(練習)剛體轉動.ppt

1、定軸轉動的動力學問題 剛體定軸轉動的動力學問題，大致有三種類型題。其解題基本步驟歸納為：首先分析各物體所受力和力矩情況，然后根據(jù)已知條件和所求物理量判斷應選用的規(guī)律，最后列方程求解。 第一類：求剛體轉動某瞬間的角加速度，一般應用轉動定律求解。如質點和剛體組成的系統(tǒng)，對質點列牛頓運動方程，對剛體列轉動定律方程，再列角量和線量的關聯(lián)方程，并聯(lián)立求解。,解題指導,第二類：求剛體與質點的碰撞、打擊問題。把它們選作一個系統(tǒng)時，系統(tǒng)所受合外力矩常常等于零，所以系統(tǒng)角動量守恒。列方程時，注意系統(tǒng)始末狀態(tài)的總角動量中各項的正負。對在有心力場作用下繞力心轉動的質點問題，可直接用角動量守恒定。 第三類：在剛體所受

2、的合外力矩不等于零時，比如木桿擺動，受重力矩作用，求最大擺角等一般應用剛體的轉動動能定理求解。對于僅受保守力矩作用的剛體轉動問題，也可用機械能守恒定律求解。,另 外：實際問題中常常有多個復雜過程，要分成幾個階段進行分析，分別列出方程，進行求解。,一質點m，速度為v，如圖所示，A、B、C 分別為三個參考點,此時m 相對三個點的距離分別為d1 、d2 、 d3,例1,求 此時刻質點對三個參考點的動量矩,解,例2 哈雷慧星繞太陽運行時的軌道是一個橢圓，如圖所示，它距離太陽最近的距離是 , 速率 ；它離太陽最遠時的速率 ，這時它離太陽的距離,解 彗星受太陽引力的作用，而引力通過了太陽，所以對太陽的力矩

3、為零，故彗星在運行的過程中角動量守恒. 于是有,代入數(shù)據(jù)可, 得,求 角及著陸滑行時的速度多大？,解,引力場（有心力）,質點的動量矩守恒,系統(tǒng)的機械能守恒,例 3 發(fā)射一宇宙飛船去考察一 質量為 M 、半徑為 R 的行星.當飛船靜止于空間距行星中心 4 R 時，以速度v 0發(fā)射一質量為 m 的儀器。要使該儀器恰好掠過行星表面,例4在高速旋轉的微型電機里，有一圓柱形轉子可繞垂直其橫截面并通過中心的轉軸旋轉開始起動時，角速度為零起動后其轉速隨時間變化關系為： ,式中 求：(1)t=6s 時電動機的轉速(2)起動后，電動機在 t=6s 時間內轉過的圈數(shù)(3)角加速度隨時間變化的規(guī)律,(2) 電動機在

4、6s內轉過的圈數(shù)為,解 (1) 將 t=6s 代入,(3) 電動機轉動的角加速度為,例5在高速旋轉圓柱形轉子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉動開始時，它的角速度 ，經(jīng)300s 后，其轉速達到 18000rmin-1 轉子的角加速度與時間成正比問在這段時間內，轉子轉過多少轉？,解 令 ，即 ，積分,得,當 t=300s 時,由,得,在 300 s 內轉子轉過的轉數(shù),解:設盤厚度為h,以盤軸心為圓心取半徑為r, 寬為dr的微圓環(huán),其質量為,dm=dv,它對桌面的壓力為:,例6 半徑為R,質量為m的均勻圓盤在水平桌面上繞中心軸轉動,盤與桌面間的摩擦系數(shù)為 ,求轉動中的摩擦力矩的大小.,與桌面間的摩擦力

