2015 數(shù)學建模統(tǒng)計預測方法及預測模型.ppt

1、2015年,統(tǒng)計預測方法及預測模型,統(tǒng)計預測方法及預測模型,10.1 統(tǒng)計預測的基本問題,10.1.2 統(tǒng)計預測方法的分類及其選擇,10.1.3 統(tǒng)計預測的原則和步驟,10.1.1 統(tǒng)計預測的概念和作用,10.1.1 統(tǒng)計預測的概念和作用,(一)統(tǒng)計預測的概念 概念: 預測就是根據(jù)過去和現(xiàn)在估計未來，預測未來。統(tǒng)計預測屬于預測方法研究范疇，即如何利用科學的統(tǒng)計方法對事物的未來發(fā)展進行定量推測. 例1 下表是我國1952年到1983年社會商品零售總額（按當年價格計算），分析預測我國社會商品零售總額 。,實際資料是預測的依據(jù)； 理論是預測的基礎； 數(shù)學模型是預測的手段。,統(tǒng)計預測的三個要素：,統(tǒng)計

2、預測方法是一種具有通用性的方法。,(二)統(tǒng)計預測的作用,在市場經(jīng)濟條件下，預測的作用是通過各個企業(yè)或行業(yè)內(nèi)部的行動計劃和決策來實現(xiàn)的; 統(tǒng)計預測作用的大小取決于預測結(jié)果所產(chǎn)生的效益的多少。,影響預測作用大小的因素主要有：,預測費用的高低； 預測方法的難易程度； 預測結(jié)果的精確程度。,10.1.2 統(tǒng)計預測方法的分類和選擇,統(tǒng)計預測方法可歸納分為定性預測方法和定量預測方法兩類，其中定量預測法又可大致分為趨勢外推預測法、時間序列預測法和回歸預測法,; 按預測時間長短分為近期預測、短期預測、中期預測和長期預測; 按預測是否重復分為一次性預測和反復預測。,(一)統(tǒng)計預測方法的分類,(三)定量預測,定量

3、預測的概念: 定量預測也稱統(tǒng)計預測，它是根據(jù)已掌握的比較完備的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，運用一定的數(shù)學方法進行科學的加工整理，借以揭示有關(guān)變量之間的規(guī)律性聯(lián)系，用于預測和推測未來發(fā)展變化情況的一類預測方法,(二)統(tǒng)計預測方法的選擇,在統(tǒng)計預測中的定量預測要使用模型外推法，使用這種方法有以下兩條重要的原則： 連貫原則，是指事物的發(fā)展是按一定規(guī)律進行的，在其發(fā)展過程中，這種規(guī)律貫徹始終，不應受到破壞，它的未來發(fā)展與其過去和現(xiàn)在的發(fā)展沒有什么根本的不同； 類推原則，是指事物必須有某種結(jié)構(gòu)，其升降起伏變動不是雜亂無章的，而是有章可循的。事物變動的這種結(jié)構(gòu)性可用數(shù)學方法加以模擬，根據(jù)所測定的模型，類比現(xiàn)在，預測未來

4、。,10.1.3 統(tǒng)計預測的原則和步驟,(一)統(tǒng)計預測的原則,(二)統(tǒng)計預測的步驟,10.2 趨勢外推法,10.2.1 趨勢外推法概述 10.2.2 多項式曲線趨勢外推法 10.2.3 指數(shù)曲線趨勢外推法 10.2.4 生長曲線趨勢外推法 10.2.5 曲線擬合優(yōu)度分析,趨勢外推法的基本思想, 某些客觀事物的發(fā)展變化相對于時間推移，常表現(xiàn)出一定的規(guī)律性： 如：經(jīng)濟現(xiàn)象（指標）隨著時間的推移呈現(xiàn)某種上升或下降趨勢，這時，若作為預測對象的該經(jīng)濟現(xiàn)象（指標）變化又沒有明顯的季節(jié)性波動跡象，理論上就可以找到一條合適的函數(shù)曲線反映其變化趨勢。 可建其變化趨勢模型（曲線方程）： 當有理由相信這種趨勢可能會

5、延伸到未來時，對于未來時點的某個 值（經(jīng)濟指標未來值）就可由上述變化趨勢模型（直線方程）給出。這就是趨勢外推的基本思想。 趨勢外推的條件有：變化趨勢的時間穩(wěn)定性、 曲線方程存在。,某商場某種商品過去9個月的銷量數(shù)據(jù),某商場過去9年市場需求量統(tǒng)計數(shù)據(jù),10.2.1 趨勢外推法概述,一、趨勢外推法概念和假定條件 趨勢外推法概念： 當預測對象依時間變化呈現(xiàn)某種上升或下降趨勢，沒有明顯的季節(jié)波動，且能找到一個合適的函數(shù)曲線反映這種變化趨勢時，就可以用趨勢外推法進行預測。 運用趨勢外推法進行預測是基于兩個基本假設： 一是決定過去預測對象發(fā)展的因素，在很大程度上仍將決定其未來的發(fā)展； 二是預測對象發(fā)展過程

6、一般是漸進變化，而不是跳躍式變化。 趨勢外推法的突出特點是選用一定的數(shù)學模型來擬合預測變量的變動趨勢，并進而用模型進行預測。,二 、趨勢外推法經(jīng)常選用的數(shù)學模型 根據(jù)預測變量變動趨勢是否為線性，又分為線性趨勢外推法和曲線趨勢外推法。 （一）線性模型 （二）曲線模型 1.多項式曲線模型 2.簡單指數(shù)曲線模型 3.修正指數(shù)曲線模型 4.生長曲線模型 （龔珀資曲線模型） 一般形式：,(一) 直線趨勢外推法,適用條件：時間序列數(shù)據(jù)（觀察值）呈直線上升或下降的情形。 該預測變量的長期趨勢可以用關(guān)于時間的直線描述，通過該直線趨勢的向外延伸（外推），估計其預測值。 兩種處理方式： 擬合直線方程與加權(quán)擬合直線

7、方程,？,？,?,A 擬合直線方程法,使用最小二乘法擬合直線,概念：離差與離差平方,e,e,最小,擬合程度最好,最小二乘法原理,最小二乘法原理,本 質(zhì):使歷史數(shù)據(jù)到擬合直線上的離差平方和最小，從而求得模型參數(shù)的方法。 演 進：法國數(shù)學家勒讓德于1806年首次發(fā)表最小二乘理論。事實上，德國的高斯于1794年已經(jīng)應用這一理論推算了谷神星的軌道，但直至1809年才正式發(fā)表。 應 用：最小二乘法也是數(shù)理統(tǒng)計中一種常用的方法，在工業(yè)技術(shù)和其他科學研究中有廣泛應用。 運算過程：,x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,代入相應的x，得出預測值y,對于時間序列，xt 的取值為1到

