高考數學得分技巧

1、精選文檔2015高考數學得分技巧整理（完整版）第1講選擇題的解題方法與技巧題型特點概述選擇題是高考數學試卷的三大題型之一選擇題的分數一般占全卷的40%左右，高考數學選擇題的基本特點是：(1)絕大部分數學選擇題屬于低中檔題，且一般按由易到難的順序排列，主要的數學思想和數學方法能通過它得到充分的體現(xiàn)和應用，并且因為它還有相對難度(如思維層次、解題方法的優(yōu)劣選擇，解題速度的快慢等)，所以選擇題已成為具有較好區(qū)分度的基本題型之一(2)選擇題具有概括性強、知識覆蓋面廣、小巧靈活及有一定的綜合性和深度等特點，且每一題幾乎都有兩種或兩種以上的解法，能有效地檢測學生的思維層次及觀察、分析、判斷和推理能力目前高

2、考數學選擇題采用的是一元選擇題(即有且只有一個正確答案)，由選擇題的結構特點，決定了解選擇題除常規(guī)方法外還有一些特殊的方法解選擇題的基本原則是：“小題不能大做”，要充分利用題目中(包括題干和選項)提供的各種信息，排除干擾，利用矛盾，作出正確的判斷數學選擇題的求解，一般有兩條思路：一是從題干出發(fā)考慮，探求結果；二是從題干和選擇支聯(lián)合考慮或從選擇支出發(fā)探求是否滿足題干條件解答數學選擇題的主要方法包括直接對照法、概念辨析法、圖象分析法、特例檢驗法、排除法、逆向思維法等，這些方法既是數學思維的具體體現(xiàn)，也是解題的有效手段解題方法例析題型一直接對照法直接對照型選擇題是直接從題設條件出發(fā)，利用已知條件、相

3、關概念、性質、公式、公理、定理、法則等基礎知識，通過嚴謹推理、準確運算、合理驗證，從而直接得出正確結論，然后對照題目所給出的選項“對號入座”，從而確定正確的選擇支這類選擇題往往是由計算題、應用題或證明題改編而來，其基本求解策略是由因導果，直接求解例1 設定義在R上的函數f(x)滿足f(x)f(x2)13，若f(1)2，則f(99)等于()A13 B2 C. D.思維啟迪先求f(x)的周期解析f(x2)，f(x4)f(x)函數f(x)為周期函數，且T4.f(99)f(4243)f(3).探究提高 直接法是解選擇題的最基本方法，運用直接法時,要注意充分挖掘題設條件的特點，利用有關性質和已有的結論，

4、迅速得到所需結論如本題通過分析條件得到f(x)是周期為4的函數，利用周期性是快速解答此題的關鍵變式訓練1 函數f(x)對于任意實數x滿足條件f(x2)，若f(1)5，則f(f(5)的值為()A5 B5 C. D解析由f(x2)，得f(x4)f(x)，所以f(x)是以4為周期的函數，所以f(5)f(1)5，從而f(f(5)f(5)f(1).例2 設雙曲線1的一條漸近線與拋物線yx21只有一個公共點，則雙曲線的離心率為()A. B5C. D.思維啟迪 求雙曲線的一條漸近線的斜率即的值，盡而求離心率解析設雙曲線的漸近線方程為ykx，這條直線與拋物線yx21相切，聯(lián)立，整理得x2kx10，則k240，

5、解得k2，即2，故雙曲線的離心率e.探究提高 關于直線與圓錐曲線位置關系的題目，通常是聯(lián)立方程解方程組本題即是利用漸近線與拋物線相切，求出漸近線斜率變式訓練2 已知雙曲線C：1(a0，b0)，以C的右焦點為圓心且與C的漸近線相切的圓的半徑是()Aa Bb C. D.解析1的其中一條漸近線方程為：yx，即bxay0，而焦點坐標為(c,0)，根據點到直線的距離db.故選B.題型二概念辨析法概念辨析是從題設條件出發(fā)，通過對數學概念的辨析，進行少量運算或推理，直接選擇出正確結論的方法這類題目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性質，這需要考生在平時注意辨析有關概念，準確區(qū)分相應概念的內涵與外延，同時

