第七章 第七節(jié)空間直角坐標系、向量的坐標表示和空間向量基本定理

1、課時提升作業(yè)(四十八)一、選擇題1.點(2,0,3)在空間直角坐標系中的位置是在()(A)y軸上(B)xOy平面上(C)xOz平面上(D)yOz平面上2.已知點B是點A(3,7,-4)在xOz平面上的射影,則|OB|等于()(A)(9,0,16)(B)25(C)5(D)133.以棱長為1的正方體ABCD -A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直線為坐標軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,則正方形AA1B1B的對角線交點的坐標為()(A)(0,12,12)(B)(12,0,12)(C)(12,12,0)(D)(12,12,12)4.點M(x,y,z)在坐標平面xOy內(nèi)的射影為M1,M1在坐

2、標平面yOz內(nèi)的射影為M2,M2在坐標平面xOz內(nèi)的射影為M3,則M3的坐標為()(A)(-x,-y,-z)(B)(x,y,z)(C)(0,0,0)(D)(x+y+z3,x+y+z3,x+y+z3)5.已知向量a=(1,-1,1),b=(-1,2,1),且ka-b與a-3b互相垂直,則k的值是()(A)1(B)15(C)35(D)-2096.已知向量a=(2,-3,5)與向量b=(3,152)平行,則=()(A)23(B)92(C)-92(D)-237.正方體不在同一表面上的兩個頂點為A(-1,2,-1),B(3,-2,3),則正方體的體積為()(A)8(B)27(C)64(D)1288.有以

3、下命題:如果向量a,b與任何向量不能構成空間的一個基底,那么a,b的關系是不共線;O,A,B,C為空間四點,且向量OA,OB,OC不構成空間的一個基底,那么點O,A,B,C一定共面;已知a,b,c是空間的一個基底,則a+b,a-b,c也是空間的一個基底.其中正確的命題是()(A)(B)(C)(D)9.(2013濟寧模擬)設OABC是四面體,G1是ABC的重心,G是OG1上一點,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,則(x,y,z)為()(A)(14,14,14)(B)(34,34,34)(C)(13,13,13)(D)(23,23,23)二、填空題10.(能力挑戰(zhàn)題)正方體ABCD

4、 -ABCD的棱長為2,MN是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦),P為正方體表面上的動點,當弦MN的長度最大時,PMPN的取值范圍是.11.給定空間直角坐標系,在x軸上找一點P,使它與點P0(4,1,2)的距離為30,則該點的坐標為.12.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c三個向量共面,則實數(shù)=.13.已知點A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP=2PB,則|PD|的值是.14.如圖,直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,B1A1C1=90,D為BB1的中點, 則異面直線C

5、1D與A1C的夾角的余弦值為.三、解答題15.如圖所示,在空間直角坐標系中,BC=2,原點O是BC的中點,點A的坐標是(32,12,0),點D在平面yOz上,且BDC=90,DCB=30.(1)求向量OD的坐標.(2)設向量AD和BC的夾角為,求cos的值.答案解析1.【解析】選C.由點的坐標的特征可得該點在xOz平面上.2.【解析】選C.由題意得點B的坐標為(3,0,-4),故|OB|=32+02+(-4)2=5.3.【解析】選B.由題意知所求點即為AB1的中點,由于A(0,0,0),B1(1,0,1),所以AB1的中點坐標為(12,0,12).4.【解析】選C.依題意得,M1的坐標為(x,

6、y,0),M2的坐標為(0,y,0),M3的坐標為(0,0,0).【變式備選】在空間直角坐標系中,點M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影為M,則點M關于原點對稱的點的坐標為()(A)(-2,0,-3)(B)(-3,0,-2)(C)(2,0,3)(D)(-2,0,3)【解析】選C.由題意得,點M的坐標為(-2,0,-3),故點M關于原點對稱的點的坐標為(2,0,3).【方法技巧】空間直角坐標系中求對稱點坐標的技巧(1)關于哪個軸對稱,對應軸上的坐標不變,另兩個坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù).(2)關于坐標平面對稱,另一軸上的坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù),其余不變.(3)關于原點對稱,三個坐標都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)

