自動(dòng)控制理論-第5章

1、第5章線性系統(tǒng)的頻域分析法,5-1 引言 用時(shí)域分析法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)特性最為直觀和準(zhǔn)確，但求解高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)往往十分困難，而且有時(shí)很難寫(xiě)出高階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。此外，由于高階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)與系統(tǒng)的性能之間沒(méi)有明確的函數(shù)關(guān)系，因此不易看出系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響，當(dāng)系統(tǒng)的性能不滿足要求時(shí)很難提出改善系統(tǒng)性能的途徑。 控制系統(tǒng)的頻域分析法是在頻域內(nèi)用圖解法分析系統(tǒng)性能的一種工程方法。與時(shí)域分析法不同，頻域法以正弦信號(hào)作為輸入來(lái)分析系統(tǒng)性能，其基本思想是：在通信學(xué)中各種音頻信號(hào)和視頻信號(hào)都可看成是不同正弦信號(hào)的合成，與此相同，我們也可把控制系統(tǒng)中的信號(hào)看作是由許多不同頻率的

2、正弦信號(hào)合成的（傅立葉變換），系統(tǒng)對(duì)各信號(hào)的響應(yīng)即是對(duì)這些不同頻率正弦分量響應(yīng)的和。頻域法不必直接求解系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，而是間接揭示系統(tǒng)的時(shí)域性能，能方便的顯示出系統(tǒng)的參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，并可以進(jìn)一步指明改進(jìn)的方向。 頻率特性可以由微分方程或傳遞函數(shù)求得，也可由實(shí)驗(yàn)確定，這對(duì)于一些結(jié)構(gòu)不明，微分方程難以確定的系統(tǒng)，具有重要的實(shí)用意義。,5-2 頻率特性,1、頻率特性的基本概念 先看一例 取 正弦信號(hào) 當(dāng)輸出響應(yīng) 呈穩(wěn)態(tài)時(shí)，用實(shí)驗(yàn)測(cè)得其曲線如P170圖5-2所示。這表明： 穩(wěn)態(tài)信號(hào)仍為正弦信號(hào)，其頻率與 相同，幅值有一定衰減，相位存在一定延遲。 以下從理論上計(jì)算 時(shí)的輸出 顯然，RC網(wǎng)絡(luò)可用以下

3、微分方程描述 傳遞函數(shù),的穩(wěn)態(tài)分量 其中， 反映 、 的幅值比 反映 、 的相位差 即為系統(tǒng)的頻率特性：為 的函數(shù),NOTE： 令 即 幅頻特性 相頻特性 定義： （1）頻率響應(yīng)：正弦輸入信號(hào)下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量。 （2）系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與正弦輸入信號(hào)間的關(guān)系（復(fù)數(shù)比）稱為頻率特性，用 表示。幅值比 為幅頻特性，相位差 為相頻特性。 頻率特性也是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種表示形式，且可以方便地由實(shí)驗(yàn)測(cè)得。,2、頻率特性的幾何表示 （1）幅相頻率特性曲線（極坐標(biāo)圖） 以橫軸為實(shí)軸，縱軸為虛軸構(gòu)成復(fù)平面； 為頻率 的復(fù)變函數(shù)，在某一頻率 下可用一矢量來(lái)表示，其長(zhǎng)度為 （即 ），與實(shí)軸正向的夾角為 （即 ）

4、。 當(dāng) 從 變化時(shí)，矢端的軌跡就表示頻率特性。 NOTE： 由于幅頻特性 為 的偶函數(shù)，相頻特性 為 的奇函數(shù)，所以， 從 與 從的幅相曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。 因此，我們一般只繪制 從 的幅相曲線，并在曲線上用箭頭表示增大時(shí)幅相曲線的變化方向。,2、對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖） 對(duì)數(shù)幅頻曲線 對(duì)數(shù)相頻曲線 橫坐標(biāo)均為 ，單位為弧度/秒（rad/s） 對(duì)數(shù)幅頻曲線縱坐標(biāo)為 ，單位為分貝（dB）；對(duì)數(shù)相頻曲線縱坐標(biāo)為 單位為度（ ）。 半對(duì)數(shù)坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)了橫坐標(biāo)的非線性壓縮，便于在較大范圍（或者說(shuō)在你感興趣的范圍）反映頻率特性變化的情況。 NOTE： 在繪制Bode圖時(shí)，由于 ， 的點(diǎn)在圖中無(wú)法標(biāo)出，橫