6、在審題時要多加小心，準確審題以保證正確選擇一般說來，這類題目運算量小，側重判斷，下筆容易，但稍不留意則易誤入命題者設置的“陷阱”例3 已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，給出下列條件，akb(kR)；x1x2y1y20；(a3b)(2ab)；ab|a|b|；xyxy2x1x2y1y2.其中能夠使得ab的個數是()A1 B2 C3 D4解析顯然是正確的，這是共線向量的基本定理；是錯誤的，這是兩個向量垂直的條件；是正確的，因為由(a3b)(2ab)，可得(a3a)(2ab)，當時，整理得ab，故ab，當時也可得到ab；是正確的，若設兩個向量的夾角為，則由ab|a|b|cos ，可知co

7、s 1，從而0，所以ab；是正確的，由xyxy2x1x2y1y2，可得(x1y2x2y1)20，從而x1y2x2y10，于是ab.探究提高 平行向量(共線向量)是一個非常重要和有用的概念，應熟練掌握共線向量的定義以及判斷方法，同時要將共線向量與向量中的其他知識(例如向量的數量積、向量的模以及夾角等)有機地聯(lián)系起來，能夠從不同的角度來理解共線向量變式訓練3 關于平面向量a，b，c，有下列三個命題：若abac，則bc.若a(1，k)，b(2,6)，ab，則k3.非零向量a和b滿足|a|b|ab|，則a與ab的夾角為60.則假命題為()A B C DB解析abaca(bc)0，a與bc可以垂直，而不

8、一定有bc，故為假命題ab，162k.k3.故為真命題由平行四邊形法則知圍成一菱形且一角為60，ab為其對角線上的向量，a與ab夾角為30，故為假命題題型三數形結合法“數”與“形”是數學這座高樓大廈的兩塊最重要的基石，二者在內容上互相聯(lián)系、在方法上互相滲透、在一定條件下可以互相轉化，而數形結合法正是在這一學科特點的基礎上發(fā)展而來的在解答選擇題的過程中，可以先根據題意，做出草圖，然后參照圖形的做法、形狀、位置、性質，綜合圖象的特征，得出結論例4 (2009海南)用mina，b，c表示a，b，c三個數中的最小值設f(x)min2x，x2,10x(x0)，則f(x)的最大值為()A4 B5 C6 D

9、7C思維啟迪 畫出函數f(x)的圖象，觀察最高點，求出縱坐標即可本題運用圖象來求值，直觀、易懂解析由題意知函數f(x)是三個函數y12x，y2x2，y310x中的較小者，作出三個函數在同一個坐標系之下的圖象(如圖中實線部分為f(x)的圖象)可知A(4,6)為函數f(x)圖象的最高點變式訓練4 (2010湖北）設集合A，B，則AB的子集的個數是( )A4 B3 C2 D1A解析集合A中的元素是橢圓1上的點，集合B中的元素是函數y3x的圖象上的點由數形結合，可知AB中有2個元素，因此AB的子集的個數為4.例5 函數f(x)1|2x1|，則方程f(x)2x1的實根的個數是()A0 B1 C2 D3C

10、思維啟迪 若直接求解方程顯然不可能，考慮到方程可轉化為f(x)x，而函數yf(x)和yx的圖象又都可以畫出，故可以利用數形結合的方法，通過兩個函數圖象交點的個數確定相應方程的根的個數解析方程f(x)2x1可化為f(x)x，在同一坐標系下分別畫出函數yf(x)和yx的圖象，如圖所示可以發(fā)現(xiàn)其圖象有兩個交點，因此方程f(x)x有兩個實數根探究提高 一般地，研究一些非常規(guī)方程的根的個數以及根的范圍問題，要多考慮利用數形結合法方程f(x)0的根就是函數yf(x)圖象與x軸的交點橫坐標，方程f(x)g(x)的根就是函數yf(x)和yg(x)圖象的交點橫坐標利用數形結合法解決方程根的問題的前提是涉及的函數

11、的圖象是我們熟知的或容易畫出的，如果一開始給出的方程中涉及的函數的圖象不容易畫出，可以先對方程進行適當的變形，使得等號兩邊的函數的圖象容易畫出時再進行求解變式訓練5 函數y|log x|的定義域為a，b，值域為0,2，則區(qū)間a，b的長度ba的最小值是 ( )A2 B. C3 D.D解析作出函數y|log x|的圖象，如圖所示，由y0解得x1；由y2，解得x4或x.所以區(qū)間a，b的長度ba的最小值為1.題型四特例檢驗法特例檢驗(也稱特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊圖形、特殊位置)代替題設普遍條件，得出特殊結論，再對各個選項進行檢驗，從而做出正確的選擇常用的特例有特殊數值、特殊數列、特殊函數、

