自動控制原理課件4.ppt

1、第的根軌跡分析法,第四章 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法 4.1 根軌跡的基本概念 4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則 4.3 系統(tǒng)根軌跡繪制和開環(huán)零、極點對根軌跡的影響 4.4 參量根軌跡 4.5 系統(tǒng)性能的根軌跡分析,第四章 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,4.1 根軌跡的基本概念 一、問題的提出 在前一章控制系統(tǒng)的時域分析的討論中已經(jīng)知道，只要能求得系統(tǒng)微分方程的特征方程式的根即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能就可以確定。但是在高階系統(tǒng)中，求解特征根的根是一件很困難的事，在實際工作中難以應(yīng)用。 1948年伊文思根據(jù)反饋系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，提出了求解特征方程根的圖解方法根

2、軌跡法。根軌跡法是分析、設(shè)計線性定常系統(tǒng)的一種圖解方法。 二、根軌跡的概念 定義 的某個參數(shù)，由 時，系統(tǒng)的閉環(huán)特征根在S平面上的變 化軌跡。 例 已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，請繪出 時的根軌跡。,解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)特征方程為,有了根軌跡圖，可以立即分析系統(tǒng)的各種性能 （1）穩(wěn)定性 開環(huán)增益K從零變到無窮時，根軌跡不會越過虛軸進(jìn)入右半s平面，因此系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的。 （2）穩(wěn)態(tài)特性 開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點有一個極點，所以屬于一型系統(tǒng)。因此根軌跡中的K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點位置的允許范圍。 （3）動態(tài)特性 由圖中可見，當(dāng)01時，閉

3、環(huán)極點為復(fù)數(shù)極點，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼震蕩過程，且超調(diào)量將會隨K值的增大而加大。 上述分析表明，根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著比較密切的關(guān)系。,一般而言，繪制根軌跡時的可變參量可以是系統(tǒng)的任意參量。但最常用的可變參量是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)Kg（也稱為根軌跡增益）。 Kg常規(guī)根軌跡 Kg以外的參數(shù)參量根軌跡 以上二階系統(tǒng)的根軌跡可以用解析法來求得，但對于高階系統(tǒng)來說，解析法就不適用了，工程上常采用圖解的方法來繪制。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則 本節(jié)重點:掌握根軌跡的繪制方法 本節(jié)難點：根軌跡和虛軸的交點 一、根軌跡的幅值條件和相角條件 一般的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，其特征方

4、程為 其開環(huán)傳遞函數(shù) 由等式兩邊幅角和相角分別相等的條件可得 在S平面上的任一點，凡能滿足以上幅角和相角條件的，就是系統(tǒng)特征方程的根，就必定在根軌跡上。,開環(huán)傳遞函數(shù)通常又可以寫為 其中 開環(huán)傳遞系數(shù) 開環(huán)零點、極點 即 其中 開環(huán)零點到S的矢量角 開環(huán)極點到S的矢量角,在測量相角時，規(guī)定以逆時針方向為正。,二、根軌跡繪制法則 1.連續(xù)性 2.對稱性 對稱性：對稱于實軸，國為特征根為實數(shù)或為共軛復(fù)數(shù)，根軌跡必然對 稱于實軸 3. 起點 （Kg =0）和終點（Kg = ） 當(dāng)Kg =0 閉環(huán)系統(tǒng)特征根即由開環(huán)系統(tǒng)特征方程式?jīng)Q定，即閉環(huán)極點也就是開環(huán)極點，根軌跡從開環(huán)極點出發(fā)。 開環(huán)零點（有限，無

5、限）為根軌跡終點。設(shè)N(s)為m階，有m個有限開環(huán)零點，還有n-m個無限零點。 4 .根軌跡數(shù) 條數(shù)：開環(huán)極點數(shù)n，n條,5.實軸上的根軌跡 在S平面實軸上的線段存在根軌跡的條件是：線段右側(cè)開環(huán)零點（有限零點）和開環(huán)極點數(shù)之和為奇數(shù)。 6.分離點和會合點 分離點：根軌跡相遇后又分開的點。 分離角：離開分離點角度為 會合點：根軌跡相會合的點。 分離角：進(jìn)入分離點的角度為 一般來說，兩個開環(huán)極點之間會有一個分離點，兩個有限開環(huán)零點之間會有一個會合點。 計算分離點和會合點的依據(jù)： 求出的重根要代入原方程，只有當(dāng)Kg為正，才是分離點和會合點。,j,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請求出根軌跡的分離

6、點和會合點。 解：系統(tǒng)有一個開環(huán)零點為-1，有兩個開環(huán)極點分別為-0.1和-0.5。 根據(jù)根軌跡繪制原則可知，根軌跡與實軸相重合的區(qū)間為 -0.5 -0.1,- -1。 求根軌跡的分離點和會合點：,求對應(yīng)分離點、會合點的Kg： 7.漸近線 （1）漸近線條數(shù)： n-m條，根軌跡沿漸近線傾角方向趨向無窮遠(yuǎn) （2）漸近線交點： 與實軸交于一點 坐標(biāo)為（-，j0）,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請求出根軌跡的漸近線。 解：系統(tǒng)沒有開環(huán)零點，有三個開環(huán)極點分別為0，-2和-4。 8.與虛軸的交點 將s=jw代入系統(tǒng)特征方程，求出w的值。,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請求出根軌跡與虛軸的交點