8、n , 即自變量 xt 的取值等于其下標 t。采用正負對稱編號法可簡化計算。特別，當n為奇數(shù)時，取其中位數(shù)的編號為0，可使,擬合直線方程法的特點,擬合直線方程的一階差分為常數(shù)（一階導數(shù)為常數(shù)）,只適用于時間序列呈直線上升（或下降）趨勢變化。 對時間序列數(shù)據(jù)，不論其遠近都一律同等看待。 用最小二乘原理擬合的直線方程消除了不規(guī)則因素的影響，使趨勢值都落在擬合的直線上。 基本過程如下圖:,擬合直線方程法預測步驟圖,開 始,在擬合直線方程時，按照時間先后，本著重今輕遠的原則，對離差平方和進行賦權(quán)，然后再按最小二乘原理，使離差平方和達到最小，求出加權(quán)擬合直線方程。 由近及遠的離差平方和的權(quán)重分別為其中

9、，說明對最近期數(shù)據(jù)賦予最大權(quán)重為 1 ，而后有近及遠，按 比例遞減。 各期權(quán)重衰減的速度取決于 的取值。,B：加權(quán)擬合直線方程法基本思想,衰減速度越慢,衰減速度越快,？,加權(quán)擬合直線方程法的過程與模型,？,？,加權(quán)擬合直線方程法的過程與模型,預測模型為：,使用加權(quán)擬合直線方程法解題結(jié)論分析,由于時間序列線性趨勢比較明顯，又由于加權(quán)系數(shù)較大(0.8)，使得，加權(quán)與不加權(quán)擬合結(jié)果相近。 加權(quán)的重近輕遠原則，使其預測結(jié)果更接近于實際觀察值。,擬合直線方程法的特殊運用,在現(xiàn)實生活中，我們常常會遇到比線性（直線）發(fā)展趨勢更為復雜的問題。 例子：,某商品過去九年的市場總需求量,又例2:某公司1991200

10、3年銷售額（單位：萬元）,擬合直線方程的特殊運用 -非線性問題的線性化,上述特別的變化趨勢在實際生活中，常常會遇到比線性發(fā)展趨勢更為復雜的描述問題。 但在某些情況下，我們可以通過適當?shù)淖兞孔儞Q，將變量間的關(guān)系式化為線性的形式。 如： 在滿足 的變量關(guān)系中， a、b， 均為與 t 無關(guān)的未知參數(shù)， 只要令 ，即可將其化為線性形式關(guān)系：,變換,變換,常用轉(zhuǎn)換模型（3-1）,常用轉(zhuǎn)換模型（3-2）,對于上式兩邊取對數(shù)：,令：,則有：,常用轉(zhuǎn)換模型（3-3）,運用擬合直線方程法，可求得：,進一步用 正負編號法,例子：某公司19932005年產(chǎn)品的銷售額如下表，試預測2006年的產(chǎn)品銷售額。 （非線性變

11、化趨勢）,設：該趨勢的曲線模型為：,設：該趨勢線的模型為：,預測2006年的銷售額：,(二)指數(shù)曲線預測模型： 一般形式: 修正的指數(shù)曲線預測模型 ： 對數(shù)曲線預測模型： 生長曲線趨勢外推法： 皮爾曲線預測模型 ：,三、趨勢模型的選擇 圖形識別法： 這種方法是通過繪制散點圖來進行的，即將時間序列的數(shù)據(jù)繪制成以時間t為橫軸，時序觀察值為縱軸的圖形，觀察并將其變化曲線與各類函數(shù)曲線模型的圖形進行比較，以便選擇較為合適的模型。 差分法： 利用差分法把數(shù)據(jù)修勻，使非平穩(wěn)序列達到平穩(wěn)序列。 一階向后差分可以表示為： 二階向后差分可以表示為：,差分法識別標準：,10.2.2 多項式曲線趨勢外推法,背 景：

12、當變量之間的關(guān)系由于受到眾多因素的影響，其變動趨勢并非總是一條直線方程形式，而往往會呈現(xiàn)出不同形態(tài)的曲線變動趨勢。并且這種變動趨勢曲線方程（模型）也很難化為線性形式。 曲線趨勢外推法 根據(jù)時間序數(shù)據(jù)資料的散點圖走向趨勢，選擇恰當?shù)那€方程，利用最小二乘法或擬合法（三點法、三和法）等來確定待定的參數(shù)，建立曲線預測模型，并用它進行預測的方法。,一、二次多項式曲線模型及其應用 二次多項式曲線預測模型為： 設有一組統(tǒng)計數(shù)據(jù) ， ， ，令 即： 解這個三元一次方程就可求得參數(shù)。,例 1下表是我國1952年到1983年社會商品零售總額（按當年價格計算），分析預測我國社會商品零售總額 。,（1）對數(shù)據(jù)畫折線

13、圖分析，以社會商品零售總額為y 軸，年份為x 軸。,（2）從圖形可以看出大致的曲線增長模式，較符合的模型有二次曲線和指數(shù)曲線模型。但無法確定哪一個模型能更好地擬合該曲線，則我們將分別對該兩種模型進行參數(shù)擬合。 適用的二次曲線模型為： 適用的指數(shù)曲線模型為：,（3）進行二次曲線擬合。首先產(chǎn)生序列 ，然后運用普通最小二乘法對模型各參數(shù)進行估計。得到估計模型為： 其中調(diào)整的 ， ，則方程通過顯著性檢驗，擬合效果很好。標準誤差為151.7。,(4) 進行指數(shù)曲線模型擬合。對模型 ： 兩邊取對數(shù)： 產(chǎn)生序列 ，之后進行普通最小二乘估計該模型。最終得到估計模型為：,其中調(diào)整的 ， 則方程通過顯著性檢驗，擬

14、合效果很好。標準誤差為：175.37。 （5）通過以上兩次模型的擬合分析，我們發(fā)現(xiàn)采用 二次曲線模型擬合的效果更好。因此，運用方程： 進行預測將會取得較好的效果。,二、三次多項式曲線預測模型及其應用,三次多項式曲線預測模型為： 設有一組統(tǒng)計數(shù)據(jù) ， ， ，令 即： 解這個四元一次方程就可求得參數(shù)。,10.2.3 指數(shù)曲線趨勢外推法,一、指數(shù)曲線模型及其應用 指數(shù)曲線預測模型為： 對函數(shù)模型 做線性變換得： 令 ，則 這樣，就把指數(shù)曲線模型轉(zhuǎn)化為直線模型了。 二、修正指數(shù)曲線模型及其應用 修正指數(shù)曲線預測模型為：,10.2.4 生長曲線趨勢外推法,一、龔珀茲曲線模型及其應用 龔珀茲曲線預測模型為