12、特殊圖形、特殊角、特殊位置等特例檢驗是解答選擇題的最佳方法之一，適用于解答“對某一集合的所有元素、某種關系恒成立”，這樣以全稱判斷形式出現(xiàn)的題目，其原理是“結論若在某種特殊情況下不真，則它在一般情況下也不真”，利用“小題小做”或“小題巧做”的解題策略例6 已知A、B、C、D是拋物線y28x上的點，F(xiàn)是拋物線的焦點，且0，則|的值為()A2 B4 C8 D16D解析取特殊位置，AB，CD為拋物線的通徑，顯然0，則|4p16，故選D.探究提高 本題直接求解較難，利用特殊位置法，則簡便易行利用特殊檢驗法的關鍵是所選特例要符合條件變式訓練6 已知P、Q是橢圓3x25y21上滿足POQ90的兩個動點，則

13、等于()A34 B8 C. D.B解析取兩特殊點P(，0)、Q(0，)即兩個端點，則358.故選B.例7 數列an成等比數列的充要條件是 ( )Aan1anq(q為常數)Baanan20Cana1qn1(q為常數)Dan1B解析考查特殊數列0,0，0，不是等比數列，但此數列顯然適合A，C，D項故選B.探究提高 判斷一個數列是否為等比數列的基本方法是定義法，也就是看是否為常數，但應注意檢驗一個數列為等比數列的必要條件是否成立變式訓練7 已知等差數列an的前n項和為Sn，若，則的值為()A2 B3 C4 D8解析方法一(特殊值檢驗法)取n1，得，4，于是，當n1時，4.方法二(特殊式檢驗法)注意到

14、，取an2n1，4.方法三(直接求解法)由，得，即，an，于是，224.C題型五篩選法數學選擇題的解題本質就是去偽存真，舍棄不符合題目要求的選項，找到符合題意的正確結論篩選法(又叫排除法)就是通過觀察分析或推理運算各項提供的信息或通過特例，對于錯誤的選項，逐一剔除，從而獲得正確的結論例8 方程ax22x10至少有一個負根的充要條件是()A0a1 Ba1Ca1 D0a1或a5，故選D.規(guī)律方法總結1解選擇題的基本方法有直接法、排除法、特例法、驗證法和數形結合法但大部分選擇題的解法是直接法，在解選擇題時要根據題干和選擇支兩方面的特點靈活運用上述一種或幾種方法“巧解”，在“小題小做”、“小題巧做”上

15、做文章，切忌盲目地采用直接法2由于選擇題供選答案多、信息量大、正誤混雜、迷惑性強，稍不留心就會誤入“陷阱”，應該從正反兩個方向肯定、否定、篩選、驗證，既謹慎選擇，又大膽跳躍3作為平時訓練，解完一道題后，還應考慮一下能不能用其他方法進行“巧算”，并注意及時總結，這樣才能有效地提高解選擇題的能力.知能提升演練1已知集合A1,3,5,7,9，B0,3,6,9,12，則A(NB)等于()A1,5,7 B3,5,7C1,3,9 D1,2,3解析由于3NB，所以3A(NB)排除B、C、D，故選A.2已知向量a，b不共線，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c與d同向 Bk1且c與d反向Ck

16、1且c與d同向 Dk1且c與d反向解析當k1時，cab，不存在實數，使得ab.所以c與d不共線，與cd矛盾排除A、B；當k1時，cab(ab)d，所以cd，且c與d反向故應選D.3已知函數ytan x在內是減函數，則()A01 B10時正切函數在其定義域內各長度為一個周期的連續(xù)區(qū)間內為增函數，排除A、C，又當|1時正切函數的最小正周期長度小于，ytan x在內不連續(xù)，在這個區(qū)間內不是減函數，這樣排除D，故選B.4已知函數f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若對于任一實數x，f(x)與g(x)的值至少有一個為正數，則實數m的取值范圍是()A(0,2) B(0,8)C(2,8) D(，0

