第2節(jié) 直接證明與間接證明

1、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù)第2節(jié)直接證明與間接證明2021新亮劍高考總復(fù)習(xí)第十一章1磨劍課前自學(xué)目錄CONTENTS2悟劍課堂精講悟劍課堂精講磨劍課前自學(xué)目 錄 磨劍課前自學(xué)3高考動態(tài)知識查缺補漏目 錄知識查缺補漏高考動態(tài)最新考綱考向分析1. 了解直接證明的兩種基本方法:綜合法和分析法.2. 了解綜合法和分析法的思考過程和特點.3. 了解反證法的思考過程和特點高考對本單元的考查,常與函數(shù)導(dǎo)數(shù)、立體幾何、數(shù)列等結(jié)合考查,一般不單獨考查10一、直接證明內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的 推理論,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論 成立.從要 證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使

2、它成立的 充分條件 ,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件思維過程由因?qū)Ч麍?zhí)果索因框圖表示PQ1Q1Q2QnQQP1P1P2得到一個明顯成立的條件書寫格式因為,所以要證,只需證,即證二、間接證明反證法:一般地,假設(shè)原命題 不成立設(shè)錯誤,從而證明了,經(jīng)過正矛盾【概念辨析】判斷下列結(jié)論的正誤.(對的打“”,錯的打“”)(1) 綜合法的思維過程是由因?qū)Ч?逐步尋找已知條件的必要(2) 分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使(3) 用反證法證明時,推出的矛盾不(4) 在解決問題時,常答案解析解析(1)正確.集合法是從已知條件出發(fā),逐步尋找已知條件的必要條件. (2)錯誤.分析法是從要證

3、明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件. (3)錯誤.用反證法證明時,最后得出的矛盾要與假設(shè)矛盾.(4)正確.尋找解題思路時常用分析法,書寫解題過程時常用綜合法.【基礎(chǔ)自測】1.要證明 3+ 72 5,可選擇的方法有以下幾種,其中最合理的是(B ).A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法解析要證明 3+ 710解析+ - = (-) 0,+ .+答案解析+(+)+目 錄知識查缺補漏高考動態(tài)x-1 且 x1解析“x=-1 或 x=1”的 -1 且 x1”答案解析12答案解析C13悟劍課堂精講磨劍課前自學(xué)目 錄悟劍課堂精講考點探究素養(yǎng)達成素養(yǎng)達成考點探究目 錄考點 1綜合法例 1 如圖,已知在

4、斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,D 為 BC 的中點.(1) 若平面 ABC平面 BCC1B1,求證:ADDC1.(2) 求證:A1B平面 ADC1.分析結(jié)合空間平行與垂直的判定與性解析解析(1)因為 AB=AC,D 為 BC 的中點,所以 ADBC.又因為平面 ABC平面 BCC1B1,平面 ABC平面 BCC1B1=BC,AD平面 ABC,所以 AD平面 BCC1B1.因為 DC1平面 BCC1B1,所以 ADDC1.(2)連接 A1C,交 AC1 于點 O,連接 OD,則 O 為 A1C 的中點. 又因為 D 為 BC 的中點,所以 ODA1B.因為 OD平面 ADC1,

5、A1B平面 ADC1,所以 A1B平面 ADC1.14素養(yǎng)達成考點探究目 錄【針對訓(xùn)練 1】如圖,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分別為 BC,AC 的中點,AB=BC.求證:(1)A1B1平面 DEC1;(2)BEC1E.解析(1)因為 D,E 分別為 BC,AC 的中點,所以 EDAB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,ABA1B1,所以 A1B1ED. 又因為 ED平面 DEC1,A1B1平面 DEC1,所以 A1B1平面 DEC1. (2)因為 AB=BC,E 為 AC 的中點,所以 BEAC.因為三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱,所以 CC1平面 ABC.又因

