化簡(jiǎn)化歸創(chuàng)新

1、化簡(jiǎn) 化歸 創(chuàng)新-想法在做法中得到升華 陜西省西安市第一中學(xué) 張寒星 郵編710082 信箱077【摘要】：本文通過(guò)兩道習(xí)題來(lái)闡述解題的根本要求是“化簡(jiǎn)，化歸和創(chuàng)新”。進(jìn)一步明確了學(xué)生做題的方法和方向?！娟P(guān)鍵詞】：解題規(guī)律 數(shù)學(xué)知識(shí) 基本技能 學(xué)習(xí)效果 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。正解數(shù)學(xué)題,是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)有機(jī)組成部分,它既是鞏固加深所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的必要方法,又是檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果的一種手段,它也是學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性地研究解決實(shí)際問(wèn)題的前奏。讀了數(shù)學(xué)書(shū)籍而不演算其習(xí)題,正如華羅庚教授所說(shuō),是“入寶山而后空返”。因此, “中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”明確地指出:“做足夠數(shù)量的練習(xí),是使學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的必要途徑”。

2、 “解題的根本要求是什么?是有目的、有根據(jù)的連續(xù)化簡(jiǎn)(簡(jiǎn)稱連續(xù)化簡(jiǎn)),即在完全合乎邏輯的前提下,把原題連續(xù)地化成比較簡(jiǎn)單的題目,直到新的題目與原題的結(jié)論或條件產(chǎn)生明顯的邏輯聯(lián)系為止”,“解題的根本要求就是連續(xù)化簡(jiǎn)”.唐以榮教授指出:“題目的復(fù)雜部分之所以能夠連續(xù)化簡(jiǎn),那是由于復(fù)雜部分本來(lái)由若干簡(jiǎn)單部分組成,完全可以作到每步化簡(jiǎn)都有充分根據(jù),穩(wěn)扎穩(wěn)打,用不著猜想.當(dāng)題目的已知條件在兩項(xiàng)以上時(shí),之所以能連續(xù)化簡(jiǎn),是因?yàn)?可以把二項(xiàng)(或一項(xiàng)條件與另一項(xiàng)條件的明顯的推論)聯(lián)系起來(lái)引出過(guò)渡性結(jié)論,而這一過(guò)渡性結(jié)論又能與其他的條件(或它的明顯的推論)聯(lián)系起來(lái),引出新的過(guò)渡性結(jié)論-這樣連續(xù)下去,就得到通向結(jié)

3、論的一系列過(guò)渡性結(jié)論”.題目1：設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若f(0)1，求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值；(3)設(shè)函數(shù)h(x)f(x)，x(a，)，直接寫(xiě)出(不需給出演算步驟)不等式h(x)1的解集分析：想法：(1)求a的取值范圍，即是尋求關(guān)于a的不等式，解不等式即可；(2)求f(x)的最小值，由于f(x)可化為分段函數(shù)，分段函數(shù)的最值分段求，然后綜合在一起；(3)對(duì)a討論時(shí)，要找到恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)解(1)因?yàn)閒(0)a|a|1，所以a0，即a0，由a21知a1，因此，a的取值范圍為(，1(2)記f(x)的最小值為g(a)，則有f(x)2x2(xa)|xa|(

4、)當(dāng)a0時(shí)，比較，f(a)2a2，可知f(x)2a2，此時(shí)g(a)2a2.()當(dāng)aa，fa2，則f(x)a2.若xa，則f(x)2a2. 因?yàn)?，此時(shí)g(a)a2，綜上，得g(a).(3) ()當(dāng)a時(shí)，解集為(a，)；()當(dāng)a時(shí)，解集為；()當(dāng)a時(shí)，解集為.做法：無(wú)論是（1）（2）（3）那個(gè)小題，想法都是非常好，思路清晰，但是在具體操作時(shí)，都會(huì)面臨去掉絕對(duì)值符號(hào)這一化簡(jiǎn)過(guò)程。化簡(jiǎn)說(shuō)著容易，但其本質(zhì)是需要判斷，為什么要這樣化簡(jiǎn)，判斷是需要智慧的。如（1）中，因?yàn)閍|a|1，所以a0。這一看似簡(jiǎn)單的過(guò)程，卻需要孩子們對(duì)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的含義透徹理解。如（2）中，本是最基本、最典型的二次函數(shù)給定區(qū)間求最