17、)解析當m1時，f(x)2x26x1，g(x)x，由f(x)與g(x)的圖象知，m1滿足題設條件，故排除C、D.當m=2時，f(x)=4x2-4x+1,g(x)=2x,由其圖象知，m=2滿足題設條件，故排除A.因此，選項B正確5已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos ，sin )，則向量與向量的夾角的取值范圍是()A0， B，C， D，解析|=，A的軌跡是C，半徑為.由圖可知COB，設向量與向量的夾角為，則，故選D.答案D6設函數yf(x)在(，)內有定義，對于給定的正數K，定義函數fK(x)取函數f(x)2|x|，當K時，函數fK(x)的單調遞增區(qū)間為()A(，0) B(0，)C(

18、，1) D(1，)解析函數f(x)2|x|()|x|，作圖f(x)Kx(，11,),故在(,1)上是單調遞增的,選C項7設x，yR，用2y是1x和1x的等比中項，則動點(x，y)的軌跡為除去x軸上點的 ( )A一條直線 B一個圓C雙曲線的一支 D一個橢圓解析(2y)2(1x)(1x)(y0)得x24y21(y0)8設A、B是非空數集，定義A*Bx|xAB且xAB，已知集合Ax|y2xx2，By|y2x，x0，則A*B等于()A0,1(2，) B0,1)(2，)C(，1 D0,2解析AR，B(1，)，故A*B(，1，故選C.9(2010福建)若點O和點F(2,0)分別為雙曲線y21(a0)的中心

19、和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為()A32，) B32，)C，) D，)B解析由c2得a214，a23，雙曲線方程為y21.設P(x，y)(x)，(x，y)(x2，y)x22xy2x22x1x22x1(x)令g(x)x22x1(x)，則g(x)在，)上單調遞增g(x)ming()32.的取值范圍為32，)10已知等差數列an滿足a1a2a1010，則有 ( )Aa1a1010 Ba2a1020Ca3a990 Da5151解析取滿足題意的特殊數列an0，則a3a990，故選C.11在等差數列an中，若a2a4a6a8a1080，則a7a8的值為()A4 B6 C8 D10解

20、析令等差數列an為常數列an16.顯然a7a81688.故選C.12若0，則下列不等式：ab|b|；a2中，正確的不等式是()A B C D解析取a1，b2，則、不正確，所以A、B、D錯誤，故選C.13.(2010全國)如圖，質點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0(，)，角速度為1，那么點P到x軸距離d關于時間t的函數圖象大致為()解析觀察并聯(lián)想P運動軌跡與d的關系，當t0時，d，排除A、D；當開始運動時d遞減，排除B.C14若函數f(x)4a的最小值等于3，則實數a的值等于()A. B1 C. 或1 D不存在這樣的a解析方法一直接對照法令t，則t0,1)若a1，則f(x)|ta

21、|4a5at不存在最小值；若0a1，則f(x)|ta|4a，當ta時取得最小值4a，于是4a3，得a符合題意；若a4，顯然函數的最小值不是3，故排除選項B、C；若a，f(x)3，這時只要令0，即x，函數可取得最小值3，因此A項正確，D項錯誤A15已知sin ，cos ()，則tan等于()A. B| C. D5D解析由于受條件sin2cos21的制約，故m為一確定的值，于是sin ，cos 的值應與m的值無關，進而tan 的值與m無關，又，1，故選D項16已知函數yf(x)，yg(x)的導函數的圖象如下圖，那么yf(x)，yg(x)圖象可能是( )解析從導函數的圖象可知兩個函數在x0處斜率相同

22、，可以排除B項，再者導函數的函數值反映的是原函數增加的快慢，可明顯看出yf(x)的導函數是減函數，所以原函數應該增加的越來越慢，排除A、C兩項，最后只有D項，可以驗證yg(x)導函數是增函數，增加越來越快答案D第2講填空題第2講填空題的解題方法與技巧題型特點概述填空題是高考試卷中的三大題型之一，和選擇題一樣，屬于客觀性試題它只要求寫出結果而不需要寫出解答過程在整個高考試卷中，填空題的難度一般為中等不同省份的試卷所占分值的比重有所不同1 填空題的類型填空題主要考查學生的基礎知識、基本技能以及分析問題和解決問題的能力，具有小巧靈活、結構簡單、概念性強、運算量不大、不需要寫出求解過程而只需要寫出結論