5、為:,該摩擦力的力矩為:,整個圓盤的摩擦力矩為:,6-1. 關于剛體對軸的轉動慣量，下列說法中正確的是: (A) 只取決于剛體的質量，與質量的空間分布和軸的位置無關. (B) 取決于剛體的質量和質量的空間分布，與軸的位置無關. (C) 只取決于轉軸的位置，與剛體的質量和質量的空間分布無關. (D) 取決于剛體的質量，質量的空間分布和軸的位置.,6-2. 有兩個半徑相同,質量相等的細圓環(huán)A和B,A環(huán)的質量分布均勻, B環(huán)的質量分布不均勻,它們對通過環(huán)心并與環(huán)面垂直的軸的轉動慣量分別為JA和JB, 則 (A)JAJB. (B) JAJB. (C) JA=JB. (D) 不能確定JA、JB哪個大.,

6、6-3. 一圓盤饒過盤心且與盤面垂直的軸O以角速度按圖示方向轉動,若如圖所示的情況那樣,將兩個大小相等方向相反但不在同一條直線的力F沿盤面同時作用到圓盤上,則圓盤的角速度 :,必然增大. (B) 必然減少. (C) 不會改變. (D) 如何變化,不能確定.,6-4.剛體角動量守恒的充分而必要的條件是 剛體不受外力矩的作用. 剛體所受合外力矩為零. 剛體所受的合外力和合外力矩均為零. 剛體的轉動慣量和角速度均保持不變.,6-5. 有一半徑為R的水平圓轉臺,可繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉動, 轉動慣量為J, 開始時轉臺以勻角速度 0轉動,此時有一質量為m的人站住轉臺中心,隨后人沿半徑向外跑去,當

7、人到達轉臺邊緣時, 轉臺的角速度為 :,(A) J 0/(J+mR2) . (B) J 0/(J+m)R2. (C) J 0/(mR2) . (D) 0.,6-6 均勻細棒OA可繞通過其一端O而與棒垂直的水平固定光滑軸轉動，如圖所示，今使棒從水平位置由靜止開始自由下落，在棒擺動到豎立位置的過程中,角速度 ，角加速度 .(填“從小到大”，“從大到小” 或“保持不變”),從小到大,從大到小,6-8 一個作定軸轉動的輪子,對軸的轉動慣量J = 2.0kg m2,正以角速度 0勻速轉動,現(xiàn)對輪子加一恒定的力矩M =7.0 m N,經(jīng)過時間t= 8.0s時輪子的角速度 = 0,則 0= .,6-7 如圖

8、所示，一勻質細桿AB,長為l,質量為m. A端掛在一光滑的固定水平軸上, 細桿可以在豎直平面內自由擺動.桿從水平位置由靜止釋放開始下擺,當下擺 時,桿的角速度為 .,6-9 一飛輪以角速度 0繞軸旋轉, 飛輪對軸的轉動慣量為J1;另一靜止飛輪突然被同軸地嚙合到轉動的飛輪上,該飛輪對軸的轉動慣量為前者的二倍,嚙合后整個系統(tǒng)的角速度 = .,6-10 如圖所示， 滑塊A、重物B和滑輪C的質量分別為mA 、mB 和mC， 滑輪的半徑R， 滑輪對軸的轉動慣量為J=mCR 2/2滑塊A與桌面間、 滑輪與軸承之間均無摩擦,繩的質量可不計, 繩與滑輪之間無相對滑動，滑塊A的加速度a= .,例7 質量為 的物

9、體 A 靜止在光滑水平面上，和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為 R、質量為 的圓柱形滑輪 C，并系在另一質量為 的物體 B 上. 滑輪與繩索間沒有滑動， 且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計. 問：（1） 兩物體的線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？,解 （1）隔離物體分別對物體A、B 及滑輪作受力分析，取坐標如圖，運用牛頓第二定律 、轉動定律列方程 .,第三節(jié) 轉動定律,令 ，得,棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O 的力矩。,重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質心所產(chǎn)生的力矩一樣。,解：,例3 一根長為l 質量為m 的均勻細直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以

