 由下式求得,此時 達到最大，為使 ，必須使 即,由 解得,注意到,為 的減函數(shù)，因此 亦為 的減函數(shù)。當 時， ，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當 時， ，系統(tǒng)不穩(wěn)定。故系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時值的范圍應為,二、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù),1）Nyquist圖與Bode圖的對應關系,Nyquist圖上以原點為圓心的單位圓對應對數(shù)幅頻特性圖上的0 分貝線。單

30、位圓以外的Nyquist曲線，對應L()0的部分；單位圓內部的Nyquist曲線對應L()0的所有頻率范圍內的對數(shù)相頻特性曲線與180線的穿越點。,Nyquist 圖中的正穿越對應于對數(shù)相頻特性曲線當增大時從下向上穿越180 線(相角滯后減小)； 負穿越對應于對數(shù)相頻特性曲線當 增大時，從上向下穿越180線( 相角滯后增大)。（兩圖中穿越方向的定義正好反向） Nyquist 曲線的輔助線（增補線）反映在對數(shù)相頻特性曲線上。即將對數(shù)相頻特性曲線的起始點 與 +v 90線相連(v 為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目)。,有了以上奈奎斯特圖和bode圖的對應關系，可以很快得到利用bode圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法

31、，即對數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù)。,2）對數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù),若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)存在 個位于右半s平面的特征根，則當在 的所有頻率范圍內，對數(shù)相頻特性曲線 ( 含輔助線)與-180線的正負穿越次數(shù)之差等于 時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。 閉環(huán)系統(tǒng)右半平面的極點數(shù)為,例：系統(tǒng)開環(huán)Bode圖如下，判斷系統(tǒng)閉環(huán)是否穩(wěn)定。,解：,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,（考試重點）,Nyquist穩(wěn)定判據(jù)和Bode穩(wěn)定判據(jù)中，區(qū)別 的穿越方向。相角變化本質是一致的。,三、條件穩(wěn)定系統(tǒng),例5-8這種閉環(huán)穩(wěn)定有條件的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。 無論開環(huán)傳遞函數(shù)的系數(shù)怎么變化，系統(tǒng)總是閉環(huán)不穩(wěn)定的，這樣的系統(tǒng)為結構不穩(wěn)定系統(tǒng)。,若為最小相

32、位，怎么用奈奎斯特圖判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性? 怎么用勞斯判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性？ 怎么用根軌跡判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性？,Matlab: G=tf(1,1 1 0 0); rlocus(G),Bode圖,調用格式 mag,phase,=bode(num,dne,) 式中G(s)=num/den,頻率自動選擇范圍從=0.1到=1000rad/sec 若人為選擇頻率范圍,可應用logspace函數(shù) 調用格式：=logspace(a,b,n) 采用自動頻率范圍,上述MATLAB命令可簡化為 bode(num,den) margin 命令也可以繪制伯德圖，并直接得出幅值裕度、相角裕度及其對應的截止頻率、穿越頻率

33、。 margin(sys),Nyquist圖,調用格式 re,im,=nyquist(num,den,) 式中G(s)=num/den；用戶提供的頻率范圍；re極坐標的實部；im極坐標的虛部 若用戶不指定頻率范圍，則為 Nyquist(num,den),5-4 Matlab在頻域響應法中的應用,Nichols圖,調用格式 mag,phase,=nichols(num,den,) 注意使用上述調用函數(shù)時，必須與plot函數(shù)配合使用才能產生nichols圖 直接繪出nichols圖，可略去上述格式等號左邊部分，直接調用nichols函數(shù)，也可調用ngrid函數(shù)繪出nichols線圖,例：已知單位負

34、反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試繪制其伯德圖，尼克爾斯圖和奈奎斯特圖，并判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：matlab程序： G=tf(1280 640,1 24.2 1604.81 320.24 16); figure(1) bode(G) figure(2) margin(G) figure(3) nyquist(G); axis equal,figure(4) nichols(G) axis(-270 0 -40 40);ngrid,1.系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線與閉環(huán)階躍響應的關系 2.幅值裕度 3.相角裕度 4.三段頻理論（初步認識）,5-5 穩(wěn)定裕度,考試、考研,1.系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲

35、線與閉環(huán)階躍響應的關系,回憶：第三章中的相對穩(wěn)定性的概念。,（看幾個例子）,結論：開環(huán)Nyquist曲線與(-1, j0)點的接近程度可以反映系統(tǒng)閉環(huán)的相對穩(wěn)定性， 即穩(wěn)定程度。,勞斯穩(wěn)定判據(jù)應用中，是以閉環(huán)極點的負實部與虛軸的距離來衡量系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性的。 在頻域中，通常用幅值裕度和相角裕度來衡量系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。,相對穩(wěn)定性的衡量指標:,2.幅值裕度,（教材用 表示）,1）（相位）穿越頻率 開環(huán)nyquist曲線與負實軸的交點對應的頻率稱為（相位）穿越頻率。 顯然，,2）幅值裕度,注意到：如果開環(huán)增益增加 倍，Nyquist曲線將穿過(-1, j0)點，系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定。因此，幅值裕度的物

36、理意義可表述為：在保持系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定條件下，開環(huán)增益所允許增大（或增加）的最大倍數(shù)（或分貝數(shù)）。,（教材用 表示）,討論：,Nyquist曲線穿過(-1, j0)點時， 1 Nyquist曲線與負實軸不相交， ,閉環(huán)穩(wěn)定時，相位穿越點位于(-1, j0)點右邊， 。,閉環(huán)不穩(wěn)定時，相位穿越點位于(-1, j0)點左邊， 0dB。此時， 指出了使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，需要減小的最小分貝數(shù)。,指出了使系統(tǒng)變得閉環(huán)不穩(wěn)定，需要增加的最小分貝數(shù)。也即穩(wěn)定裕量。,如下圖，某一種條件穩(wěn)定系統(tǒng)需要兩個幅值裕度 (1)和 (1)共同表示。 物理意義： 條件穩(wěn)定系統(tǒng)開環(huán)增益放大 或 倍時，系統(tǒng)均達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,討論：

37、一種條件穩(wěn)定系統(tǒng),b.幅值裕度相同但穩(wěn)定程度不同的系統(tǒng),3）幅值裕度的局限性,3.相角裕度,2) 相角裕度,1）幅值穿越頻率 （教材稱為截止頻率）,開環(huán)Nyquist曲線與單位圓的交點對應的頻率 稱為幅值穿越頻率。 顯然：,在幅值穿越頻率 上，使系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線穿過(-1, j0) 點（即達到臨界穩(wěn)定）尚可增加的相位滯后量 ，稱為相角裕度。,即,閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的增益裕量和相位裕量,閉環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)的增益裕量和相位裕量,為了得到滿意的性能，一般要求： 6dB 且 3070 與幅值裕度相比，幅值裕度所給出的是開環(huán)增益改變對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的量度，而相角裕度則表示只改變G(j)H(j) 相角

38、的那些系統(tǒng)參數(shù)變化時對閉環(huán)穩(wěn)定性影響的量度。,注：,3）相角裕度的局限,由此可見，僅用增益裕量或相位裕量，甚至在某些情形下，同時應用增益裕量或相位裕量都不足以說明系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。 這個問題在用勞斯相對穩(wěn)定判據(jù)判斷時不存在。,例5-12 已知單位反饋系統(tǒng) 設 分別為4和10時，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。,解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性,按,定義可得,時,時,分別作出 和 的開環(huán)幅相曲線Nyquist圖，由奈氏判據(jù)知：,時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定， 時，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，,4） 幅值穿越頻率 的近似求解(考研）,對數(shù)幅頻特性漸近線與 的位置關系,位于某段漸近線的兩個轉折頻率之間。,對于高階系統(tǒng)，一般難以準確計算幅值穿越頻率

39、 。在工程設計和分析時，只要求粗略估計系統(tǒng)的相角裕度，故一般可以根據(jù)對數(shù)幅頻漸近特性曲線（即折線圖）確定幅值穿越頻率 。再由相頻特性確定相角裕度 。,下面通過例題介紹兩種求法：,a),步驟,寫出對數(shù)幅頻特性曲線在各個頻段的漸近線方程,按順序求各漸近線 與0dB線的交點頻率,若 則 。,解：,例5-14,b),關于例5-14的討論,P217圖5-14，該圖表明，減小開環(huán)增益 ，可以增大系統(tǒng)的相角裕度，但 減小會使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差變大。為了使系統(tǒng)具有良好的過渡過程，通常要求相角裕度達到 ，而欲滿足這一要求應使開環(huán)對數(shù)幅頻特性在截止頻率附近的斜率大于 ，且有一定的寬度。（針對此題可以這么考慮，但不通