15、： 對函數(shù)模型 做線性變換得： 龔珀茲曲線對應于不同的lg a與b的不同取值范圍而具有間斷點。曲線形式如下圖所示。,(1) lga0 0b1,k,漸進線（k）意味著市場對某類產(chǎn)品的需求 已逐漸接近飽和狀態(tài) 。,(2) lga1,k,漸進線（k）意味著市場對某類產(chǎn)品的需求 已由飽和狀態(tài)開始下降 。,(3) lga0 0b1,k,漸進線（k）意味著市場對某類產(chǎn)品的需求 下降迅速，已接近最低水平k 。,(4) lga0 b1,k,漸進線（k）意味著市場對某類產(chǎn)品的需求 從最低水平k迅速上升。,二、皮爾曲線模型及其應用 皮爾曲線預測模型為：,10.2.5 曲線擬合優(yōu)度分析,一、曲線的擬合優(yōu)度分析 如前

16、所述，實際的預測對象往往無法通過圖形直觀確認某種模型，而是與幾種模型接近。這時，一般先初選幾個模型，待對模型的擬合優(yōu)度分析后再確定究竟用哪一種模型。 擬合優(yōu)度指標： 評判擬合優(yōu)度的好壞一般使用樣本可決系數(shù)或標準誤差來作為擬合效好壞的指標：,10.3 時間序列的確定性因素分析,確定性因素分解 趨勢分析 季節(jié)效應分析 綜合分析,10.3.1 確定性因素分解,傳統(tǒng)的因素分解 長期趨勢(T) 循環(huán)波動(C) 季節(jié)性變化(S) 隨機波動(I),現(xiàn)在的因素分解 長期趨勢波動(T) 季節(jié)性變化(S) 隨機波動(I),分解的模型 加法模型: 乘法模型: 混合模型:,確定性時序分析的目的,克服其它因素的影響，單

17、純測度出某一個確定性因素對序列的影響 推斷出各種確定性因素彼此之間的相互作用關(guān)系及它們對序列的綜合影響,10.3.2 趨勢分析,目的 有些時間序列具有非常顯著的趨勢，我們分析的目的就是要找到序列中的這種趨勢，并利用這種趨勢對序列的發(fā)展作出合理的預測 常用方法 趨勢擬合法 平滑法,趨勢擬合法,趨勢擬合法就是把時間作為自變量，相應的序列觀察值作為因變量，建立序列值隨時間變化的回歸模型的方法 分類 線性擬合 非線性擬合,線性擬合,使用場合 長期趨勢呈現(xiàn)出線形特征 模型結(jié)構(gòu),例10.3.1: 擬合澳大利亞政府19811990年每季度的消費支出序列,模型 參數(shù)估計方法 最小二乘估計 參數(shù)估計值,擬合效果

18、圖,非線性擬合,使用場合 長期趨勢呈現(xiàn)出非線形特征 參數(shù)估計指導思想 能轉(zhuǎn)換成線性模型的都轉(zhuǎn)換成線性模型，用線性最小二乘法進行參數(shù)估計 實在不能轉(zhuǎn)換成線性的，就用迭代法進行參數(shù)估計,常用非線性模型,例10.3.2： 對上海證券交易所每月末上證指數(shù)序列進行模型擬合,非線性擬合,模型 變換 參數(shù)估計方法 線性最小二乘估計 擬合模型口徑,擬合效果圖,平滑法,平滑法是進行趨勢分析和預測時常用的一種方法。它是利用修勻技術(shù)，削弱短期隨機波動對序列的影響，使序列平滑化，從而顯示出長期趨勢變化的規(guī)律 常用平滑方法 移動平均法 指數(shù)平滑法,移動平均法,基本思想 假定在一個比較短的時間間隔里，序列值之間的差異主要

19、是由隨機波動造成的。根據(jù)這種假定，我們可以用一定時間間隔內(nèi)的平均值作為某一期的估計值 分類 n期中心移動平均 n期移動平均,n期中心移動平均,5期中心移動平均,n期移動平均,5期移動平均,移動平均期數(shù)確定的原則,事件的發(fā)展有無周期性 以周期長度作為移動平均的間隔長度 ，以消除周期效應的影響 對趨勢平滑的要求 移動平均的期數(shù)越多，擬合趨勢越平滑 對趨勢,為反映近期變化敏感程度,要求移動平均的期數(shù)越少，擬合趨勢越敏感,移動平均預測,例10.3.3,某一觀察值序列最后4期的觀察值為： 5，5.5，5.8，6.2 （1）使用4期移動平均法預測 。 （2）求在二期預測值 中 前面的系數(shù)等于多少？,解,（

20、1） （2） 在二期預測值中 前面的系數(shù)等于,例 現(xiàn)有某商場16月份的銷售額資料如下表所 示，試用N=5來進行移動平均，并預測7月和8月的銷售額。,月份 1 2 3 4 5 6,銷售額（萬元） 33 34 35 37 38 40,移動平均法方法簡單，但它一般只對發(fā)展變化比較平坦，增長趨勢不明顯，并且與以往遠時期的狀況聯(lián)系不多的時序有效。,指數(shù)平滑法,指數(shù)平滑方法的基本思想 在實際生活中，我們會發(fā)現(xiàn)對大多數(shù)隨機事件而言，一般都是近期的結(jié)果對現(xiàn)在的影響會大些，遠期的結(jié)果對現(xiàn)在的影響會小些。為了更好地反映這種影響作用，我們將考慮到時間間隔對事件發(fā)展的影響，各期權(quán)重隨時間間隔的增大而呈指數(shù)衰減。這就是

21、指數(shù)平滑法的基本思想 分類 簡單指數(shù)平滑 Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑,一次指數(shù)平滑法 為平滑系數(shù)，St(1)為t時刻的一次指數(shù)平滑值。,指數(shù)平滑法,只能預測一期，不能預測多期。,二次指數(shù)平滑法,預測公式 t為預測起點，T為預測步長。,7.3.2 平滑預測法指數(shù)平滑法,三次指數(shù)平滑,預測公式,7.3.2 平滑預測法指數(shù)平滑法,初始值的確定 平滑系數(shù)的選擇： 如對初始值有疑問，準確性差，宜取較大值，以體現(xiàn)近期數(shù)據(jù)作用，降低初值影響； 如外部環(huán)境變化較快，則數(shù)據(jù)可能變化較大，值宜取大一些，以跟蹤過程變化（如取0.30.5）； 如原始資料較缺乏，或歷史資料的參考價值小， 值宜取大一些； 如時序雖然具有不規(guī)

