相關(guān)性與Copula函數(shù).ppt

1、第 11 章,相關(guān)性與Copula函數(shù),協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),變量V1 和 V2 的相關(guān)系數(shù)被定義為 變量V1 和 V2 的協(xié)方差被定義為,獨立性,兩個變量中，其中任意一個變量的信息（觀測值）不會影響另一個變量的分布，那么兩個變量在統(tǒng)計上被定義為獨立 精確地講，變量V1 和 V2 在統(tǒng)計上被定義為相互獨立，如果對于所有的x，下列等式成立 f ()代表變量的概率密度函數(shù),獨立性并不等同于零相關(guān),假定變量 V1 的值有三種均等的可能：1，0，或 +1 如果 V1 = -1 或 V1 = +1 ，那么 V2 = 1 如果 V1 = 0 ，那么 V2 = 0 可以清楚地看到 V1 和 V2 有某種關(guān)聯(lián)性，

2、但它們的相關(guān)系數(shù)為0,幾種不同的關(guān)聯(lián)形式,監(jiān)測相關(guān)系數(shù),定義 xi=(XiXi-1)/Xi-1 和 yi=(YiYi-1)/Yi-1 varx,n ：以第n-1天估計的X的日方差 vary,n ：以第n-1天估計的Y的日方差 covn ： 以第n-1天估計的協(xié)方差 相關(guān)系數(shù)為,協(xié)方差,第n天的協(xié)方差為 經(jīng)常被簡化為,監(jiān)測相關(guān)系數(shù)（續(xù)）,EWMA： GARCH（1，1）：,協(xié)方差的一致性條件,方差-協(xié)方差矩陣滿足內(nèi)部一致性條件的不等式為：對于所有的向量w，滿足,二元正態(tài)分布,假定兩個變量V1 和 V2 服從二元正態(tài)分布，假定變量變量V1 的某個觀察值為v1，V2 在V1 = v1條件下為正態(tài)分布

3、，期望值為 標(biāo)準(zhǔn)差為 m1 和 m2 分別為 V1 和 V2 的（無條件）期望值，s1和s2分別為 V1 和 V2 的（無條件）標(biāo)準(zhǔn)差，r 為 V1 和 V2 的相關(guān)系數(shù),多元正態(tài)分布,很容易處理 方差-協(xié)方差矩陣定義了方差和變量間的相關(guān)系數(shù) 要滿足內(nèi)部一致性條件，方差-協(xié)方差矩陣就必須是半正定的,生成隨機樣本：模特卡洛模擬,在Excel中，采用指令=NORMSINV（RAND（）來生成服從正態(tài)分布隨機數(shù) 對于產(chǎn)生多元聯(lián)合正態(tài)分布的隨機抽樣要采用Cholesky分解的方法,因子模型,對N個變量之間的相關(guān)性進行估計，我們需要估計N(N-1)/2個參數(shù) 采用因子模型進行估計，我們就可以減少估計參數(shù)

4、的數(shù)量,單因子模型,假設(shè) Ui 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可設(shè) 其中，共同因子 F 和特異因子 Zi 均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 Ui 和 Uj 的相關(guān)系數(shù)為 ai aj,高斯Copula函數(shù),假設(shè)我們希望在不服從正態(tài)分布的兩個變量V1 和 V2 之間定義一種相關(guān)結(jié)構(gòu) 我們將變量V1 和 V2 映射到U1 和 U2 上，這里的U1 和 U2 均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 這種映射為分位數(shù)與分位數(shù)之間的一一映射 假定U1 和 U2 的聯(lián)合分布為二元正態(tài)分布,V之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)是通過U之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)定義的,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,V,

5、1,V,2,-6,-4,-2,0,2,4,6,-6,-4,-2,0,2,4,6,U,1,U,2,相關(guān)性假設(shè),V,1,V,2,-6,-4,-2,0,2,4,6,-6,-4,-2,0,2,4,6,U,1,U,2,一對一映射,例,V1,V2,V1 到 U1 的映射,V2 到 U2 的映射,例：計算聯(lián)合概率分布,V1 and V2 都小于0.2的概率，等于 U1 0.84 和 U2 1.41 的概率 當(dāng)Copula相關(guān)系數(shù)等于0.5時 M（0.84, 1.41, 0.5）= 0.043 M是二元正態(tài)分布的累積分布函數(shù),其他Copula函數(shù),還有許多其它Copula函數(shù)可以用于描述相關(guān)結(jié)構(gòu) 一種可能是二

6、元學(xué)生t-分布,二元正態(tài)分布的5000個隨機樣本,二元學(xué)生t-分布的5000個隨機樣本,多元Copula函數(shù),類似地，決定我們已知N個變量V1，V2，Vn 的邊際分布 我們將 Vi 映射到 Ui ，其中 Ui 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（這里的映射是分位數(shù)之間的一一對應(yīng)） 假定 Ui 服從多元正態(tài)分布,因子Copula模型,在因子Copula模型中，變量 Ui 之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)通常被假定由一個或多個因子來決定,貸款組合模型,定義Ti 為公司i的違約時間，將變量Ti 的分位數(shù)與Ui 的分位數(shù)之間進行一一對應(yīng)的映射，假定Ui 滿足式 F 及Zi 為相互獨立的正態(tài)分布 定義Qi 為Ti 的累積概率分布 當(dāng)N(U)=Qi(T)時，Prob(UiU)=Prob(TiT),貸款組合模型（續(xù)）,假設(shè)所有公司之間的Copu