5、坐標(biāo)表示的最低頻率一般由我們感興趣的頻率范圍來(lái)確定，比如0.01rad/s。 （3）對(duì)數(shù)幅相曲線（尼科爾斯圖）（略）,5-3 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)分解及開(kāi)環(huán)頻率特性曲線的繪制,1、典型環(huán)節(jié),2、典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖（幅相曲線）,（3）一階微分環(huán)節(jié),（4）振蕩環(huán)節(jié) （ ） （ ）,令 得 即諧振頻率 當(dāng) ，即 時(shí)， 存在，此時(shí)， 諧振峰值 當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)減。,（5）積分環(huán)節(jié) （6）微分環(huán)節(jié),3、系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線（極坐標(biāo)圖）的繪制 （1）繪制概略開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖的方法 1）低頻段 的 、 2）高頻段 的 、 3）中頻段 由各環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)決定 估算法： 令 曲線與實(shí)軸的交點(diǎn) 令 曲線與虛軸的交點(diǎn) 4）在以上

6、三步中都要注意曲線所在的象限及單調(diào)性。 （2）舉例 P183 例5-1例5-5,4、典型環(huán)節(jié)的Bode圖（對(duì)數(shù)曲線）,（1）比例環(huán)節(jié) （2）慣性環(huán)節(jié) （ ）,低頻段： 時(shí)， 高頻段： 時(shí)， 兩直線交點(diǎn)頻率（轉(zhuǎn)角頻率）：,（3）振蕩環(huán)節(jié) （ ） （ ）,低頻段： 時(shí)， 高頻段： 時(shí)， 轉(zhuǎn)角頻率： 中頻：當(dāng) 時(shí)， 與 值有關(guān)。,（4）積分環(huán)節(jié) （5）逆因子的Bode圖 互逆因子,以一階微分環(huán)節(jié)（ ）為例 時(shí)， 時(shí)， 轉(zhuǎn)角頻率： 結(jié)論：互逆因子的Bode圖，對(duì)數(shù)幅頻特性關(guān)于 線對(duì)稱，對(duì)數(shù)相頻特性關(guān)于 線對(duì)稱。,5、系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）的繪制,控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函總是由若干典型環(huán)節(jié)構(gòu)成

7、的，在繪制其Bode圖時(shí)，由于： 劃分為典型因子 寫(xiě)成幅值與相角的形式有： 因此， 這樣，只要繪制各串聯(lián)典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖），然后疊加起來(lái)就可得到整個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）。,例1： 例2： 實(shí)際上，在熟悉了對(duì)數(shù)幅頻特性的性質(zhì)后，不必一一畫(huà)出各環(huán)節(jié)的特性，然后相加，而可以采用更方便的方法，這就是： 求出各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率，然后從低頻段開(kāi)始繪制，隨著 的增加，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)角頻率，對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率就改變一次：遇到 的轉(zhuǎn)角頻率，斜率改變 ；遇到 的轉(zhuǎn)角頻率， 斜率改變 ；遇到 的轉(zhuǎn)角頻率，斜率改變 ；遇到 的轉(zhuǎn)角頻率，斜率改變 。,開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的特點(diǎn)：

8、低頻段的斜率為-20NdB/dec，N為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中所包含的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目； 低頻段（若存在小于1的交接頻率，則為其延長(zhǎng)線）在 處的對(duì)數(shù)幅值為 ； 在典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率處，對(duì)數(shù)幅頻漸近特性的斜率要發(fā)生轉(zhuǎn)變。,綜上所述，將繪制對(duì)數(shù)幅頻特性的步驟歸納如下： （1）計(jì)算各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率； （2）計(jì)算20lgK的分貝值； （3）過(guò)（1，20lgK）這點(diǎn)，繪制斜率為-20NdB/dec的直線，其中N為開(kāi)環(huán)傳函中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)； （4）從低頻段開(kāi)始，隨著 的增加，每遇到一個(gè)典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率，就改變一次斜率； （5）必要時(shí)可利用誤差修正曲線，對(duì)轉(zhuǎn)角頻率附近的曲線進(jìn)行修正，以求得更精確的特性。 相