22、則變動，但長期趨勢較穩(wěn)定 （如接近某一穩(wěn)定常數(shù)）或變化甚小，值應較小（0.050.2）。, 值的最后確定，一般是選擇不同的，通過對預測結(jié)果的評價來實現(xiàn)的。評價原則： （1）對不同的計算平均絕對誤差 選擇MAE最小的值。 （2）歷史數(shù)據(jù)檢驗。即對每個，用離現(xiàn)時較遠的歷史數(shù)據(jù)建立預測模型，去“預測”離現(xiàn)時較近的歷史數(shù)據(jù)（事后預測），看符合程度如何？從中選取一個符合得好的。 （3）對不同所得模型的預測結(jié)果，專家評估。 根據(jù)經(jīng)驗，一般取=0.010.3,初始值S0(1)確定： （1）當時序原始數(shù)據(jù)樣本較多，值較大時，可取S0(1)=x1，S0(2)= S0(1)， S0(3）= S0(2)。 （2）當

23、數(shù)據(jù)點不夠多，初始值對預測精度影響較大時，可取開始幾個觀測值的算術(shù)平均值作為S0(1)。 例10.3.4 已知某城市公共交通過去20日的實際客運量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示，當取=0.3時，試計算一次、二次指數(shù)平滑值，并預測今后第10日時的客運量。,周期數(shù) 客運量xt St(1) St(2) t（日） （萬人次） (=0.3) (=0.3),0 1 2 3 4 5 . 17 18 19 20, 50 52 47 51 59 69 76 75 80,50 50 50.6 49.52 49.96 49.67 64.23 67.76 69.93 72.95,50 50 50.18 49.98 49.98

24、49.88 59.28 61.79 64.23 66.85,解：,滯后偏差,數(shù)據(jù)點連線,一 次 平 滑,二次平滑,10,20,20,40,60,80,Xt（萬人次）,t（日）,假定目前處在周期20，對周期30進行預測,平滑系數(shù)的物理意義： 描述對過程變化的反應速度： 越大（接近1），表示重視近期數(shù)據(jù)的作用，對過程變化反應越快； 也描述預測系統(tǒng)對隨機誤差的修勻能力：越小（接近0），表示重視離現(xiàn)時更遠的歷史數(shù)據(jù)的作用，修勻（濾波）能力越強，但對過程變化的反映越遲鈍。,Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑,使用場合 適用于對含有線性趨勢的序列進行修勻 構(gòu)造思想 假定序列有一個比較固定的線性趨勢 兩參數(shù)修勻,初始值

25、的確定,平滑序列的初始值 趨勢序列的初始值,Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑預測,期預測值,例10.3.5,對北京市19782000年報紙發(fā)行量序列進行Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑。指定,例10.3.5 平滑效果圖,10.3.3 季節(jié)效應分析,例10.3.6 以北京市1995年2000年月平均氣溫序列為例，介紹季節(jié)效應分析的基本思想和具體操作步驟。,時序圖,季節(jié)指數(shù),季節(jié)指數(shù)的概念 所謂季節(jié)指數(shù)就是用簡單平均法計算的周期內(nèi)各時期季節(jié)性影響的相對數(shù) 季節(jié)模型,季節(jié)指數(shù)的計算,計算周期內(nèi)各期平均數(shù) 計算總平均數(shù) 計算季節(jié)指數(shù),季節(jié)指數(shù)的理解,季節(jié)指數(shù)反映了該季度與總平均值之間的一種比較穩(wěn)定的關(guān)系 如果這個比值大于

26、1，就說明該季度的值常常會高于總平均值 如果這個比值小于1，就說明該季度的值常常低于總平均值 如果序列的季節(jié)指數(shù)都近似等于1，那就說明該序列沒有明顯的季節(jié)效應,例10.3.6 季節(jié)指數(shù)的計算,例10.3.6 季節(jié)指數(shù)圖,例如，某公司從1996年到2001年，每一年各季度的紡織品銷售量見下表。,季節(jié)預測法的具體步驟如下： 1.收集歷年按季度記錄的歷史統(tǒng)計資料； 2.計算出n年各相同季度的平均值(A)； 3.計算出n年每一個季度的平均值(B)； 4.計算季節(jié)指數(shù)(C)，即用各季度的平均值除以所有季 度的平均值： 式中 C=A/B C季節(jié)指數(shù)。 5. 利用季節(jié)指數(shù)(C),對預測值進行修正： Yt =

27、 (a + bT)Ci,5.利用季節(jié)指數(shù)(C),對預測值進行修正： Yt = (a + bT)Ci 式中 Ci第i季度的季節(jié)指數(shù)(i=1,2,3,4)； Yt第t季度的銷售量； a待定系數(shù)； b待定系數(shù)； T預測期季度數(shù)，,預測過程如下： 1.六年各相同季節(jié)的平均銷售量(Ai) A1=19706262(單位) 同理 A2=180，A3138.3，A4=180(單位) 2.六年所有季度的平均銷售量(B) (單位) M6年銷售量總和,3.各季節(jié)銷售指數(shù)(Ci) C1=262191.38 同理 C20.95，C30.73，C40.95 4.修正2002年各季度預測值 (1)建立時間序列線性回歸預測模

28、型 由上表可得知各有關(guān)數(shù)據(jù)，利用公式,(1),(2),y_t=190+1.90T 式中 T=-23,-21,-1,1,3,23,(2)修正2002年各季度預測值 第一季度預測值=(190+1.9025)1.38328(單位) 第二季度預測值=(190+1.9027)0.95229(單位) 第三季度預測值=(190+1.9029)0.73179(單位) 第三季度預測值=(190+1.9031)0.95236(單位),注意：如果n為奇數(shù)，例如n=9，則T=-4，-3，-2，1，0，1，2，3，4.季節(jié)銷售指數(shù)也可以按月計算。 先列出各個年度每個月份的銷售量，見下表。計算過程如下： A=各月合計值年

29、數(shù) A1=176/3=58.7(單位) A2 = 189 / 3 = 63(單位) 。 A12 = 195 / 3 = 65(單位),2.計算所有月份的月平均值銷售量(B) B=所有月份的合計值年數(shù)12 B=197631254.9(單位) 3.求各月份季節(jié)銷售指數(shù)(C) Ci = A / B,.,在本例中，由公式(1)(2)得 a=54.9，b=0.13，從而 yt = (54.9 + 0.13T)Ci,若預測2002年1月份和8月份的銷售量，計算如下： 2002年1月和8月份的銷售額分別為 y19=(54.9+0.1337)1.0763.89 y26=(54.9+0.1351)0.6238.

