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3 收斂定理的證明,本節(jié)來(lái)完成對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理的證明,為此先,證明兩個(gè)預(yù)備定理.,預(yù)備定理1 (貝塞爾(Bessel)不等式) 若函數(shù) f 在,上可積, 則,式.,返回,證 令,考察積分,由于,根據(jù)傅里葉系數(shù)公式(1(10)可得,將(3), (4)代入(2)，可得,因而,所以正項(xiàng)級(jí)數(shù),的部分和數(shù)列有界, 因而它收斂且有不等式(1)成立.,推論1 若 f 為可積函數(shù), 則,這個(gè)推論稱為黎曼勒貝格定理.,推論2 若 f 為可積函數(shù),則,證 由于,所以,其中,左邊的極限為零.,同樣可以證明,顯見(jiàn) 與 和 f 一樣在 上可積.由推論1,(7),當(dāng) t = 0 時(shí), 被積函數(shù)中的不定式由極限,來(lái)確定.,證 在傅里葉級(jí)數(shù)部分和,中, 用傅里葉系數(shù)公式代入, 可得,分, 再由第十二章3 的 (21) 式, 即,由上面這個(gè)積分看到,被積函數(shù)是周期為 的函數(shù),這就得到,(8)式也稱為 f 的傅里葉級(jí)數(shù)部分和的積分表達(dá)式.,現(xiàn)在證明定理15.3(收斂定理).重新敘述如下:,于 f 在點(diǎn) x 的左、右極限的算術(shù)平均值,即,證 只要證明在每一點(diǎn) x 處下述極限成立:,即,或證明同時(shí)有,與,先證明 (10) 式. 對(duì) (9) 式積分后得到,又得到,從而(10)式可改寫為,令,由1, (13) 式得到,所以 在 上可積. 根據(jù)預(yù)備定理1和推論2,這就證得 (12)式成立,

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