7、。 解：系統(tǒng)的特征方程為: 將 代入特征方程 經(jīng)整理得,9.出射角與入射角 出射角：位于復(fù)平面上的開環(huán)極點，根軌跡離開此極點與正實軸的夾角。 入射角：位于復(fù)平面上的開環(huán)零點，根軌跡進(jìn)入此零點與正實軸的夾角。 例 求以下特征方程的根軌跡。 解：,其等效傳遞函數(shù)為 其漸近線為 其出射角為,j,10.走向 設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 當(dāng) 時 說明在開環(huán)極點確定的情況下，根之和、根之積是一個不變的常數(shù)。所以當(dāng)開環(huán)增益Kg增大時，若閉環(huán)某些根在S平面上向左移動，則另一部分根必向右移動。,例 已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示 試畫出其根軌跡。 解：（1）系統(tǒng)有三個開環(huán)極點（起點）： （2）實軸上有根軌跡的區(qū)間為-1，

8、0，- ，- 4。 （3）根軌跡的分離點可按以下公式計算 解此方程得 因為在-4，-1區(qū)間不可能有根軌跡，所以分離點應(yīng)為 （4）根軌跡的漸近線,4.3 系統(tǒng)根軌跡的繪制和開環(huán)零、極點對根軌跡的影響 一、根軌跡的繪制,（5）根軌跡與虛軸的交點 令 ，得 解之得,二、開環(huán)零點、極點對根軌跡的影響 1.增加開環(huán)零點，使根軌跡往左移。 例 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。,R(s),Y(s),2.增加開環(huán)極點，使根軌跡往右移。 例 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。,R(s),Y(s),R(s),Y(s),j,j,4.4 參量根軌跡 前面幾個小節(jié)中討論的根軌跡都是以開環(huán)增益Kg作為參變量的，這種根軌跡稱為常規(guī)根軌跡

9、。而在控制系統(tǒng)的分析設(shè)計中，有時還要考慮其它參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響，因此還需繪制除Kg以外的其它參數(shù)變化時閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。這種選擇除Kg以外其他參量作為可變參量繪制的根軌跡稱作參量根軌跡。 一般系統(tǒng)參量根軌跡的繪制步驟可歸納如下： （1）求出原系統(tǒng)的特征方程； （2）以特征方程中不含該參量的各項除特征方程，得等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。 （3）根據(jù)上一節(jié)介紹的根軌跡繪制規(guī)則，繪制等效的根軌跡，即得原系統(tǒng)的參量根軌跡。 系統(tǒng)特征方程如下式所示： 以所選可變參量代替Kg的位置 等效開環(huán)傳遞函數(shù)為,例 已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示 試畫出其參量根軌跡。 解：（1）求系統(tǒng)特征方程 （2）兩邊同除以,4.5 系

10、統(tǒng)性能的根軌跡分析 一、根軌跡與系統(tǒng)性能的關(guān)系： （1）穩(wěn)定性：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是閉環(huán)極點必須位于S平面的左半平面，即根軌跡要全部落于左半平面則系統(tǒng)穩(wěn)定。 （2）穩(wěn)態(tài)性能：由開環(huán)傳遞函數(shù)和根軌跡可以分別求出系統(tǒng)型別和開環(huán)增益Kg，由表態(tài)誤差系數(shù)法可以估算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 （3）動態(tài)性能：閉環(huán)極點分布與動態(tài)性能的關(guān)系.,二、條件穩(wěn)定系統(tǒng) 參數(shù)在一定范圍內(nèi)取值才能使系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。對于條件穩(wěn)定系統(tǒng)，可由根軌跡圖確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。 例1 設(shè)某開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 試?yán)L制根軌跡并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K的 取值范圍。 解：利用前面介紹的根軌跡繪制方法可畫出 以下根軌跡：

11、由圖可見，當(dāng)0195時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,三、瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定 閉環(huán)系統(tǒng)極點的張角（又稱阻尼角）與阻尼系數(shù)的關(guān)系為： 因而對于二階系統(tǒng)及具有一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點的高階系統(tǒng)來說，若其主導(dǎo)極點的實部為-b，阻尼角為，且系統(tǒng)其它極點位于下圖所示的區(qū)域內(nèi)，則系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)為：,例2某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖，要求： ）用根軌跡法確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的的取值范圍； ）用根軌跡法確定系統(tǒng)的階躍響應(yīng)不出現(xiàn)超調(diào)量的的最大值。,解：先繪出系統(tǒng)的根軌跡圖如左圖：,其中根軌跡與虛軸的交點分別為0和1.254j,對應(yīng)的開環(huán)增益分別為0.2和0.75,分離點為d=-0.409;,由圖可知，的取值范圍為 0.2K0.75,2)不出現(xiàn)超調(diào)量的最大值出現(xiàn)在分離點處d=-0.409處。將d代入,可求得最大的0.242,例3 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 若要求閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量，試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)g。 解：由已知條件畫出根軌跡圖如下所示： 當(dāng)Kg=20時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對極點位于 虛軸上，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 根據(jù)超調(diào)量 的要求，代入 公式解得=60。在根軌跡上作=60 的徑向直線，并與根軌跡交于A、B兩點， 則A、B為閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點。,由根軌跡圖可測得該對主導(dǎo)極點為： 由根軌跡方程的幅值條件，可求得A、B兩點： 根據(jù)閉環(huán)