30、15,例 某公司從1996年到2001年，每一年各季度的紡織品銷售量見下表。預測2010年各季度紡織品的銷售量。（單位：件）,預測過程如下,1.六年各相同季節(jié)的平均銷售量(Ai) A1=19706262(單位) 同理 A2=180，A3138.3，A4=180(單位) 2.六年所有季度的平均銷售量(B) M6年銷售量總和 BM/ （4*6）4560/24190 (單位) 3.各季節(jié)銷售指數(shù)(Ci = Ai /B) C1262191.38 同理 C20.95，C30.73，C40.95 4.修正2010年各季度預測值 Y t = (a + b *T )Ci,(1)建立時間序列方程式Y(jié)ab*T 由

31、上表可得知各有關(guān)數(shù)據(jù)，利用公式 ay t /n4560/24=190 b y t *T / T 2=8760/4600 1.9 y=190+1.90T 式中 T=-23,-21,-1,1,3,23 (2)修正2010年各季度預測值 第一季度預測值=(190+1.9025)1.38328(單位) 第二季度預測值=(190+1.9027)0.95229(單位) 第三季度預測值=(190+1.9029)0.73179(單位) 第三季度預測值=(190+1.9031)0.95236(單位),10.3.4 綜合分析,常用綜合分析模型 加法模型 乘法模型 混合模型,例10.3.7 對1993年2000年中

32、國社會消費品零售總額序列（數(shù)據(jù)見附錄1.11）進行確定性時序分析。,(1)繪制時序圖,(2)選擇擬合模型,長期遞增趨勢和以年為固定周期的季節(jié)波動同時作用于該序列，因而嘗試使用混合模型（b）擬合該序列的發(fā)展,(3)計算季節(jié)指數(shù),季節(jié)指數(shù)圖,季節(jié)調(diào)整后的序列圖,(4)擬合長期趨勢,(5)殘差檢驗,(6)短期預測,混合模型,對于既含有線性趨勢成分又含有季節(jié)成分的時間序列，須對其成分進行分解，這種分解建立在以下乘法模型的基礎上： 其中，Tt表示趨勢成分，St表示季節(jié)成分，It表示不規(guī)則成分。由于不規(guī)則成分的不可預測，因此預測值就可表示為趨勢成分和季節(jié)成分的乘積。,建立季節(jié)指數(shù)模型的一般步驟如下： 第一

33、步，計算每一季（每季度，每月等等）的季節(jié)指數(shù)St 。 第二步，用時間序列的每一個觀測值除以適當?shù)募竟?jié)指數(shù)，消除季節(jié)影響。 第三步，為消除了季節(jié)影響的時間序列建立適當?shù)内厔菽Ｐ筒⒂眠@個模型進行預測。 第四步，用預測值乘以季節(jié)指數(shù)，計算出最終的帶季節(jié)影響的預測值。,例 某工廠過去4年的電視機銷量如表4-2所示：表4-2 四年內(nèi)每季度的電視機銷量 這些數(shù)據(jù)有明顯的季節(jié)性波動，試在Excel工作表中建立一個季節(jié)指數(shù)模型來預測第5年每個季度的電視機銷量 。,10.4 回歸預測法,回歸（regression）這一術(shù)語來自英國人Francis Galton和他的朋友Karl Pearson對父親身高與兒子身

34、高之間關(guān)系的研究。他們發(fā)現(xiàn)父親與兒子的身高有著顯著的正相關(guān)關(guān)系，并且身高的變化不是兩級分化而是“趨同”。 回歸是研究某一變量與其它一個或是多個變量之間的關(guān)系。 回歸的方法目前在經(jīng)濟學與管理學中有著越來越廣泛的運用，而計量經(jīng)濟學也是經(jīng)濟學中一個重要的分支，或者說是經(jīng)濟學與管理學研究的重要方法。是一門很深的學問。 市場蘊含著紛繁復雜的各種變量，而各種變量之間卻又有著某種依存關(guān)系。回歸的目的就是要推定一個變量對另一個變量所具有的因果效應。 比如，在分析消費需求時，我們想知道商品價格變化對其需求量的影響，只要保持其他因素（收入、其他商品價格、個人偏好等）都不變，這時價格變化與需求量之間就存在一種因果關(guān)

35、系。 在經(jīng)濟預測中，人們把預測對象當作因變量，把那些與預測對象有關(guān)的因素當作自變量，收集自變量的充分數(shù)據(jù)，應用相關(guān)理論知識，建立回歸方程，并進行預測 比如，我們要預測某地區(qū)工業(yè)增加值，就可以利用C-D生產(chǎn)函數(shù)建立回歸模型，這時因變量就是工業(yè)增加值，自變量有資本投入、勞動投入、技術(shù)進步的因素等。,比如，夏天飲料的需求量與兒童溺水數(shù)量之間存在高度的相關(guān)關(guān)系，但是根據(jù)常識我們可以判斷兩者之間并沒有因果關(guān)系。但是我們?nèi)绻莆樟顺浞值臄?shù)據(jù)，還是可以作出相關(guān)的預測。 在經(jīng)濟預測中，人們把預測對象當作因變量，把那些與預測對象有關(guān)的因素當作自變量，收集自變量的充分數(shù)據(jù)，應用相關(guān)分析和回歸分析求得回歸方程，并利

36、用回歸方程進行預測。 回歸預測法中的自變量，與時間序列預測法中的自變量不相同。后者的自變量是時間本身，而前者的自變量不是時間本身，而是其他的變量。 回歸預測法中的自變量與因變量之間，有的屬于因果關(guān)系，有的屑于伴隨關(guān)系。不能認為只有因果關(guān)系才能進行回歸預測，實際上伴隨關(guān)系也是一種相關(guān)關(guān)系，只要收集大量的足夠的資料，也可以用回歸預測法進行預測。 在回歸預測法中，自變量不是隨機的或者是給定的，這與相關(guān)分析中自變量有所區(qū)別。相關(guān)分析中的自變量是隨機的。,回歸分析預測法是預測學的基本方法，它是在分析因變量與自變量之間的相互關(guān)系，建立變量間的數(shù)量關(guān)系近似表達的函數(shù)方程，并進行參數(shù)估計和顯著性檢驗以后，運用

37、回歸方程式預測因變量數(shù)值變化的方法 回歸分析預測法的具體步驟 1)確定預測目標和影響因素 2）進行相關(guān)分析 3）建立回歸預測模型 4）回歸預測模型的檢驗 5）進行實際預測 具體來說： 1）憑借研究者的理論和經(jīng)驗確定分析對象之間的相關(guān)關(guān)系，確定因變量。 2）篩選自變量。分析各自變量與因變量之間的相關(guān)關(guān)系，觀察其相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式及密切程度。選用那些與因變量關(guān)系最為密切的自變量。在用多元回歸預測時，還要分析各自變量之間的相關(guān)關(guān)系，選用那些關(guān)系不密切的自變量。如有兩個自變量相互關(guān)系很密切，則應舍棄其中的一個。 3）確定回歸方程式。根據(jù)理論分析和相關(guān)分析，確定用怎樣的回歸模型來進行分析，這也是回歸分析