23、等特點從填寫內容看，主要有兩類：一類是定量填寫，一類是定性填寫2填空題的特征填空題不要求寫出計算或推理過程，只需要將結論直接寫出的“求解題”填空題與選擇題也有質的區(qū)別：第一，表現(xiàn)為填空題沒有備選項，因此，解答時有不受誘誤干擾之好處，但也有缺乏提示之不足；第二，填空題的結構往往是在一個正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內容 (既可以是條件，也可以是結論)，留下空位，讓考生獨立填上，考查方法比較靈活從歷年高考成績看，填空題得分率一直不很高，因為填空題的結果必須是數值準確、形式規(guī)范、表達式最簡，稍有毛病，便是零分因此，解填空題要求在“快速、準確”上下功夫，由于填空題不需要寫出具體的推理、計算過程，因

24、此要想“快速”解答填空題，則千萬不可“小題大做”，而要達到“準確”，則必須合理靈活地運用恰當的方法，在“巧”字上下功夫3解填空題的基本原則解填空題的基本原則是“小題不能大做”，基本策略是 “巧做”解填空題的常用方法有：直接法、數形結合法、特殊化法、等價轉化法、構造法、合情推理法等解題方法例析題型一直接法直接法就是從題設條件出發(fā)，運用定義、定理、公式、性質、法則等知識，通過變形、推理、計算等，得出正確結論，使用此法時，要善于透過現(xiàn)象看本質，自覺地、有意識地采用靈活、簡捷的解法例1 在等差數列an中，a13,11a55a813，則數列an的前n項和Sn的最小值為_思維啟迪計算出基本量d，找到轉折項

25、即可 解析設公差為d，則11(34d)5(37d)13，d.數列an為遞增數列令an0，3(n1)0，n，nN*.前6項均為負值，Sn的最小值為S6.答案探究提高 本題運用直接法，直接利用等差數列的通項公式判斷出數列的項的符號，進而確定前幾項的和最小，最后利用等差數列的求和公式求得最小值變式訓練1 設Sn是等差數列an的前n項和，已知a23，a611，則S7_.49解析方法一S749.故填49.方法二由可得a716213.S749.故填49.題型二特殊值法特殊值法在考試中應用起來比較方便，它的實施過程是從特殊到一般，優(yōu)點是簡便易行當暗示答案是一個“定值”時，就可以取一個特殊數值、特殊位置、特殊

26、圖形、特殊關系、特殊數列或特殊函數值來將字母具體化，把一般形式變?yōu)樘厥庑问疆旑}目的條件是從一般性的角度給出時，特例法尤其有效例2 已知ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足sin Asin B，則C_.思維啟迪 題目中給出了ABC的邊和角滿足的一個關系式，由此關系式來確定角C的大小，因此可考慮一些特殊的三角形是否滿足關系式，如：等邊三角形、直角三角形等，若滿足，則可求出此時角C的大小解析容易發(fā)現(xiàn)當ABC是一個等邊三角形時，滿足sin Asin B，而此時C60，故角C的大小為60.答案60探究提高 特殊值法的理論依據是：若對所有值都成立，那么對特殊值也成立，我們就可以利用填空

27、題不需要過程只需要結果這一“弱點”，“以偏概全”來求值在解決一些與三角形、四邊形等平面圖形有關的填空題時，可根據題意，選擇其中的特殊圖形(如正三角形、正方形)等解決問題此題還可用直接法求解如下：由sin Asin B可得ab，整理得，a2c2abb2，即a2b2c2ab.由余弦定理，得cos C，所以C60.變式訓練2 在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，如果a、b、c成等差數列，則_.解析方法一取特殊值a3，b4，c5，則cos A，cos C0，.方法二取特殊角ABC，cos Acos C，.例3 如圖所示，在ABC中,AO是BC邊上的中線，K為AO上一點，且2,過點K的直線

28、分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若m，n，則mn_.思維啟迪題目中過點K的直線是任意的，因此m和n的值是變化的，但從題意看mn的值是一個定值，故可取一條特殊的直線進行求解解析當過點K的直線與BC平行時，MN就是ABC的一條中位線(2，K是AO的中點)這時由于有m，n，因此mn2，故mn4.答案4探究提高 本題在解答中，充分考慮了“直線雖然任意,但mn的值卻是定值”這一信息，通過取直線的一個特殊位置得到了問題的解,顯得非常簡單,在求解這類填空題時，就要善于捕捉這樣的有效信息,幫助我們解決問題變式訓練3 設O是ABC內部一點，且2，則AOB與AOC的面積之比為_解析采用特殊位置，可令ABC