5、值的問(wèn)題，但由于整個(gè)解題過(guò)程都是字母運(yùn)算和推理，因此如果學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題只是熟悉而并未掌握，就會(huì)出現(xiàn)解題過(guò)程的混亂。題目2已知函數(shù)f(x)loga(ax1) (a0且a1)求證：(1) 函數(shù)f(x)的圖像總在y軸的一側(cè)；(2) 函數(shù)f(x)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0.想法：代數(shù)問(wèn)題幾何條件，必然需要數(shù)形結(jié)合，還需要能夠?qū)?wèn)題的圖形特征進(jìn)行準(zhǔn)確的代數(shù)表達(dá)。當(dāng)然，在題意的轉(zhuǎn)化時(shí)，需要解題者對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)概念準(zhǔn)確理解，并能對(duì)其之間的關(guān)系有深入的思考。做法：(1)要證明f(x)的圖像總在y軸的一側(cè)，說(shuō)明f(x)的自變量只能在(0，)或(，0)內(nèi)取值，即確定并分析函數(shù)定義域的問(wèn)題。(2)直譯：可以在f

6、(x)上任取兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，證明k0即可 意譯：“函數(shù)f(x)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0”即“函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)大于零”也即“函數(shù)f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)”證明(1)由ax10，得ax1， 當(dāng)a1時(shí)，x0，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，此時(shí)函數(shù)f(x)的圖像總在y軸的右側(cè)； 當(dāng)0a1時(shí)，x0，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，0)，此時(shí)函數(shù)f(x)的圖像總在y軸的左側(cè) 函數(shù)f(x)的圖像總在y軸的一側(cè) (2)設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)是函數(shù)f(x)圖像上的任意兩點(diǎn)，且x11時(shí)，由(1)知0x1x2，1ax1ax2，0ax11ax21.01，y1y20.又x1

7、x20.當(dāng)0a1時(shí)，由(1)知x1x2ax21，ax11ax210.1，y1y20.又x1x20.函數(shù)f(x)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0.（2）另證：“函數(shù)f(x)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0”即“函數(shù)是增函數(shù)”函數(shù)f(x)loga(ax1) (a0且a1)可以理解為函數(shù)和鑲嵌復(fù)合而成。當(dāng)時(shí)，函數(shù)和均為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)loga(ax1) (a0且a1)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)和均為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)loga(ax1) (a0且a1)為增函數(shù)； 顯然，此種證法言簡(jiǎn)意賅，過(guò)程簡(jiǎn)單。但是往往簡(jiǎn)單的、巧妙地做法，是需要好的想法指導(dǎo)的題目3：化簡(jiǎn)：sincos (nZ)做法1：(1)

8、角中含有變量n，因而需對(duì)n的奇偶分類討論(2)利用誘導(dǎo)公式，需將角寫(xiě)成符合公式的某種形式，這就需要將角中的某一部分作為一個(gè)整體來(lái)看解當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n2k (kZ)，則 原式sincossincossincossincossinsin0.5分當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n2k1 (kZ)，則6分原式sincossincossincossincossincossincossinsin0.10分故sincos0. 本題的化簡(jiǎn)過(guò)程，突出體現(xiàn)了分類討論的思想，當(dāng)然除了運(yùn)用分類討論的思想將n分兩類情況來(lái)討論外，在解答過(guò)程中還處處體現(xiàn)了化歸思想和整體思想做法2：角中雖含有變量n，可能要對(duì)n分類討論，但是什么時(shí)候分類，按照什么標(biāo)準(zhǔn)分類都不清楚，因此，面對(duì)本題，應(yīng)該先行化簡(jiǎn)，待水到渠成，不分類就說(shuō)不清楚時(shí)，再分類，而此時(shí)往往分類的標(biāo)準(zhǔn)也就清楚了。 解：sincos (nZ) 再往下化簡(jiǎn)，使用誘導(dǎo)公式，則需要討論的奇偶性。 若為偶數(shù)，原式 若為奇數(shù)，原式 又因?yàn)?，所以?所以無(wú)論為奇數(shù)還是偶數(shù)，原式的值都為0.做法3：無(wú)論是法1還是法2，最后都需要分析兩角的關(guān)