保角變換法求解定解問(wèn)題.ppt

1、第十六章 保角變換法求解定解問(wèn)題,在許多物理問(wèn)題中（如電學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、流體力學(xué)和彈性力學(xué)等）經(jīng)常會(huì)遇到解平面場(chǎng)的拉普拉斯方程或泊松方程的問(wèn)題盡管可用前幾章的理論方法如：分離變量法或格林函數(shù)法等來(lái)解決，但當(dāng)邊值問(wèn)題中的邊界形狀變得十分復(fù)雜時(shí)，分離變量法和格林函數(shù)法卻顯得十分困難，甚至不能解決對(duì)于復(fù)雜的邊界形狀，拉普拉斯方程定解問(wèn)題常采用保角變換法求解,保角變換法解定解問(wèn)題的基本思想是：通過(guò)解析函數(shù)的變換（或映射，這部分知識(shí)在復(fù)變函數(shù)論中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)）將,平面上具有復(fù)雜邊界形狀的邊值問(wèn)題變換為,平面上具有簡(jiǎn)單形狀（通常是圓、上半平面或帶形域）的 邊值問(wèn)題，而后一問(wèn)題的解易于求得于是再通過(guò)逆變換 就

2、求得了原始定解問(wèn)題的解,這就是本章將要介紹的一種解決數(shù)學(xué)物理方程定解 問(wèn)題中的解析法保角變換法，它是解決這類(lèi)復(fù)雜邊 界的最有效方法它特別適合于分析平面場(chǎng)的問(wèn)題， 例如靜電場(chǎng)的問(wèn)題，由于這種求解復(fù)雜邊界的定解問(wèn) 題具有較大的實(shí)用價(jià)值，所以有必要單獨(dú)以一章的內(nèi) 容進(jìn)行介紹復(fù)變函數(shù)論中已經(jīng)系統(tǒng)介紹了保角變換 理論，本章主要介紹利用保角變換法求解定解問(wèn) 題。,16.1 保角變換與拉普拉斯方程邊值問(wèn)題的關(guān)系,在復(fù)變函數(shù)論中我們已經(jīng)知道，由解析函數(shù),實(shí)現(xiàn)的從z平面到,平面的變換在,的點(diǎn)具有保,角性質(zhì)，因此這種變換稱(chēng)為保角變換下面我們主要討論一一 對(duì)應(yīng)的保角變換，即假定,和它的反函數(shù)都是單值,函數(shù)；或者如果

3、它們之中有多值函數(shù)就規(guī)定取它的黎曼面的一 葉,定律16.1.1 如果將由,到,的保角變換看成為二元（實(shí)變）函數(shù),的變換由,到,的變量代換，則,平面上的邊界變成了,平面上的邊界我們能證明，如果,程，則經(jīng)過(guò)保角變換后得到的,滿(mǎn)足拉普拉斯方,也滿(mǎn)足拉普拉斯方程,【證明】 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有,(16.1.1),同理,(16.1.2),兩式相加得到,（16.1.3）,利用解析函數(shù),的C-R條件,(16.1.4),以及解析函數(shù)的實(shí)部和虛部分別滿(mǎn)足拉普拉斯方程的性質(zhì),(16.1.5),將式（16.1.4）和式（16.1.5）代入到式（16.1.3）化簡(jiǎn)后得到,注意到上式已經(jīng)使用了：,對(duì)于保角變換,因而只

4、要,滿(mǎn)足拉普拉斯方程，則,）也滿(mǎn)足拉,普拉斯方程，即為,（16.1.6）,這樣我們就有結(jié)論：如果在,平面上給定了,的拉普拉斯方程邊值問(wèn)題，,則利用保角變換,，可以將它轉(zhuǎn)化為,平面上,的拉普拉斯方程邊值問(wèn)題,同理可以證明，在單葉解析函數(shù),變換下，泊松方程,(16.1.7a),仍然變?yōu)椴此煞匠?（16.1.7b）,由上式可知，在保角變換下，泊松方程中的電荷密度 發(fā)生了變化,同理可以證明，亥姆霍茲方程,(16.1.8a),經(jīng)變換后仍然變?yōu)楹ツ坊羝澐匠?(16.1.8b),容易注意到方程要比原先復(fù)雜，且,前的系數(shù)可,能不是常系數(shù),下面將舉例說(shuō)明如何通過(guò)保角變換法來(lái)求解拉普拉斯方程,保角變換法的優(yōu)點(diǎn)不僅