29、為正三角形，則根據2可知，O是ABC的中心，則OAOBOC，所以AOBAOC，即AOB與AOC的面積之比為1.題型三圖象分析法(數形結合法)依據特殊數量關系所對應的圖形位置、特征，利用圖形直觀性求解的填空題，稱為圖象分析型填空題，這類問題的幾何意義一般較為明顯由于填空題不要求寫出解答過程，因而有些問題可以借助于圖形，然后參照圖形的形狀、位置、性質，綜合圖象的特征，進行直觀地分析，加上簡單的運算，一般就可以得出正確的答案事實上許多問題都可以轉化為數與形的結合，利用數形結合法解題既淺顯易懂，又能節(jié)省時間利用數形結合的思想解決問題能很好地考查考生對基礎知識的掌握程度及靈活處理問題的能力，此類問題為近

30、年來高考考查的熱點內容例4 已知方程(x22xm)(x22xn)0的四個根組成一個首項為的等差數列，則|mn|的值等于_思維啟迪考慮到原方程的四個根，其實是拋物線yx22xm與yx22xn和x軸四個交點的橫坐標，所以可以利用圖象進行求解解析如圖所示，易知拋物線yx22xm與yx22xn有相同的對稱軸x1，它們與x軸的四個交點依次為A、B、C、D.因為xA，則xD.又|AB|BC|CD|，所以xB，xC.故|mn|.探究提高 本題是數列問題，但由于和方程的根有關系，故可借助數形結合的方法進行求解，因此在解題時，我們要認真分析題目特點，充分挖掘其中的有用信息，尋求最簡捷的解法變式訓練4 已知定義在

31、R上的奇函數f(x)滿足f(x4)f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數，若方程f(x)m(m0)，在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.-8解析因為定義在R上的奇函數，滿足f(x4)f(x)，所以f(4x)f(x)因此，函數圖象關于直線x2對稱且f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函數是以8為周期的周期函數又因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數，所以f(x)在區(qū)間2,0上也是增函數，如圖所示，那么方程f(x)m(m0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3,x4，不妨設x1x2x3x4.由對稱性知x1x212，x3x44，所以x1x2

32、x3x41248.例5 函數yf(x)的圖象如圖所示，其定義域為4,4，那么不等式0的解集為_4，)(，0)，)解析0或在給出的坐標系中，再作出ysin x在4,4上的圖象，如圖所示,觀察圖象即可得到所求的解集為4，)(，0)，)探究提高 與函數有關的填空題，依據題目條件，靈活地應用函數圖象解答問題，往往可使抽象復雜的代數問題變得形象直觀，使問題快速獲解變式訓練5 不等式（|x|- ）sin x0，x-,2的解集為 .解析 在同一坐標系中分別作出y=|x|- 與y=sin x的圖象：根據圖象可得不等式的解集為：題型四等價轉化法將所給的命題進行等價轉化，使之成為一種容易理解的語言或容易求解的模式

33、通過轉化，使問題化繁為簡、化陌生為熟悉，將問題等價轉化成便于解決的問題，從而得出正確的結果例6 設函數f(x)，若互不相等的實數x1，x2，x3滿足f(x1)f(x2)f(x3)，則x1x2x3的取值范圍是_思維啟迪將問題轉化為ym與yf(x)有三個不同的交點，再研究三個交點的橫坐標之和的取值范圍解析本題可轉化為直線ym與函數f(x)的圖象有三個交點,yx24x6在0,)的最小值為f(2)2，故2m0，由于yx24x6的對稱軸為x2,則x1x24，令3x42，得x，則x30，故4x1x2x304，即x1x2x3的取值范圍是(，4)答案(，4)探究提高 等價轉化法的關鍵是要明確轉化的方向或者說轉