40、用。） 因此，為了兼顧系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和過渡過程的要求，有必要應用校正方法。,一個設計合理的系統(tǒng)： 中頻段的斜率以20dB為宜； 低頻段和高頻段可以有更大的斜率。 低頻段斜率大，提高穩(wěn)態(tài)性能； 高頻段斜率大，排除干擾。 但中頻段必須有足夠的帶寬，以保證系統(tǒng) 的相位裕量，帶寬越大，相位裕量越大。 的大小取決于系統(tǒng)的快速性要求。 大，快速性好，但抗擾能力下降。,4. 三段頻理論（初步認識）,5-6閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性,本節(jié)內容 1.閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性 2.由開環(huán)頻率特性求取閉環(huán)頻率特性 1）利用等M圓和等N圓求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 2）利用尼克爾斯圖求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 3.非單位反饋系

41、統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,1.閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性（定義與解析法）,式中， 和 分別為閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻和相頻特性，這種求取閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性的方法稱為解析法。,利用解析法求閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性是可行的，進而可以畫出閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性圖。 但是如果已知系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性圖，可利用圖解法較容易的獲得單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性圖。,2.由開環(huán)頻率特性求取閉環(huán)頻率特性（圖解法）,1）利用等M圓和等N圓求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,定義 設開環(huán)頻率特性 為 令 ，則 整理得：,a.等M圓（等幅值軌跡）,當M=1時，由上式可求得X=-1/2，這是通過點

42、（-1/2，j0）且與虛軸平行的一條直線 當M1時，由上式可化為 對于給定的M值（等M值），上式是一個圓方程式，圓心在 處，半徑 。所以在G(j)平面上，等M軌跡是一簇圓，見下圖,等M圓,分析 當M1時，隨著M值的增大，等M圓半徑愈來愈小，最后收斂于（-1,j0）點，且這些圓均在M=1直線的左側 當M1時，隨著M值的減小，M圓半徑也愈來愈小，最后收斂于原點，而且這些圓都在M=1直線的右側 當M=1時，它是通過（-1/2，0j） 點平行于虛軸的一條直線。 等M圓簇既對稱于M=1的直線，又對稱于實軸。,b.等N圓（等相角軌跡）,定義： 閉環(huán)頻率特性的相角 為： 令 整理得：,分析 當給定N值(等N

43、值)時，上式為圓的方程，圓心在 處，半徑為 , 稱為等N圓，見圖。 等N圓實際上是等相角正切的圓，當相角增加180時，其正切相同，因而在同一個圓上。 所有等N圓均通過原點和（-1,j0）點。 對于等N圓，并不是一個完整的圓，而只是一段圓弧。,c.利用等M圓和等N圓求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,意義：有了等M圓和等N圓圖，就可由開環(huán)頻率特性求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性和相頻特性。 將開環(huán)頻率特性的極坐標圖 疊加在等 M圓線上，如圖 (a)所示。 曲線與等M圓相交于,（a）等M圓,（b）等N圓,在 處， 曲線與 的等M圓相交，表明在 頻率下，閉環(huán)系統(tǒng)的幅值為 。依此類推。 從圖上還可看出， 的等M

44、圓正好與 曲線相切，切點處的M值最大，即為閉環(huán)系統(tǒng)的諧振峰值 ，而切點處的頻率即為諧振頻率 。 此外， 曲線與 的等M圓交點處的頻率為閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬頻率 ，0 稱為閉環(huán)系統(tǒng)的頻帶寬度。,將開環(huán)頻率特性的極坐標圖 疊加在等 N圓線上，如圖 (b)所示 曲線與等N圓相交于 如 處， 曲線與-10的等N圓相交，表明在這個頻率處，閉環(huán)系統(tǒng)的相角為-10，依此類推得閉環(huán)相頻特性。,在早期的工程實踐中，應用等M圓求取閉環(huán)幅頻特性時，需先在透明紙上繪制出標準等M圓簇，然后按相同的比例尺在白紙或坐標紙上繪制出給定的開環(huán)頻率特性 的紙上重疊起來，并將它們的坐標重合最后根據(jù) 曲線與等M圓簇的交點得到對應的M值和

45、值，便可繪制出閉環(huán)幅頻特性,（a）等M圓,（b）等N圓,閉環(huán)頻率特性曲線繪制如P224圖5-47,2）利用尼克爾斯圖求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,與,橫向走勢圈線為等M線，縱向駝峰線為 等線,3.非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,思路：上面介紹的等M圓和等N圓求取閉環(huán)頻率特性的方法，適用于單位反饋系統(tǒng)。對于一般的反饋系統(tǒng)，如下圖 (a)所示，則可等效成如下圖 (b)所示的結構圖，其中單位反饋部分的閉環(huán)頻率特性 可按上述方法求取，再與頻率特性 相乘，便可得到總的閉環(huán)頻率特性。,因此，研究閉環(huán)系統(tǒng)頻域特性或者頻域指標時，只需重點針對單位反饋系統(tǒng)進行。,通常情況下， 為常數(shù)。,總結 閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性求