38、的關(guān)鍵和難度所在。 4）相關(guān)檢驗。對回歸方程估計結(jié)果進行相關(guān)系數(shù)、顯著性、t檢驗等等，確定回歸模型的適用性。 5）預測。,運用回歸法進行定量預測，必須有以下三個條件： 1）預測對象與影響因素之間必須存在因果關(guān)系； 2）過去和現(xiàn)在的數(shù)據(jù)規(guī)律，能夠反映未來； 3）數(shù)據(jù)的分布確有線性趨勢，可采用線性解；如不是線性趨勢，則可用非線性解。 回歸預測法的種類 1）一元回歸預測(古典線型回歸)。一元回歸預測就是用相關(guān)分析法分析一個自變量和一個因變量之間的相關(guān)關(guān)系，并進行預測。例如，從居民貨幣收入預測某種耐用消費品的銷售量；從工人勞動生產(chǎn)率預測利潤額；從施肥量預測農(nóng)作物的產(chǎn)量。 2）多元回歸預測。多元回歸預測

39、就是分析因變量與若干個自變量的相關(guān)關(guān)系，建立多元回歸方程，從若干自變量的變化去預測因變量的變化程度和未來的數(shù)量狀況。例如，從施肥量、氣溫、降雨量去預測某種農(nóng)作物的收獲率；從商業(yè)企業(yè)的職工勞動生產(chǎn)率和流通費率去預測利潤率等等。 3）自回歸預測。自回歸預測就是用一個時間數(shù)列的因變量數(shù)列與向過去推移若干時期的一個或幾個自變量數(shù)列進行預測。例如對按月編制的時間數(shù)列，用今年112月的數(shù)列作為因變量數(shù)列， 用以前某月至某月的數(shù)列作為自變量數(shù)列，計算其相關(guān)系數(shù)，建立回歸方程進行預測。 還可分為線性回歸方程預測和非線性回歸方程預測兩種。,a. 影響GDP增長的因素有哪些（投資、消費、出口、貨幣供應量等）？ b

40、. GDP與各種因素關(guān)系的性質(zhì)是什么？（增、減） c. 各影響因素與GDP的具體的數(shù)量關(guān)系？ d. 所作數(shù)量分析結(jié)果的可靠性如何？ e. 今后的發(fā)展趨勢怎么樣？,例1：研究中國的GDP增長,10.4.1 實例引入,例2：中國家庭汽車市場,a：汽車市場狀況如何（銷售量） b: 影響汽車銷售量的主要因素是什么（收入、價格、道路狀況等）？ c: 各種因素對汽車銷售量影響的性質(zhì)怎樣（正、負、無）？ d: 各種因素影響汽車銷量的具體數(shù)量程度？ e: 以上分析所得結(jié)論是否可靠？ f: 今后發(fā)展的趨勢怎樣？,以上問題的共性,提出所研究的問題 分析影響因素（根據(jù)經(jīng)濟理論、實際經(jīng)驗） 分析各種因素與所研究的現(xiàn)象

41、的相互關(guān)系（需要科學的數(shù)量分析方法） 分析所研究的現(xiàn)象與各種影響因素的數(shù)量關(guān)系（需要運用統(tǒng)計方法） 分析和檢驗所得數(shù)量結(jié)論的可靠性； 測算所研究經(jīng)濟問題的發(fā)展趨勢（預測未來）,一、變量： 在不同時間、空間有不同狀況，取不同數(shù)值的因素稱為變量。其分類為：,1、被解釋變量(因變量),變量、參數(shù)、數(shù)據(jù),2、解釋變量(自變量),3、滯后變量,被解釋變量（因變量）：模型中要分析研究的變量,解釋變量（自變量）：說明因變量變動原因的變量,例：收入決定模型（其中：消費支出C、 投資I、進口IM 、稅收T、收入Y、政府支出G、出口E）,其中：消費支出C、 投資I、進口IM 、稅收T、收入Y是被解釋(內(nèi)生)變量政

42、府支出G、出口E、是解釋變量（通過計劃、預算來確定）,（有兩個滯后變量，作用視同解釋變量）,二、數(shù)據(jù),1、時間序列數(shù)據(jù)： 按照時間先后順序排列的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（例 ：時期、時點指標）,3、混合數(shù)據(jù)： 既有時間序列數(shù)據(jù)，又有截面數(shù)據(jù)（例：居民收支調(diào)查中收集的對各個固定調(diào)查戶在不同時期的調(diào)查數(shù)據(jù)）。,2、截面數(shù)據(jù) ：是在同一時間，不同空間的某個指標組成的數(shù)列（如：工業(yè)普查數(shù)據(jù)、人口普查數(shù)據(jù)、家計調(diào)查數(shù)據(jù)等）。,4、虛擬變量數(shù)據(jù)：僅取0和1兩個變量值的,模型建立步驟,可以運用計量方法研究這類問題，一般分為四個步驟： 4.1 模型設定 4.2 估計參數(shù) 4.3 模型檢驗 4.4 模型應用,研究過程,有關(guān)理論

43、,實踐活動,搜集統(tǒng)計數(shù)據(jù),設定計量模型,參數(shù)估計,模型檢驗,預測,政策評價,模型修訂,結(jié)構(gòu)分析,符合,不符合,是否符合標準,模型應用,10.4.2 模型設定,4.1.1 經(jīng)濟模型： 模型：對經(jīng)濟現(xiàn)象或過程的一種數(shù)學模擬。 設定（Specification）:把所研究的經(jīng)濟變量之間的關(guān)系用適當?shù)臄?shù)學關(guān)系式表達出來。 （例:消費函數(shù) y=a+bx ）,4.1.2 構(gòu)成計量經(jīng)濟模型的要素(例：消費函數(shù)y=a+bx+u) * 經(jīng)濟變量（y,x） * 經(jīng)濟參數(shù)（a,b，待估計） * 隨機擾動項u模型構(gòu)成要素之說明（例：消費函數(shù)y=a+bx+u ） * 經(jīng)濟變量（y,x）：不同時間、不同空間的表現(xiàn)不同，取

44、值不同，可以觀測。 * 經(jīng)濟參數(shù)（a,b）：比較穩(wěn)定的因素，決定經(jīng)濟的特征。 參數(shù)是計量經(jīng)濟模型中表現(xiàn)經(jīng)濟變量相互依存程度的因素，是一個相對穩(wěn)定的量,4.1.3設定模型的要求,要有科學的理論依據(jù)； 選擇適當?shù)臄?shù)學形式（單方程還是多方程，線性還是非線性的選擇。方程應是有解的，形式盡可能簡單）； 模型要兼顧真實性和實用性； 包含隨機擾動項； 方程中的變量要具有可觀測性；,10.4.3 建模步驟,經(jīng)濟理論或假說的陳述； 建立數(shù)學（數(shù)理經(jīng)濟）模型； 建立統(tǒng)計或計量經(jīng)濟模型； 收集處理數(shù)據(jù)； 模型的參數(shù)估計； 檢驗來自模型的假說現(xiàn)實意義檢驗； 檢驗模型的正確性模型的假設檢驗； 模型的運用預測、結(jié)構(gòu)分析、