6、為 BE平面 ABC,所以 CC1BE.解析因為 C1C平面 A1ACC1,AC平面 A1ACC1,C1CAC=C,所以 BE平面 A1ACC1.因為 C1E平面 A1ACC1,所以 BEC1E.15目 錄素養(yǎng)達成考點探究考點 2分析法已知函數(shù) f(x)=tanx,x 0, , 若 x1,x2 0, ,且 x1x2,求證:1f(x1)+f(x2)f1 +2 .2222解析要證1f(x1)+f(x2)f 1 +2 ,即證1(tan x1+tan x2)tan 1 +2,2222只需證1 sin 1+ sin 2 tan 1 +2,只需證sin (1 +2 )sin (1 +2 ).2cos 1c

7、os 222cos 1 cos 21+cos (1 +2 )因為 x1,x2 0, ,所以 x1+x2(0,).所以 cos x1cos x20,sin(x1+x2)0,1+cos(x1+x2)0,2故只需證 1+cos(x1+x2)2cos x1cos x2,16解析即證 1+cos x1cos x2-sin x1sin x22cos x1cos x2,即證 cos(x1-x2)f1 +2 .222目 錄素養(yǎng)達成考點探究方法總結(jié)：分析法的證題思路:先從結(jié)論入手,由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件,直至題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證明時,要注意書寫格式的等,逐步分17目 錄素養(yǎng)達

8、成考點探究【針對訓(xùn)練 2】用分析法證明: - -1 -2- -3(a3).解析要 證 - -1 -2- -3, 只 需 證 + -3 -2+ -1,只 需 證 ( + -3)2( -2+ -1)2,只 需 證 2a-3+2 2-3a2a-3+2 2-3 + 2,只 需 證 2-3a 2-3a + 2,只需證 02,而 02 顯然成立, - -1或 + -,由于 , 為銳角,若 +,則2解析21即 cos 2-,則+2,這與已知矛盾.cos sin,sin sin 同理,若 +2,這也與已知矛盾,故 +=.2sin sin 22. 直線 l 過拋物線 y2=2px(p0)的焦點,且與拋物線相交于

9、 A,B 兩點,求證:對于拋物線任意給定的一條弦 CD,直線 l 不可能是 CD 的垂直平分線.解析設(shè) C(x1,y1),D(x2,y2),則 y1y2,且2=2px1,2=2px2.解析231 假設(shè)直線 l 是 CD 的垂直平分線,則由焦點 F22,0 l,得|F即 - 2+2= - 2+2,(x +x-p)(x21212212目 錄素養(yǎng)達成考點探究又2-2=2p(x2-x1)0,x1+212+2=2p(x21故目 錄素養(yǎng)達成考點探究邏輯推理綜合法與分析法的默契合作試證:如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊,并且方向相同,那么這兩個角相等.例如圖,在BAC 與BAC中,ABAB且 ACA

10、C,且兩角的方向相同.求證:BAC=BAC.解析25解析(法一)先構(gòu)造兩個全等的三角形,再設(shè)法證明兩三角形全等.為此,分別在 AC,AC,AB,AB上截取AE=AE,AD=AD,連接 DE,DE,DD,EE,得到ADE,ADE.欲證兩三角形全等,只需證 DE=DE,只需證四邊形 DEED是平行四邊形,即證 DD EE,只需證 DD AA且 EE AA,即證四邊形 ADDA與 AEEA均為平行四邊形,顯然這是一個成立的結(jié)論.所以ADEADE,所以BAC=BAC.(法二)同法一得到ADE,ADE.由四邊形 ADDA是平行四邊形,得 DD AA.同理,得 EE AA.所以 DD EE,所以四邊形 DEED是平行四邊形,所以 DE=DE.在ADE 與ADE中,由于 AE=AE,AD=AD且 DE=DE,因此,ADEADE,從而BAC=BAC.方法總結(jié)：綜合法與分析法是兩種不同的邏輯方法,但它們又是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化 的.一方面,人們認識事物總是先把事物分解為各個組成部分或因素,通過分別認識它們各自的屬性和在整體中的地位,再把各個部分的屬性聯(lián)結(jié)起來,從而認識事物的整體性質(zhì)與規(guī)律.因此,人們認識事物的過程就是分析與綜合相互結(jié)合的過程.另一方面, 分析