5、在于拉普拉斯方程、泊松方程 等方程的類(lèi)型在保角變換下保持不變，更重要的是，能將 復(fù)雜邊界問(wèn)題變?yōu)楹?jiǎn)單邊界問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決,16.2保角變換法求解定解問(wèn)題典型實(shí)例,例16.2.1 設(shè)有半無(wú)限平板,，在邊界,=0上，,處保持溫度,處保持溫度,= 0求平板上的穩(wěn)定溫度分布,【解】根據(jù)題意可得出定解問(wèn)題,（16.2.1）,作如下的保角變換 （1）作分式線(xiàn)性變換,(16.2.2),可以驗(yàn)證，考慮實(shí)軸,的對(duì)應(yīng)關(guān)系：,圖16.1,(i)若,，則,，故,，即有,(ii)若,則,或,（a）首先討論,的情況,考慮到題給條件,則,故,（b）再考慮,的情況, 則,故,如圖16.1所示，,根據(jù)(16.2.1)式

6、中的邊界條件，對(duì)應(yīng)于,處溫度為,，故,平面的負(fù)實(shí)軸（即,）,溫度保持為,；而在,處有,，故,平面的正實(shí)軸溫度保持為零,（2）作變換,(16.2.3),把,平面的上半平面變成,平面上平行于實(shí)軸，寬為,的一個(gè)帶形區(qū)域，,平面的正實(shí)軸變換為,平面的實(shí)軸（正實(shí)軸輻角為零，故對(duì)應(yīng)于,），,平面的負(fù)實(shí)軸變換為,平面的平行于實(shí)軸的直線(xiàn),故對(duì)應(yīng)于,）,（負(fù)實(shí)軸輻角為,于是，在變換,(16.2.4),之下，定解問(wèn)題變換為,(16.2.5),在這種情況下，等溫線(xiàn)是與實(shí)軸,平行的直線(xiàn),=常數(shù)，熱流線(xiàn)則是與虛軸平行的直線(xiàn),=常數(shù)在(,)坐標(biāo)系中，由對(duì)稱(chēng)性知拉普拉斯方程的解與,無(wú)關(guān)，因此，定解問(wèn)題又簡(jiǎn)化為,（16.2.

7、6）,方程的解是,考慮邊界條件即得到,（16.2.7）,回到,平面，則,例16.2.2 試求平面靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布,，其中,（16.2.8）,(16.2.9),【解】,變換,使上半,平面變成,平面上的帶形域（圖16.2）,然的，類(lèi)似于上面定解問(wèn)題(16.2.6)的結(jié)果(16.2.7),則本 定解問(wèn)題可歸結(jié)為,而在帶形域上的解是顯,(16.2.10),圖,而,所以,于是，作反變換便可求得所求問(wèn)題的解為,進(jìn)一步討論： （1）同理可證,是下列定解問(wèn)題的解,（說(shuō)明：這里的,和下面的,不代表求導(dǎo)，是指彼此,不同的值）,(2) 同理可證,是下列定解問(wèn)題的解,(3)可證,是下列定解問(wèn)題的解：,其中,又可改寫(xiě)成,（4）進(jìn)一步推廣,是下列定解問(wèn)題的解,例 16.2.3 若把柱面充電到,試用保角變換法求解一半徑為,的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱殼,內(nèi)的電場(chǎng)分布情況,【解】即求解定解問(wèn)題,作如下的保角變換 (1) 作變換,把原圖象縮小為,倍即將任意的圓周變換為單位圓,(2)再作變換,把,變換為,，其邊界的變換是將下,半圓周對(duì)應(yīng)于負(fù)半實(shí)軸，上半圓周對(duì)應(yīng)于正半實(shí)軸,圖,（3）再作變換,把,平面的上半平面變成,平面上平行于實(shí)軸，寬為,的一個(gè)帶形區(qū)域，其邊界的,變換是將,平面的正半實(shí)軸變換為,平面的實(shí)軸，,平面的負(fù)半實(shí)軸變換為,平面的平行于實(shí)軸的直線(xiàn),，如圖16.3,所以，在變換,之下，定解問(wèn)題變