南航理學(xué)院《復(fù)變函數(shù)與積分變換》積分變換第3講

1、1,積分變換第3講,本文件可從網(wǎng)址 .com (單擊ppt講義后選擇工程數(shù)學(xué)子目錄),2,傅氏變換的性質(zhì),3,這一講介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì), 為了敘述方便起見(jiàn), 假定在這些性質(zhì)中, 凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件, 在證明這些性質(zhì)時(shí), 不再重述這些條件.,4,線性性質(zhì) 設(shè)F1(w)=F f1(t), F2(w)=F f2(t), a,b是常數(shù), 則 F af1(t)+bf2(t)=aF1(w)+bF2(w) (1.13)這個(gè)性質(zhì)的作用是很顯然的, 它表明了函數(shù)線性組合的傅氏變換等于各函數(shù)傅氏變換的線性組合. 它的證明只需根據(jù)定義就可推出.同樣, 傅氏逆變換亦具有類(lèi)似的線

2、性性質(zhì), 即 F -1aF1(w)+bF2(w)=af1(t)+bf2(t) (1.14),5,2. 位移性質(zhì),證 由傅氏變換的定義, 可知,6,微分性質(zhì) 如果f(t)在(-, +)上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn), 且當(dāng)|t|+時(shí), f(t)0, 則F f (t)=jwF f(t).(1.17)證 由傅氏變換的定義, 并利用分部積分可得,推論 F f(n)(t)=(jw)nF f(t).(1.18),7,同樣, 我們還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式, 設(shè)F f(t)=F(w), 則,8,本書(shū)中的積分的記號(hào)有不嚴(yán)格的寫(xiě)法, 即,9,4. 積分性質(zhì),10,例2 求微分積分方程,的解, 其中t+, a,b,c

3、均為常數(shù). 根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì), 且記 F x(t)=X(w), F h(t)=H(w). 在方程兩邊取傅氏變換, 可得,11,運(yùn)用傅氏變換的線性性質(zhì), 微分性質(zhì)以及積分性質(zhì), 可以把線性常系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程, 通過(guò)解代數(shù)方程與求傅氏逆變換, 就可以得到此微分方程的解. 另外, 傅氏變換還是求解數(shù)學(xué)物理方程的方法之一.,12,此外還有,13,性質(zhì)小結(jié): 若F f(t)=F(w), F g(t)=G(w),14,乘積定理 若F(w)=F f(t), G(w)=F g(t), 則,15,能量積分 若F(w)=F f(t), 則有,這一等式又稱(chēng)為帕塞瓦爾(Parserval)等

4、式 證 在(1.20)式中, 令f(t)=g(t), 則,16,17,實(shí)際上, 只要記住下面四個(gè)傅里葉變換, 則所有的傅里葉變換都無(wú)須從公式直接推導(dǎo)而從傅里葉變換的性質(zhì)就可導(dǎo)出.,18,注意第一類(lèi)間斷點(diǎn)處的求導(dǎo)數(shù), 首先有,d(t),u(t),t,t,O,O,19,a,假設(shè)函數(shù)f(t)在t0處有一個(gè)上升了a的第一類(lèi)間斷點(diǎn), 則f(t)可以分為在此處連續(xù)的一個(gè)函數(shù)f1(t)加上a u(t-t0),a,=,+,t,t0,t0,t0,t,t,f(t),f1(t),a u(t-t0),20,例 求方波的傅氏變換,t/2,-t/2,E,t,f(t),t/2,-t/2,E,t,f (t),-E,21,推導(dǎo)

5、過(guò)程為,22,習(xí)題二 14題 求如圖所示的頻譜函數(shù),t/2,-t/2,A,O,t,f(t),t/2,-t/2,a,O,t,f (t),t/2,-t/2,a,O,t,f (t),a,-2a,-a,23,因此有,24,習(xí)題二,2.(1),t,O,f(t),1,-1,t,O,f (t),1,-1,2,-2,25,f(t)的二階導(dǎo)和三階導(dǎo)如下圖:,t,O,f (t),1,-1,2,-2,t,O,f (t),1,-1,2,-2,26,因此有,27,習(xí)題二 2.(2),28,29,30,習(xí)題二 2.(3),-1,-1,1,1,f(t),t,O,-1,2,1,f (t),t,O,-1,-1,31,因此,32,習(xí)題二 3.(1) f(t)=e-b|t| (b0)令g(t)=u(t)e-bt, 則f(t)=g(t)+g(-t),t,g(t),t,g(-t),t,f(t),O,O,O,33,因此有,34,習(xí)題二 3.(2) f(t)=e-|t|cos t,35,36,習(xí)題二 3.(3),37,38,習(xí)題二 4題,39,習(xí)題二 5. F(w)=pd(w+w0)+d(w-w0),40,習(xí)題二 6 f(t)=sgn t,1,-1,t,f(t),2,t,f (t),O,O,41,習(xí)題二 7.,42,習(xí)題二 8. f(t)=cos t