有限單元法平面問題例題

1、.,平面有限元解法,設(shè)有對(duì)角受壓的正方形薄板（如上圖所示），載荷沿厚度均勻分布，為2N/m。試對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析，建立整體剛度矩陣和整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣，建立整體結(jié)點(diǎn)方程組，通過編程求解出結(jié)點(diǎn)的位移，并從而求出各單元的應(yīng)力。（為簡單起見，取板的厚度t= 1 , 彈性常數(shù)E =1,泊松比0）,.,右圖為取1/4模型，離散后，單元、結(jié)點(diǎn)、荷載和約束的簡圖。,1 簡化力學(xué)模型、選取單元類型 結(jié)構(gòu)及荷載沿雙軸對(duì)稱，選取1/4結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)。 圖所示為平面應(yīng)力問題，平面應(yīng)力單元類型中，3結(jié)點(diǎn)三角形單元,.,2 結(jié)構(gòu)離散，單元編號(hào)、結(jié)點(diǎn)編號(hào),.,將對(duì)象劃分成4個(gè)單元，共有6個(gè)結(jié)點(diǎn)，單元和結(jié)點(diǎn)上均編上號(hào)碼，其中結(jié)點(diǎn)

2、的整體編碼1至6，以及個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)局部編碼i,j,m,均示于上圖中。,.,3.1 結(jié)點(diǎn)位移列陣、荷載列陣,3 單元分析（對(duì)逐個(gè)單元進(jìn)行分析。以單元1為例）,.,3.2 位移函數(shù),3 單元分析,.,3.3 討論位移函數(shù)的收斂性 （1）完備性 （2）協(xié)調(diào)性,3 單元分析,.,3.4 推導(dǎo)形函數(shù)（只需分析1個(gè)單元，其余可直接用公式計(jì)算） 代入結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和位移,3 單元分析,.,常數(shù),3 單元分析,.,設(shè),3 單元分析,.,得到,3 單元分析,.,3 單元分析,.,3 單元分析,得到內(nèi)部任意一點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式,.,3 單元分析,得到內(nèi)部任意一點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式,.,3 單元分析,得到形函數(shù)

3、矩陣,.,3 單元分析,3.5 推導(dǎo)內(nèi)部任意一點(diǎn)應(yīng)變和結(jié)點(diǎn)位移的轉(zhuǎn)換關(guān)系,.,3 單元分析,.,3 單元分析,.,3 單元分析,.,3 單元分析,3.6 推導(dǎo)內(nèi)部任意一點(diǎn)應(yīng)力和結(jié)點(diǎn)位移的轉(zhuǎn)換關(guān)系,平面應(yīng)力的彈性矩陣為,.,3 單元分析,把D、B矩陣代入公式即可應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S,.,3 單元分析,3.7 得到單元?jiǎng)偠染仃?把B和D矩陣代入,對(duì)3結(jié)點(diǎn)三角形，可以簡化為,.,3 單元分析,3.8 單元等效荷載計(jì)算,.,4 組成整體剛度矩陣,暫時(shí)不考慮位移邊界條件，把所分析結(jié)構(gòu)的整體結(jié)點(diǎn)平衡方程組列出：,整體剛度矩陣寫成66的矩陣，它的每個(gè)子塊是22的矩陣，實(shí)際它是一個(gè)1212的矩陣。如K23，它的四個(gè)

4、元素表示當(dāng)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)3沿x或y方向有單位位移時(shí)，在結(jié)點(diǎn)2的x方向或y方向引起的結(jié)點(diǎn)力。,.,4 組成整體剛度矩陣,整體剛度矩陣寫成66的矩陣，它的每個(gè)子塊是22的矩陣，實(shí)際它是一個(gè)1212的矩陣。如K23，它的四個(gè)元素表示當(dāng)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)3沿x或y方向有單位位移時(shí)，在結(jié)點(diǎn)2的x方向或y方向引起的結(jié)點(diǎn)力。,.,4 整體剛度矩陣?yán)m(xù),由于于結(jié)點(diǎn)3和結(jié)點(diǎn)2在結(jié)構(gòu)中是通過和這兩個(gè)單元相聯(lián)系，因而K23應(yīng)是單元 的k23和單元 的k23之和。同理，可以找到各單元?jiǎng)偠染仃囍兴凶泳仃囋谡w剛度矩陣K中的位置，得到整體勁度矩陣。,式中k的上標(biāo)1,2,3,4表示是哪一個(gè)單元的剛度矩陣中的子矩陣，空白處是22的零矩陣

5、。,.,4 整體剛度矩陣?yán)m(xù),對(duì)于單元、，根據(jù)公式，可求得A=0.5m2，,將上式中各子塊的具體數(shù)值代入整體剛度矩陣K表達(dá)式中，得出整體剛度矩陣。,對(duì)于單元，根據(jù)公式，可求得A=0.5m2，,把0，t1m，代入單元的剛度矩陣，得兩種單元的剛度矩陣k都是：,(37),.,4 整體剛度矩陣,整體剛度矩陣K,(38),.,5 引入位移邊界條件,位移邊界條件為：,因此，整體結(jié)點(diǎn)的位移列陣就簡化為：,.,5 引入位移邊界條件,與這6個(gè)零位移分量相應(yīng)的6個(gè)平衡方程不必建立，因此，將整體剛度矩陣中，第1、3、7、8、10、12各行以及同序號(hào)的各行劃去，因而整體勁度矩陣K簡化為：,.,6 整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣,確定

6、了每個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)載荷列陣：,根據(jù)各單元的結(jié)點(diǎn)局部編碼與整體編碼的關(guān)系，確定三個(gè)子塊FLi,FLj,FLm在FL中的位置。,.,6 整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣,由于該結(jié)構(gòu)只是在結(jié)點(diǎn)1受有向下1N/m的載荷，因而，非零元素子塊，只有,在考慮了邊界條件后，整體載荷列陣為：,.,平面有限元解法求解整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣,求解化簡后的整體剛度矩陣：,(39),求解以后，得結(jié)點(diǎn)位移：,.,平面有限元解法求解應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣,應(yīng)用單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S，求出各單元中的應(yīng)力： 根據(jù)0，以及已求出的A、b和c的值，再由式(21)和(22)得出應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣如下，對(duì)于單元、 ：,對(duì)于單元,.,平面有限元解法求解各單元中的應(yīng)力（續(xù)）,應(yīng)用單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S，求出各單元中的應(yīng)力：,Pa,單元,單元,Pa,.,