10、在豎直平面內轉動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺 角時的角加速度和角速度。( ),重力力矩為：,例 一根長為 l ，質量為 m 的均勻細直棒，可繞軸 O 在豎直平 面內轉動，初始時它在水平位置,解,由動能定理,求 它由此下擺 角時的 ,此題也可用機械能守恒定律方便求解,例題2 一根質量為m、長為 l 的均勻細棒OA （如圖），可繞通過其一端的光滑軸O在豎直平面內轉動，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細棒擺到豎直位置時其中點C和端點A的速度。,解 先對細棒OA 所受的力作一分析；重力 作用在棒的中心點C，方向豎直下；軸和棒之間沒 有摩擦力，軸對棒作用的支承力 垂直于棒和 軸 的接觸 面且通過

11、O點，在棒的下擺過程中，此力 的方向和大小是隨時改變的。,在棒的下擺過程中，對轉軸O而言，支撐力N通 過O點，所以支撐力N的力矩等于零，重力G的力矩則 是變力矩，大小等于mg(l /2) cos ，棒轉過一極小的角位移d 時，重力矩所作的元功是,在使棒從水平位置下擺到豎直位置過程中，重力矩所作的功是,由此得,棒在水平位置時角速度0=0, 下擺到豎直位置時角速度=,由轉動動能定理得,所以細棒在豎直位置時，端點A和中心點C的速度分別為,由此得,所以細棒在豎直位置時，端點A和中心點C的速度分別為,例 7： 如圖一質量為M 長為l的勻質細桿，中間和右端各有一質量皆為m的剛性小球，該系統(tǒng)可繞其左端且與桿

12、垂直的水平軸轉動，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，求桿轉到與水平方向成角時,桿的角速度是多少?,1. 研究對象:桿+球+地球=系統(tǒng),重力mg保守內力; 彈力其功為零,2. 分析系統(tǒng)受力及力的功:,3. 取重力勢能零點:水平位置,4. 運動過程中系統(tǒng)滿足機械能守恒的條件:,解:,例8 一長為 l , 質量為 的竿可繞支點O自由轉動 . 一質量為 、速率為 的子彈射入竿內距支點為 處，使竿的偏轉角為30 . 問子彈的初速率為多少 ?,解 把子彈和竿看作一個系統(tǒng) .子彈射入竿的過程系統(tǒng)角動量守恒,射入竿后，以子彈、細桿和 地球為系統(tǒng) ，機械能守恒 .,第四節(jié) 角動量定理 角動量守恒定律,例 9:如

13、圖長為l 的均勻細棒,一端懸于o點,另一端自由下垂,緊靠o 點有一擺線長為l 的單擺,擺球質量為m ,現(xiàn)將單擺拉到水平位置后,由靜止釋放,設擺球在其平衡位置與擺做彈性碰撞后擺 球恰好靜止,試求: 細棒的質量M; 細棒碰撞后擺動的最大角度,(一)單擺下落過程(AB):,1.研究對象:擺 球+地球=系統(tǒng),重力mg保守力力; 繩的張力T其功為零,2.分析系統(tǒng)受力及力的功:,3.取零點勢能:B點,4. AB過程系統(tǒng)滿足機械能守恒條件:,(二)單擺與棒碰撞過程(在B點):,1. 研究對象:擺 球+棒+地球=系統(tǒng),2. 設轉軸正向垂直向里;,3. 因為系統(tǒng)做彈性碰撞,故碰撞過程機械能和角動量皆守恒,設棒碰

14、撞后的瞬時角速度為,例8:如圖長為 l ，質量為 m的均勻直棒靜止在一光滑的水平面上。它的中點有一豎直光滑固定軸，一個質量為m 的小球以水平速度 vo 射垂直于棒沖擊其一端發(fā)生彈性碰撞。求碰撞后球的速度v和棒的角速度。,解:,定轉軸正向指上；,以子彈和桿為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的角動量守恒動能守恒。,8. 如圖所示，一根質量為M 、長為2l 的均勻細棒，可以在豎直平面內繞通過其中心的光滑水平軸轉動，開始時細棒靜止于水平位置. 今有一質量為m 的小球，以速度 垂直向下落到了棒的端點，設小球與棒的碰撞為完全彈性碰撞. 試求碰撞后小球的回跳速度 及棒繞軸轉動的角速度 .,解 分析可知,以棒和小球組成的系統(tǒng)的角

