第11講二次函數(shù)

1、第11講二次函數(shù)考綱要求備考指津1.理解二次函數(shù)的有關(guān)概念2會用描點法畫二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)3會根據(jù)公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸(公式不要求記憶和推導(dǎo))，并能掌握二次函數(shù)圖象的平移4熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法，并能用它解決有關(guān)的實際問題5會用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.二次函數(shù)是中考的重點內(nèi)容，題型主要有選擇題、填空題及解答題，而且常與方程、不等式、幾何知識等結(jié)合在一起綜合考查，且一般為壓軸題中考命題不僅考查二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，而且注重多個知識點的綜合考查以及對學(xué)生應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題能力的考查考點一二次函數(shù)的概念一般地，如果y

2、ax2bxc(a，b，c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù)注意：(1)二次項系數(shù)a0；(2)ax2bxc必須是整式；(3)一次項可以為零，常數(shù)項也可以為零，一次項和常數(shù)項可以同時為零；(4)自變量x的取值范圍是全體實數(shù)考點二二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)二次函數(shù)yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)圖象(a0)(a0)開口方向開口向上開口向下對稱軸直線x直線x頂點坐標(biāo)增減性當(dāng)x時，y隨x的增大而減?。划?dāng)x時，y隨x的增大而增大當(dāng)x時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x時，y隨x的增大而減小最值當(dāng)x時，y有最小值當(dāng)x時，y有最大值考點三二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c及b24ac的符號之間的關(guān)系考點四二次函數(shù)圖

3、象的平移拋物線yax2與ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k中|a|相同，則圖象的形狀和大小都相同，只是位置的不同它們之間的平移關(guān)系如下表：考點五二次函數(shù)關(guān)系式的確定設(shè)一般式：yax2bxc(a0)若已知條件是圖象上三個點的坐標(biāo)，則設(shè)一般式y(tǒng)ax2bxc(a0)，將已知條件代入，求出a，b，c的值考點六二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1二次函數(shù)yax2bxc(a0)，當(dāng)y0時，就變成了ax2bxc0(a0)2ax2bxc0(a0)的解是拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)3當(dāng)b24ac0時，拋物線與x軸有兩個不同的交點；當(dāng)b24ac0時，拋物線與x軸有一個交點；當(dāng)b24ac0時，拋物線與x軸沒有交點1

4、當(dāng)m_時，函數(shù)y(m3)xm274是二次函數(shù)2二次函數(shù)y(x4)25的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)分別是()A向上，直線x4，(4,5)B向上，直線x4，(4,5)C向上，直線x4，(4，5)D向下，直線x4，(4,5)3已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()Aa0Bc0Cb24ac0 Dabc04二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，那么abc，b24ac,2ab,4a2bc這四個代數(shù)式中，值為正的有()A4個 B3個C2個 D1個5把拋物線y2x2向上平移5個單位，所得拋物線的解析式為()Ay2x25By2x25Cy2(x5)2Dy2(x5)26已知二次函數(shù)y

5、x22xm的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程x22xm0的解為_7如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米現(xiàn)以O(shè)點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(1)直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標(biāo)；(2)求這條拋物線的解析式；(3)若要搭建一個矩形“支撐架”ADDCCB，使C，D點在拋物線上，A，B點在地面OM上，則這個“支撐架”總長的最大值是多少？一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)【例1】 (1)二次函數(shù)y3x26x5的圖象的頂點坐標(biāo)是()A(1,8) B(1,8)C(1,2) D(1，4)(2)已知拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸為直線x1，且經(jīng)過點(1，y1)

6、，(2，y2)，試比較y1和y2的大?。簓1_y2.(填“”“”或“”)解析：(1)拋物線的頂點坐標(biāo)可以利用頂點坐標(biāo)公式或配方法來求1，8.二次函數(shù)y3x26x5的圖象的頂點坐標(biāo)是(1,8)(2)點(1，y1)，(2，y2)不在對稱軸的同一側(cè)，不能直接利用二次函數(shù)的增減性來判斷y1，y2的大小，可先根據(jù)拋物線關(guān)于對稱軸的對稱性，然后再用二次函數(shù)的增減性即可設(shè)拋物線經(jīng)過點(0，y3)，拋物線對稱軸為直線x1，點(0，y3)與點(2，y2)關(guān)于直線x1對稱y3y2.a0，當(dāng)x1時，y隨x的增大而減小y1y3.y1y2.答案：(1)A(2)1將拋物線解析式寫成ya(xh)2k的形式，則頂點坐標(biāo)為(h