45、政策模擬等,10.4.4 估計參數(shù),一般地，參數(shù)是未知的，不可直接觀測。 參數(shù)要通過樣本數(shù)據(jù)，選擇適當?shù)姆椒右怨烙?。（如何通過樣本數(shù)據(jù)估計參數(shù)是計量經(jīng)濟學的核心內(nèi)容） 參數(shù)估計值：所估計的參數(shù)的具體數(shù)值 參數(shù)估計式：用未知的樣本數(shù)據(jù)表示的待估計參數(shù)表達式。 參數(shù)估計的常用方法：普通最小二乘法（OLS），極大似然估計法（ML）等。,10.4.5 模型檢驗,檢驗是對模型和所估計的參數(shù)加以評定，判斷在經(jīng)濟理論上是否有意義，在統(tǒng)計上是否顯著。 為什么要進行檢驗？ 理論依據(jù)可能不充分； 統(tǒng)計數(shù)據(jù)或其他信息可能不可靠 樣本可能較小，結(jié)論只是抽樣的某種偶然結(jié)果。 可能違反計量經(jīng)濟估計的基本假定。 模型的檢

46、驗方式 *理論意義,現(xiàn)實意義檢驗：是否與理論、現(xiàn)實相符； *統(tǒng)計推斷檢驗：檢驗參數(shù)值是否為抽樣的偶然結(jié)果； *計量檢驗：是否符合基本假定； *預測檢驗：將模型預測結(jié)果與現(xiàn)象運行的實際對比。,10.4.6 模型應用,結(jié)構(gòu)分析： 分析變量之間的數(shù)量比例關(guān)系，如邊際分析、彈性分析（變化率之比）、乘數(shù)分析（變化量之比）、比較靜力學分析 預測： 包含動態(tài)預測和空間預測。（對非穩(wěn)定發(fā)展的過程無能為力，滯后于理論和現(xiàn)實的模型在應用中也會遇到障礙。） 政策評價: 用模型對政策方案作模擬測算，對政策方案作評價。 模型形式 a線性模型 b非線性模型：雙對數(shù)模型、半對數(shù)模型、倒數(shù)模型 非線性模型一般都要轉(zhuǎn)化為線性模

47、型來估計。,1、線性模型（對變量、參數(shù)）,2、非線性模型（被解釋與解釋變量之間、被解釋變量與參數(shù)之間）,例如：,（1、2可線性化）,（1）多項式函數(shù),常見的可線性化模型：,（2）雙對數(shù)方程,基本形式（冪函數(shù)）：,雙對數(shù)方程的斜率參數(shù) 可以衡量因變量Y關(guān)于解釋變量X的彈性(表示：當X每變動1%時，因變量Y平均變動的百分比）。 事實上，有,(3) 半對數(shù)方程,在第一個方程中 斜率參數(shù) 等于Y的相對變動 與X絕對變動 之比。模型叫增長模型，它可以描述某種經(jīng)濟現(xiàn)象隨著時間變化而變動的趨勢。 第二個半對數(shù)方程的斜率系數(shù) 表示當自變量發(fā)生一個單位的相對變動時，引起的因變量Y的平均絕對變動。,（4） 倒數(shù)變

48、換模型,基本形式： 注： ，Y 隨著X增大而非線性地增大，最終接近一條直線 ，Y 隨著X的增加而非線性地減少。 重要特點：被解釋變量Y存在極限。 例：若Y為平均成本，X為產(chǎn)量，則平均成本Y隨著產(chǎn)量增加而不斷下降，但它決不可能等于或小于 。,10.4.7 回歸實例,一元線型回歸分析,一元線型回歸（古典線型回歸）預測是指成對的兩個變量數(shù)據(jù)分布大體上呈直線趨勢時，運用合適的參數(shù)估計方法，求出一元線性回歸模型，然后根據(jù)自變量與因變量之間的關(guān)系，預測因變量的趨勢。 很多社會經(jīng)濟現(xiàn)象之間都存在一一對應的相關(guān)關(guān)系，因此，一元線性回歸預測有很廣泛的應用。比如，家庭的消費支出與家庭收入之間存在很強的相關(guān)關(guān)系，甚

49、至是一種線型關(guān)系。,線性回歸模型及其假定 一般地，一元線型回歸模型具有如下形式： yi=+xi+i，i=1,n, 其中y是因變量或稱為被解釋變量，x是自變量或稱為解釋變量，i標志n個樣本觀測值中的一個。 構(gòu)成古典線性回歸模型的一組基本假設為： 1. 函數(shù)形式： yi=+xi+i，i=1,n, 2. 干擾項的零均值：對所有i，有： Ei=0。 3. 同方差性：對所有i，有： Vari=2，且是一個常數(shù)。 4. 無自相關(guān)：對所有 ij， 則 Covi,j=0。 5. 回歸量和干擾項的非相關(guān)：對所有i和j有 Covxi,j=0。 6. 正態(tài)性：對所有i，i滿足正態(tài)分布N（0， 2 ）。,用最小二乘法

50、（OLS）進行參數(shù)估計 得到的估計表達式為： 在估計了參數(shù)之后，就可以得到一元線型方程，這樣帶入自變量x的值，就可以進行對因變量y的預測。,在預測之前，還需要對估計結(jié)果作假設檢驗： 1、R檢驗 相關(guān)系數(shù)R：衡量自變量與因變量關(guān)系密切程度的指標，表示自變量解釋了因變量變動的百分比。 可見相關(guān)系數(shù)R取值于01之間。一般在實際預測時，|R|0.7就認為因變量與自變量高度相關(guān)，x是y的主要影響因素；0.3|R|0.7，認為相關(guān)；|R|0.3，弱相關(guān)，不能認為x是y的主要影響因素。 如果要用一元線型回歸方程來預測，一般要求R要大于0.7。,2、t檢驗 T檢驗是用來檢驗一元線型回歸模型是否成立的一種方法。

51、通過構(gòu)造統(tǒng)計量T，并給定一定的顯著性水平 ，可以計算： 通過查表，如果 ，則可以認為回歸模型顯著，否則回歸模型不成立。 比如，在95%顯著程度下，并且n很大時，后者為1.96。,3、F檢驗 通過構(gòu)造統(tǒng)計量F，并給定一定的顯著水平，計算統(tǒng)計量F： 查F分布表，可得 如果 ，則一元線型回歸模型成立，否則線型回歸不顯著。,一元線型回歸預測,用回歸方程計算出來的預測值，是一個具體的數(shù)，稱為點預測。點預測值是一個平均數(shù)，實際值可能高于或低于它，還必須用一定的機率保證其置信區(qū)間的范圍，也就是區(qū)間估計。 為了計算置信區(qū)間，就要計算預測值的標準誤差。其計算公式如下： 根據(jù)概率論證明，在數(shù)據(jù)較多時置信區(qū)間為：