34、化的目標本題轉化的關鍵就是將研究x1x2x3的取值范圍問題轉化成了直線ym與曲線yf(x)有三個交點的問題，將數的問題轉化成了形的問題，從而利用圖形的性質解決變式訓練6 已知關于x的不等式0的解集是(,1)(，)，則a的值為_變式訓練6 已知關于x的不等式0的解集是(,1)(，)，則a的值為_題型五構造法構造型填空題的求解，需要利用已知條件和結論的特殊性構造出新的數學模型，從而簡化推理與計算過程，使較復雜的數學問題得到簡捷的解決，它來源于對基礎知識和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經遇到過的類似問題中尋找靈感，構造出相應的函數、概率、幾何等具體的數學

35、模型，使問題快速解決例7 函數f(x)的最大值為M，最小值為m，則Mm_.思維啟迪直接求f(x)的最大值、最小值顯然不可取化簡f(x)1，構造新函數g(x)利用g(x)的奇偶性求解解析根據分子和分母同次的特點，分子展開，得到部分分式，f(x)1，f(x)1為奇函數，則m1(M1)，Mm2.探究提高 整體思考，聯(lián)想奇函數，利用其對稱性簡化求解，這是整體觀念與構造思維的一種應用注意到分式類函數的結構特征，借助分式類函數最值的處理方法，部分分式法，變形發(fā)現(xiàn)輔助函數為奇函數，整體處理最大值和最小值的問題以使問題簡單化，這種構造特殊函數模型的方法來源于對函數性質應用的深刻理解變式訓練7 已知函數f(x)

36、sin xcos x3，若f(lg a)4，則f(lg )的值等于_解析f(x)sin xcos x3sin 2xtan x3，若令g(x)sin 2xtan x，則g(x)是一個奇函數由f(lg a)4,得g(lg a)34,g(lg a)1.于是g(lg )=g(lg a)g(lg a)1，故f(lg )g(lg )3132.例8 已知a、b是正實數，且滿足abab3，則ab的取值范圍是_思維啟迪考慮到已知條件中出現(xiàn)了兩個正數a和b的乘積ab以及和ab，可與一元二次方程的根聯(lián)系起來構造方程進行求解解析a、b是正實數且abab3，故a、b可視為一元二次方程x2mxm30的兩個根，其中abm，

37、abm3.要使方程有兩個正根，應有解得m6，即ab6，故ab的取值范圍是6，)變式訓練8 若拋物線yx2ax2總在直線y3x1的下方，則實數a的取值范圍是_解析構造不等式，依題意知，不等式x2ax20在R上恒成立故(3a)240，即a26a50，解得1a0，UA 1，n，則m2n2_.解析由UA1,n,知A(，1)(n,)，即不等式0的解集為(,1)(n，),所以n1,m1，因此m1，n1，故m2n22.2在各項均為正數的等比數列an中，若a5a69，則log3a1log3a2log3a10_.解析特殊化法：盡管滿足a5a69的數列有無窮多，但所求結果應唯一的，故只需選取一個滿足條件的特殊數列

38、a5a63，則公比q1就可以了原式log3(3333)log331010.3在數列an中，若a11，an12an3(n1)，則該數列的通項an_.解析由an12an3，則有an132(an3)，即2.所以數列an3是以a13為首項、公比為2的等比數列，即an342n12n1，所以an2n13.4設非零向量a，b，c滿足|a|b|c|，abc，則cosa，b_.解析設正三角形ABC中，a，b，c，所以與的夾角為120，所以cosa，bcos 120.5設等差數列an，bn的前n項的和分別為Sn與Tn，若，則_.解析因為等差數列的前n項和公式為Sna1nn2(a1d)n，故可設Sn2nn，Tn(3

39、n1)n，則可得an4n2，bn6n2，.6ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，m()，則實數m_.解析(特殊值法)當B90時,ABC為直角三角形,O為AC中點AB、BC邊上高的交點H與B重合，m1.7(2010湖南)若數列an滿足：對任意的nN*，只有有限個正整數m使得amn成立，記這樣的m的個數為an*，則得到一個新數列(an)*例如，若數列an是1,2,3，n，則數列(an)*是0,1,2，n1，.已知對任意的nN*，ann2，則(a5)*_，(an)*)*_.解析由(an)*的定義知，要求(a5)*只需尋找滿足am5的m的個數即可由于1215,2245，故(a5)*2.an1,22,32，n2，(a1)*)*1，(a2)*)*422，(a3)*)*932，(an)*)