7、，k)，對稱軸為直線xh，也可應(yīng)用對稱軸公式x，頂點坐標(biāo)來求頂點坐標(biāo)及對稱軸2比較兩個二次函數(shù)值大小的方法：(1)直接代入自變量求值法；(2)當(dāng)自變量在對稱軸兩側(cè)時，看兩個數(shù)到對稱軸的距離及函數(shù)值的增減性判斷；(3)當(dāng)自變量在對稱軸同側(cè)時，根據(jù)函數(shù)值的增減性判斷二、利用二次函數(shù)圖象判斷a，b，c的符號【例2】 如圖所示，二次函數(shù)yax2bxc的圖象開口向上，圖象經(jīng)過點(1,2)和(1,0)，且與y軸交于負(fù)半軸(1)給出四個結(jié)論：a0；b0；c0；abc0，其中正確結(jié)論的序號是_；(2)給出四個結(jié)論：abc0；2ab0；ac1；a1.其中正確結(jié)論的序號是_解析：(1)拋物線開口向上，a0；對稱軸

8、在y軸右側(cè)，0，b0；與y軸的交點在x軸下方，c0；當(dāng)x1時，y0，abc0，故填.(2)由(1)問知a0，b0，c0，abc0；又知1，2ab0；又知x1時，y0；x1時，y2，ac1；又知c0，a1c1，故填答案：(1)(2)根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定有關(guān)代數(shù)式的符號，是二次函數(shù)中的一類典型的數(shù)形結(jié)合問題，具有較強(qiáng)的推理性解題時應(yīng)注意開口方向與a的關(guān)系，拋物線與y軸的交點與c的關(guān)系，對稱軸與a，b的關(guān)系，拋物線與x軸交點數(shù)目與b2-4ac的符號的關(guān)系；當(dāng)x=1時，決定a+b+c的符號，當(dāng)x=-1時，決定a-b+c的符號在此基礎(chǔ)上，還可推出其他代數(shù)式的符號運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想更直觀、更簡捷已知二次

9、函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：b24ac0；abc0；8ac0；9a3bc0.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4三、二次函數(shù)圖象的平移【例3】 二次函數(shù)y2x24x1的圖象怎樣平移得到y(tǒng)2x2的圖象()A向左平移1個單位，再向上平移3個單位B向右平移1個單位，再向上平移3個單位C向左平移1個單位，再向下平移3個單位D向右平移1個單位，再向下平移3個單位解析：首先將二次函數(shù)的解析式配方化為頂點式，然后確定如何平移，即y2x24x12(x1)23，將該函數(shù)圖象向左平移1個單位，再向下平移3個單位就得到y(tǒng)2x2的圖象答案：C二次函數(shù)圖象的平移實際上就是頂點位置的

10、變換，因此先將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式確定其頂點坐標(biāo)，然后按照“左加右減、上加下減”的規(guī)律進(jìn)行操作四、確定二次函數(shù)的解析式【例4】 已知一拋物線與x軸的交點是A(2,0)，B(1,0)，且經(jīng)過點C(2,8)(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)求該拋物線的頂點坐標(biāo)解：(1)設(shè)這個拋物線的表達(dá)式為yax2bxC由已知拋物線經(jīng)過A(2,0)，B(1,0)，C(2,8)三點，得解這個方程組，得所以所求拋物線的表達(dá)式為y2x22x4.(2)y2x22x422，所以該拋物線的頂點坐標(biāo)是.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件，用圖象上三個點的坐標(biāo)，設(shè)一般式求解五、二次函數(shù)的實際應(yīng)用【例5】 某商品的進(jìn)價

11、為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件(每件售價不能高于65元)設(shè)每件商品的售價上漲x元(x為正整數(shù))，每個月的銷售利潤為y元(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？(3)每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2 200元？根據(jù)以上結(jié)論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2 200元？解：(1)y(21010x)(50x40)10x2110x2 100(0x15且x為整數(shù))；(2)y10(x5.5)22 402.5.a

12、100，當(dāng)x5.5時，y有最大值2 402.5.0x15，且x為整數(shù)，當(dāng)x5時，50x55，y2 400(元)，當(dāng)x6時，50x56，y2 400(元)，當(dāng)售價定為每件55或56元時，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2 400元(3)當(dāng)y2 200時，10x2110x2 1002 200，解得x11，x210.當(dāng)x1時，50x51，當(dāng)x10時，50x60.當(dāng)售價定為每件51或60元時，每個月的利潤為2 200元當(dāng)售價不低于51元且不高于60元且為整數(shù)時，每個月的利潤不低于2 200元(或當(dāng)售價分別為51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元時，每個月的利潤不低于2 200元)