15、動量守恒.,由于碰撞前棒處于靜止狀態(tài)，所以碰撞前系統(tǒng)的角動量就是小球的角動量 ;,由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒獲得的角速度為 ，所以碰撞后系統(tǒng)的角動量為,由角動量守恒定律得,由題意知，碰撞是完全彈性碰撞，所以碰撞前后系統(tǒng)的動能守恒，即,聯(lián)立以上兩式，可得小球的速度為,棒的角速度為,要保證小球回跳 ，則必須保證 .,討論:,例1 質點與質量均勻的細棒相撞(如圖),解：過程1 質點與細棒相碰撞 碰撞過程中系統(tǒng)對o 點 的合力矩為,設，完全非彈性碰撞,求：棒擺的最大角度,所以，系統(tǒng)對o點的角動量守恒。 即，,例3-11. 質量為M、長為2l的均質細棒，在豎直平面內可繞中心軸轉動.開始棒處于水平位

16、置，一質量為m的小球以速度u垂直落到棒的一端上.設碰撞為彈性碰撞，求碰后小球的回跳速度以及棒的角速度.,解：由系統(tǒng)角動量守恒,機械能守恒定律,解得,解法二,取向上為y正方向,設碰撞時間為t,由動量定理：,角動量原理：,消去t,由機械能守恒定律,解得,例11 一質量為M長度為L的均質細桿可繞一水平軸自由轉動。開始時桿子處于鉛垂狀態(tài)?，F(xiàn)有一質量為m的橡皮泥以速度v 和桿子發(fā)生完全非彈性碰撞并且和桿子粘在一起。試求: 1. 碰撞后系統(tǒng)的角速度；2. 碰撞后桿子能上擺的最大角度。,解：碰撞過程角動量守恒,上擺過程機械能守恒，得：,注意：橡皮泥和桿子的零勢點取得不同。,例2 已知：細棒如圖,求：任意位置

17、時，軸給細棒的作用力,解：設任意位置時，細棒角速度為,設軸給細棒的作用力為 Fn Ft,作細棒受力圖,(3),聯(lián)立得解,例10:如圖長為 L 的均勻直棒其質量為M,上端用光滑水平軸吊起而靜止下垂。今有一子彈質量為m ,以水平速度vo 射入桿的懸點下距離為 d 處而不復出。,(1)子彈剛沖入桿中時桿的角速度為多大?,（2）子彈沖入桿的過程中(經(jīng)歷時間為t),桿的上端受軸的水平和豎直分力各多大?,(3)要想使桿不受軸水平力,則子彈應在何處擊中桿?,解:,1. 定轉軸正向指外，建立直角坐標系如圖；,2. 隔離物體分析力；,（1）子彈沖入桿的過程中，以子彈和桿為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的角動量守恒。,設子彈剛沖入桿中，子彈和桿共同的角速度為，則由角動量守恒定律可得,（2）子彈沖入桿的過程中，子彈受桿的阻力,桿受子彈的沖力:,對桿用質心運動定律:,X方向:,桿受軸水平方向的分力:,Y方向:,桿受軸豎直方向的分力:,(3)當桿不受軸水平方向的分力時:,例2 一個飛輪的質量為69kg ，半徑為0.25m,正在以每分1000轉的轉速轉動?，F(xiàn)在要制動飛輪，要求在5.0秒內使它均勻減速而最后停下來。摩擦系數(shù)為0.46。求閘瓦對輪子的壓力N為多大？（J = mR2 ）,解：飛輪制動時有角加速度,外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負值。,例3-7. 一半徑為R、質量為m的均勻