7、.(4)空間求對稱點的坐標的方法,可類比平面直角坐標系中對應的問題進行記憶.5.【解析】選D.ka-b=(k+1,-k-2,k-1),a-3b=(4,-7,-2),(ka-b)(a-3b),4(k+1)-7(-k-2)-2(k-1)=0,k=-209.6.【解析】選C.由ab得,23=-3=5152,解得=-92.7.【解析】選C.設正方體的棱長為a,根據(jù)條件則有3a=42+(-4)2+42,解得a=4,所以體積為43=64.8.【解析】選C.對于,“如果向量a,b與任何向量不能構成空間向量的一個基底,那么a,b的關系一定是共線”,所以錯誤.正確.9.【解析】選A.OG1=OA+AG1=OA+

8、2312(AB+AC)=OA+13(OB-OA)+(OC-OA)=13(OA+OB+OC),由OG=3GG1知,OG=34OG1=14(OA+OB+OC),(x,y,z)=(14,14,14).10.【解析】因為MN是它的內(nèi)切球的一條弦,所以當弦MN經(jīng)過球心時,弦MN的長度最大,此時MN=2,以A為原點建立空間直角坐標系如圖.根據(jù)直徑的任意性,不妨設M,N分別是上下底面的中心,則兩點的空間坐標為M(1,1,2),N(1,1,0),設P點坐標為P(x,y,z),則PM=(1-x,1-y,2-z),PN=(1-x,1-y,-z),所以PMPN=(1-x)2+(1-y)2-z(2-z),即PMPN=

9、(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2-1.因為點P為正方體表面上的動點,所以根據(jù)x,y,z的對稱性可知,PMPN的取值范圍與點P在哪個面上無關,不妨設點P在底面ABCD內(nèi),此時有0x2,0y2,z=0,所以此時PMPN=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2-1=(x-1)2+(y-1)2,所以當x=y=1時,PMPN=0,此時PMPN最小,但當P位于正方形的四個頂點時,PMPN最大,此時有PMPN=(x-1)2+(y-1)2=2,所以PMPN的最大值為2,所以0PMPN2,即PMPN的取值范圍是0,2.答案:0,211.【解析】設點P的坐標是(x,0,0),由題意得,|P0P|=30,

10、即(x-4)2+(0-1)2+(0-2)2=30,(x-4)2=25.解得x=9或x=-1.點P坐標為(9,0,0)或(-1,0,0).答案:(9,0,0)或(-1,0,0)【變式備選】在z軸上與點A(-4,1,7)和點B(3,5,-2)等距離的點C的坐標為.【解析】設點C的坐標為(0,0,z),由條件得|AC|=|BC|,即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2,解得z=149.答案:(0,0,149)12.【解析】由題意設c=ta+b=(2t-,-t+4,3t-2),2t-=7,-t+4=5,3t-2=,t=337,=177,=657.答案:

11、65713.【解析】設P(x,y,z),則AP=(x-1,y-2,z-1),PB=(-1-x,3-y,4-z),由AP=2PB知x=-13,y=83,z=3,故P(-13,83,3).由兩點間距離公式可得|PD|=773.答案:77314.【解析】以A為原點建立空間直角坐標系,如圖,A1(0,0,2),C(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,1,2).則C1D=(1,-1,-1),A1C=(0,1,-2),|C1D|=3,|A1C|=5,C1DA1C=1,cos=C1DA1C|C1D|A1C|=1515,故異面直線C1D與A1C的夾角的余弦值為1515.答案:151515.【解析】(1)如圖所示,過D作DEBC,垂足為E,在RtBDC中,由BDC=90,DCB=30,BC=2,得BD=1,CD=3.DE=CDsin30=32,OE=OB-BDcos60=1-12=12.D點坐標為(0,-12