13、運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決生活和實際生產(chǎn)中的最大值和最小值問題是最常見的題目類型，解決這類問題的方法是：1列出二次函數(shù)的關(guān)系式，列關(guān)系式時，要根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍2在自變量取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值和最小值1(2012四川樂山)二次函數(shù)yax2bx1(a0)的圖象的頂點在第一象限，且過點(1,0)設(shè)tab1，則t值的變化范圍是()A0t1 B0t2C1t2 D1t12(2011湖南株洲)某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線yx24x(單位：米)的一部分，則水噴出的最大高度是

14、()A4米 B3米 C2米 D1米3(2011四川雅安)已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖，其對稱軸x1，給出下列結(jié)果b24ac，abc0，2ab0，abc0，abc0，則正確的結(jié)論是()A BC D4(2012浙江寧波)把二次函數(shù)y(x1)22的圖象繞原點旋轉(zhuǎn)180后得到的圖象的解析式為_5(2011山東棗莊)拋物線yax2bxc上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x21012y04664從上表可知，下列說法中正確的是_(填寫序號)拋物線與x軸的一個交點為(3,0)；函數(shù)yax2bxc的最大值為6；拋物線的對稱軸是x；在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大6(2012湖南益陽)已知，如圖，

15、拋物線ya(x1)2c與x軸交于點A(1，0)和點B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點P落在點P(1,3)處(1)求原拋物線的解析式；(2)學(xué)校舉行班徽設(shè)計比賽，九年級5班的小明在解答此題時頓生靈感：過點P作x軸的平行線交拋物線于C，D兩點，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設(shè)計成一個“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且小明通過計算驚奇地發(fā)現(xiàn)這個“W”圖案的高與寬(CD)的比非常接近黃金分割比(約等于0.618)請你計算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少？(參考數(shù)據(jù)：2.236，2.449，結(jié)果可保留根號)1二次函數(shù)y4x2mx5，當(dāng)x2時，

16、y隨x的增大而減??；當(dāng)x2時，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x1時，y的值為()A7 B1 C17 D252將二次函數(shù)yx22x3化為y(xh)2k的形式，結(jié)果為()Ay(x1)24 By(x1)24Cy(x1)22 Dy(x1)223函數(shù)yx22x2的圖象如圖所示，根據(jù)其中提供的信息，可求得使y1成立的x的取值范圍是()A1x3 B1x3Cx1或x3 Dx1或x34已知一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩個實數(shù)根x1，x2滿足x1x24和x1x23，那么二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象有可能是()5已知函數(shù)yax2bxc(a0)，當(dāng)x3時，函數(shù)取得最大值，且最大值為4，當(dāng)x0時，y14，則函

17、數(shù)表達(dá)式為_6二次函數(shù)y2x22kx3的頂點在x軸上，則k_.7拋物線yx2bxc的圖象如圖所示，若將其向左平移2個單位，再向下平移3個單位，則平移后的解析式為_8某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)李明在政府的扶持下投資銷售一種進(jìn)價為每件20元的護(hù)眼臺燈銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系可近似的看做一次函數(shù)：y10x500.(1)設(shè)李明每月獲得利潤為w(元)，當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？(2)如果李明想要每月獲得2 000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？(3)根據(jù)物價部門規(guī)定，這種護(hù)眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2 00

18、0元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本進(jìn)價銷售量)參考答案基礎(chǔ)自主導(dǎo)學(xué)自主測試132.A3.D4.A5.A6.x11，x237解：(1)M(12,0)，P(6,6)(2)設(shè)拋物線解析式為ya(x6)26.拋物線ya(x6)26經(jīng)過點(0,0)，0a(06)26，即a.拋物線解析式為y(x6)26，即yx22x(3)設(shè)A(m,0)，則B(12m,0)，C(12m，m22m)，D(m，m22m)“支撐架”總長ADDCCB(122m)m22m12(m3)215.此二次函數(shù)的圖象開口向下，當(dāng)m3時，ADDCCB有最大值為15米規(guī)律方法探究變式訓(xùn)練D知能優(yōu)化訓(xùn)練中考回顧1B2.A3.D4.y(x1)22 56解：(1)P與P(1,3)關(guān)于x軸對稱，P點坐標(biāo)為(1，3)拋物線ya(x1)2c過點A(1，0)，頂點是P(1，3)，解得則拋物線的解析式為y(x1)23，即yx22x2.(2)CD平行x軸，P(1,3)在CD上，C，D兩點縱坐標(biāo)為3.由(x1)233得x11，x21，C，D兩點的坐標(biāo)分別為(1，3)，(1，3)CD2.“W”圖案的高與寬(CD)的比(或約等于0.612 4)模擬預(yù)測1D2.D3.D4.C5y2x212x146.7yx22x8解：(1)由題意，得(x20)y(x20)(10x500)10x2