9、頻特性直接繪制 例： P188,5-4 頻率域穩(wěn)定判據(jù)（Nyquist穩(wěn)定判據(jù)）,Routh判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)特征方程根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本節(jié)將介紹另一種重要且實(shí)用的穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，它是根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性，來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量（相對(duì)穩(wěn)定性）。 N判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)中的映射定理（幅角定理）。 一、映射定理 考慮下面一個(gè)復(fù)變函數(shù) 復(fù)變量 復(fù)平面上F(s)用F(s)=U+jV表示,設(shè)對(duì)于s平面上除有限個(gè)奇點(diǎn)（n個(gè)極點(diǎn)）以外的任一點(diǎn)s，復(fù)變函數(shù)F(s)為解析函數(shù)，即單值、連續(xù)的正則函數(shù)，那么，對(duì)于s平面上的每一點(diǎn)（n個(gè)極點(diǎn)除外），函數(shù)F(s

10、)都有唯一的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)。也就是說(shuō)F(s)的值域也構(gòu)成一個(gè)復(fù)平面，我們稱之為F(s)平面。 依照上式關(guān)系，s平面上的每個(gè)點(diǎn)，極點(diǎn)除外，將映射到F(s)平面上相應(yīng)的一點(diǎn)。其中，s平面上的全部零點(diǎn)都映射到F(s)平面的原點(diǎn)；s平面上的極點(diǎn)映射到F(s)平面上時(shí)都變成了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)；除s平面上的零、極點(diǎn)之外的普通點(diǎn)，映射到F(s)平面上除原點(diǎn)以外的有限遠(yuǎn)點(diǎn)。 因此，如果在s平面上畫(huà)一條封閉曲線C，并使其不經(jīng)過(guò)F(s)的任一零、極點(diǎn)，則在F(s)平面上必有一條相應(yīng)的封閉映射曲線（單值、連續(xù)），如下圖。,我們感興趣的不是映射曲線的形狀，而是它包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)和方向，因?yàn)檫@兩者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)。 分

11、析： 復(fù)變函數(shù)F（）的相角可表示為,頻率特性的概念,設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，,由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。,給系統(tǒng)輸入一個(gè)幅值不變頻率不斷增大的正弦，,Ar=1 =0.5,=1,=2,=2.5,=4,曲線如下:,給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個(gè)正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入,同頻率的正弦，幅值隨而變，相角也是的函數(shù)。,A,B,相角問(wèn)題, 穩(wěn)態(tài)輸出遲后于輸入的角度為：,該角度與有,A,B,該角度與初始,頻率特性,設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，則正弦輸入時(shí)輸出為：,C(s)=(s)R(s)=,Cs(s)=,ct()=0,系統(tǒng)穩(wěn)定，,頻率特性,對(duì)數(shù)坐標(biāo)系,積分環(huán)節(jié)L(),-20,-20,-20,+20,+20,+20,微分環(huán)節(jié)L(),慣性環(huán)節(jié)G(j

12、),() = -tg-10.5 ,0,1,-14.5,0.97,-26.6,0.89,-45,0.71,-63.4-68.2 -76 -84,0.450.370.240.05,慣性環(huán)節(jié)L(),-20,-20,26dB,一階微分L(),+20,+20,振蕩環(huán)節(jié)G(j),(01),(00.707),振蕩環(huán)節(jié)G(j)曲線,（Nyquist曲線）,振蕩環(huán)節(jié)L(),-40,二階微分,幅相曲線,對(duì)數(shù)幅頻漸近曲線,+40,n,00.707時(shí)有峰值：,幾點(diǎn)說(shuō)明,振蕩環(huán)節(jié)再分析,n,r,(0 0.707),-40,2,n,n,2,2,n,S,2,S,k,(s),G,w,+,xw,+,w,=,繪制L()例題,-20,-40,-20,-40,例題1：繪制 的幅相曲線。,解：,求交點(diǎn)：,曲線如圖