52、置信度為68.3；兩個S為95.45；三個S為99.7。 擴大置信區(qū)間，可以增加預測的可靠程度；但如果置信區(qū)間很寬，就會使預測結(jié)果沒有多大意義。,根據(jù)經(jīng)驗，企業(yè)的商品銷售額同廣告費支出之間具有相關(guān)關(guān)系。某企業(yè)1990年至1999年的商品銷售額和廣告費支出的資料如表12-1所示。 某企業(yè)商品銷售額與廣告費支出表,廣告費支出 （萬元）,商品銷售額 （百萬元）,（資料來源：徐國強著：管理統(tǒng)計學，上海財經(jīng)大學出版社 1998）,預測該企業(yè)2002年的廣告費支出為35萬元，要求在95%的概率下預測該年的商品銷售額。,【分析提示】 1）進行相關(guān)分析。在坐標系上將廣告費支出和商品銷售額的數(shù)據(jù)標出，形成散點圖

53、，可以發(fā)現(xiàn)呈現(xiàn)直線趨勢。從而判定二者呈一元回歸。,2) 建立回歸方程。,回歸方程為： ， 關(guān)鍵是求參數(shù)a、b的值。 根據(jù)表12-1計算的有關(guān)數(shù)據(jù)，利用最小平方法可以求出：,所求回歸方程是：,3）進行檢驗。 (1)相關(guān)系數(shù)：,取顯著性水平=0.05，df=n-2=8。查相關(guān)系數(shù)臨界值表得：,因為,，說明廣告費支出與商品銷售額存在很強的正相關(guān)關(guān)系。,(2)決定系數(shù),檢驗和F檢驗.,決定系數(shù)檢驗 和F檢驗都是用來檢驗回歸方程線性關(guān)系的顯著性，二者在檢驗原理上大體相同，均借助了方差分析：,其中：,：總變差；,：剩余變差；,：回歸變差。,決定系數(shù),利用回歸變差、點變差、總變差的比重說明回歸直線的代表性，

54、 若這個比例越大，則說明x與y之間關(guān)系越密切，回歸直線代表性越好。一般地,的取值在01之間。,F檢驗法將自變量作為一個整體來檢驗與因變量之間的線性關(guān)系是否顯著。其計算為：,取顯著性水平=0.05，df1=1，df2=n-2=8。查F分布表得：,因為F,，說明廣告費支出與商品銷售額線性關(guān)系顯著。這與決定系數(shù),檢驗結(jié)論一致。,百萬元。,即：2002年的商品銷售額可望達到49.595百萬元。,4）進行預測。 (1)點預測。2002年的廣告費支出預計為35萬元。,萬元代入回歸方程：,(2)區(qū)間預測。 計算估計標準誤差,，df=8，查t分布表，得,即：2002年的商品銷售額可望達到49.595百萬元。,

55、因為,當廣告費支出達到,萬元時，商品銷售額的預測區(qū)間為：,即：若以95%的把握程度預測，當廣告費支出達到35萬元時，商品的銷售額在 45.864-53.326百萬元之間。,現(xiàn)實生活中引起被解釋變量變化的因素并非僅只一個解釋變量，可能有很多個解釋變量。 例如，產(chǎn)出往往受各種投入要素資本、勞動、技術(shù)等的影響；銷售額往往受價格和公司對廣告費的投入的影響等。 所以多元線性模型解釋變量個數(shù) 2更為常見,二、多元線性回歸模型及其假定條件,模型的建立,在實際問題中，有時一個變量受到一個或多個解釋變量影響。這時就需要建立多元回歸模型進行研究。假定變量yt與k 個變量xjt, j = 1, , k 1，存在線性

56、關(guān)系。多元線性回歸模型表示為：,其中yt是被解釋變量（因變量），xjt 是解釋變量（自變量），ut是隨機誤差項，i, i = 0, 1, , k - 1是回歸參數(shù)（通常未知）。這說明xjt, j = 1, , k, 是yt的重要解釋變量。 ut代表眾多影響yt變化的微小因素。,當給定一個容量為 的樣本，樣本觀測值為 得,當給定一個容量為,得：,為保證用OLS法得到最優(yōu)估計量，該回歸模型應滿足如下假定條件。 假定 隨機誤差項向量u是非自相關(guān)的，同方差的。其中每一項都滿足均值為零，方差為 ，相同且為有限值，即 且,假定 解釋變量與誤差項相互獨立，即,假定 解釋變量之間線性無關(guān)。,其中 表示矩陣的秩

57、。,假定 解釋變量是非隨機的，且當 時,多元線性回歸模型的參數(shù)估計,1. 普通最小二乘法(OLS) 最小二乘法(OLS)的原理是通過求殘差（誤差項的估計值）平方和最小確定回歸參數(shù)估計值。這是求極值問題。用Q表示殘差平方和，求其最小值條件下的回歸參數(shù)的估計值。,得到下列方程組,求參數(shù)估計值的實質(zhì)是求一個k+1元方程組,（2）正規(guī)方程,最小二乘法的矩陣表示,（3）正規(guī)方程的結(jié)構(gòu),被解釋變量觀測值 nx1 解釋變量觀測值（含虛擬變量 nx(k+1) ） 設計矩陣（實對稱(k+1) x (k+1)矩陣 ） 正規(guī)方程右端 (k+1) x 1 回歸系數(shù)矩陣 (k+1) x 1 高斯乘數(shù)矩陣， 設計矩陣的逆

58、 殘差向量（ n x 1 ） 被解釋變量的擬合（預測）向量 n x 1,（4）最小二乘估計量的性質(zhì),線性（估計量都是被解釋變量觀測值的線性組合） 無偏性（估計量的數(shù)學期望=被估計的真值） 有效性（估計量的方差是所有線性無偏估計中最小的）,因為X的元素是非隨機的，(X X)-1X 是一個常數(shù)矩陣，由上式知 是Y的線性組合，為線性估計量，具有線性特性。 2) 無偏特性,1)線性,3) 有效性,具有最小方差特性。,（5）隨機誤差項的方差 的估計量,若 已知，則 定義 則上式寫為 矩陣M有如下性質(zhì)：,存在 為 階的滿秩陣 因此，必須有 ，此為最小樣本容量，滿足基本要求的樣本容量。一般經(jīng)驗認為： n 30或者n 3(k+1)才能滿足模型估計的基本要求。 n 3(k+1)時，t分布才穩(wěn)定，檢驗才較為有效,（6）樣本容量問題,樣本是