46、法： 1.解析法 2.圖解法 1）利用等M圓和等N圓 2）利用尼克爾斯圖線,頻域響應（頻率特性）和時域響應都是描述控制系統(tǒng)固有特性的工具，因此兩者之間必然 存在著某種內在聯(lián)系，這種聯(lián)系通常體現(xiàn)在控制系統(tǒng)頻率特性的某些特征量與時域性能指標之間的關系上。本節(jié)將著重討論系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性的特征量與系統(tǒng)性能指標之間的關系。,5-7頻域響應和時域響應之間的關系,本節(jié)內容 控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻域指標 系統(tǒng)帶寬與信號頻譜的關系 系統(tǒng)時域指標與頻域指標之間的關系 工程設計中需要注意的幾個問題,1. 控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻域指標,系統(tǒng)的帶寬是一個非常重要的概念，在用頻域法對控制系統(tǒng)進行分析和綜合中經常用到。,考試、考研,一

47、階系統(tǒng)的帶寬,設一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,因為開環(huán)系統(tǒng)為1型， ，按帶寬定義，,可求得帶寬頻率,一階系統(tǒng)的bode 圖,結論：一階系統(tǒng)的帶寬頻率和時間常數(shù) 成反比，并且系統(tǒng)的單位階躍響應速度和帶寬成正比。,慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線,二階系統(tǒng)的帶寬,系統(tǒng)的幅頻特性,因為開環(huán)系統(tǒng)為1型， ，按帶寬定義，,于是,教材P218頁用解析法推導出結論,二階系統(tǒng)的帶寬頻率 和自然頻率 成正比，與阻尼比 成反比。,從右圖中可以更直觀的看出該結論。,二階系統(tǒng)的響應速度和帶寬成正比。,二階系統(tǒng)的頻率特性,該結論是否具有一般性呢？,重要知識點1：（頻率尺度與時間尺度的反比性質）,系統(tǒng)帶寬：系統(tǒng)帶寬是頻域中一項非常重要的性

48、能指標。對一般控制系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的單位階躍響應速度和帶寬成正比。即當系統(tǒng)的帶寬擴大 倍，系統(tǒng)的響應速度則加快 倍。,證明：設兩個控制系統(tǒng)存在以下關系：,其中， 為任意正常數(shù)。兩個系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性亦有,當對數(shù)幅頻特性 和 的橫坐標分別取為 和 時，其對數(shù)幅頻特性曲線具有相同的形狀，按帶寬的定義可得,即系統(tǒng) 的帶寬頻率為系統(tǒng) 帶寬頻率的 倍。 設兩個系統(tǒng)的單位階躍響應分別為 和 ，按拉氏變換，有,即得,由時域性能指標可知，系統(tǒng) 的上升時間和調節(jié)時間為 的倍。即當系統(tǒng)的帶寬擴大 倍，系統(tǒng)的響應速度則加快 倍。,既然系統(tǒng)的時域響應速度與帶寬成反比，是不是系統(tǒng)的帶寬越寬越好呢？,系統(tǒng)的輸入和輸出端不可

49、避免的存在確定性擾動和隨機噪聲，因此控制系統(tǒng)帶寬的選擇需要綜合考慮各種輸入信號的頻率范圍及其對系統(tǒng)性能的影響，即應使系統(tǒng)對控制輸入信號具有良好的跟蹤能力（跟蹤能力其實暗含兩個要求：快速性與準確性，即準確、快速的復現(xiàn)控制信號）和對擾動輸入信號具有較強的抑制能力。,2. 系統(tǒng)帶寬與信號頻譜的關系（信號與系統(tǒng)）,1）確定性信號頻譜的概念 a.周期信號 的頻譜是其傅里葉系數(shù)（復系數(shù)）的集合，通常用該復系數(shù)的幅頻值集合來表示，是離散的。如教材P220頁圖5-43，周期性方波信號的頻譜。 b.非周期信號 的頻譜是其傅里葉變換，是連續(xù)的。如教材P220頁圖5-44，單個方波信號的頻譜。,2）信號與系統(tǒng)的關系

50、 當信號通過一個線性系統(tǒng)時，相當于該信號的頻譜經過了該線性系統(tǒng)的線性變換后，再求傅里葉反變換。 因此系統(tǒng)復現(xiàn)輸入信號的能力取決于系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性，對于輸入端信號，帶寬大，則復現(xiàn)能力越強（跟蹤能力強）；而另一方面，抑制輸入端高頻干擾的能力則弱，因此系統(tǒng)帶寬的選擇在設計中應折中考慮，不能一味求大。,考試、考研,3. 系統(tǒng)時域指標與頻域指標之間的關系,控制系統(tǒng)的頻域分析和綜合是經典控制論中的精華，但是頻域指標不像時域指標那樣物理意義明確且直觀。 系統(tǒng)時域指標物理意義明確、直觀，但不能直接應用于頻域的分析和綜合。 另外，閉環(huán)系統(tǒng)頻域指標 雖然能反映系統(tǒng)的跟蹤速度和抗干擾能力，但由于需要通過閉環(huán)

51、頻域特性加以確定，在校正元件的形式和參數(shù)尚需確定時，顯得較為不方便。 鑒于以上原因，需要建立系統(tǒng)時域指標和閉環(huán)頻域指標以及開環(huán)頻域指標之間的關系。有了這些關系，可以指導我們在頻域對控制系統(tǒng)進行分析和綜合。,主要時域指標,主要閉環(huán)頻域指標,主要開環(huán)頻域指標,上升時間 調節(jié)時間 峰值時間 超調量,帶寬頻率 諧振頻率 諧振峰值 零頻值,截止頻率 相角裕度,1）低階系統(tǒng)時域指標與頻域指標之間的定量關系,開環(huán)頻域指標,閉環(huán)頻域指標,時域指標,顯然，,考試、考研,a,b,c,a,b,c,d,指標,指標,可查圖表P228 圖5-51,考試、考研,對于一般高階系統(tǒng)，開環(huán)頻域指標和時域指標之間不存在解析關系。通

52、過大量系統(tǒng)的研究，可歸納出如下的近似計算公式：,應用上述經驗公式估算高階系統(tǒng)的時域指標，一般偏于保守，即實際性能比估算結果要好。 對控制系統(tǒng)進行初步設計時，使用經驗公式，可以保證系統(tǒng)達到性能指標的要求且留有一定的余地，然后進一步應用matlab軟件包進行驗證。 應用matlab軟件包可以方便的獲得閉環(huán)系統(tǒng)對數(shù)頻率特性和系統(tǒng)的時間響應，便于統(tǒng)籌兼顧系統(tǒng)的頻域性能和時域性能。,注：若高階系統(tǒng)存在一對主導閉環(huán)極點，則可由二階系統(tǒng)頻域指標與時域指標之間的關系近似估算該高階系統(tǒng)的時域指標。,2）高階系統(tǒng)時域指標與頻域指標之間的定量關系,一個設計合理的系統(tǒng)： 中頻段的斜率以20dB為宜； 低頻段和高頻段可

53、以有更大的斜率。 低頻段斜率大，提高穩(wěn)態(tài)性能； 高頻段斜率大，排除干擾。 但中頻段必須有足夠的帶寬，以保證系統(tǒng) 的動態(tài)性能，帶寬越大，相位裕量越大（穩(wěn)定性問題），響應速度越快。 的大小取決于系統(tǒng)的快速性要求。 大，快速性好，但抗擾能力下降。,3）開環(huán)頻率特性與時域指標的定性關系,三段頻理論,考試、考研,4.工程設計中需要注意的幾個問題,1）鑒于系統(tǒng)開環(huán)頻域指標相角裕度 和截止頻率 可以利用已知的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線確定，且由前面分析知， 和 的大小在很大程度上決定了系統(tǒng)的性能，因此工程上常用 和 來估算系統(tǒng)的時域性能指標。 2）控制系統(tǒng)設計中，一般先根據(jù)控制要求提出閉環(huán)頻域指標 和 ，再由 確定相交裕度 和選擇合適的截止頻率 ，然后根據(jù) 和 選擇校正網(wǎng)絡的結構并確定參數(shù)。（研究開環(huán)的意義） 3）為使得控制系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能，一般希望， 當選定 后，可以進而通過查圖法或者解析法獲得 ，再由 確定 和 。,例5-16,本章小結,1.頻率特性的物理意義 2.典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖 3.開環(huán)頻率特性作圖 Nyquist圖 Bode圖 4.頻域穩(wěn)定性判據(jù) Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（包圍、穿越、輔助線） 對數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù) 增益裕量與相位裕量 5.閉環(huán)頻率特性 6.頻域性能指標與時域性能指標之間的關系 7. 三段頻,考試、考研題型（重點