圓周運動中的繩桿模型

1、圓周運動的繩桿模型,2,圓周運動知識是高考中的重要考點之一，歷年的壓軸題目都涉及圓周運動知識，并且該知識點成為解答高分值題目的關(guān)鍵知識橋接點。圓周運動知識板塊中既能考查中學(xué)階段很重要的受力分析能力，又能考查圓周運動的相關(guān)知識，更重要的是，能考查學(xué)生構(gòu)建模型、從圖象中獲取信息進行解題的能力。我們應(yīng)該熟練掌握圓周運動以在高考中體現(xiàn)出自己的能力，特別是物體在豎直平面內(nèi)的圓周運動（翻滾過山車、水流星、雜技節(jié)目中的飛車走壁等）中通過最高點和最低點的情況，經(jīng)常出現(xiàn)的臨界狀態(tài)的具體分析。,繩球模型 桿球模型 模型推廣及應(yīng)用,教學(xué)目標(biāo),向心力公式：,向心加速度公式：,知識回顧：,豎直平面內(nèi)的圓周運動一般是變速

2、圓周運動，運動的速度大小和方向在不斷發(fā)生變化，運動過程復(fù)雜，合外力不僅要改變運動方向，還要改變速度大小，所以一般不研究任意位置的情況，只研究特殊的臨界位置最高點和最低點。兩類模型輕繩類和輕桿類。,一、繩球模型,長為L的細(xì)繩拴著質(zhì)量為m 的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動。,試分析： （1）當(dāng)小球在最低點A 的速度為v1時，繩的拉力與速度的關(guān)系如何？,（2）當(dāng)小球在最高點B 的速度為v2 時，繩的拉力與速度的關(guān)系又如何？,o,思考：小球過最高點的最小速度是多少?,最低點：,最高點：,當(dāng)v=v0，小球剛好能夠通過最高點；,當(dāng)vv0，小球偏離原運動軌跡，不能通過最高點；,當(dāng)vv0，小球能夠通過最高點。,（

3、1）質(zhì)點過最高點的臨界條件：質(zhì)點達(dá)最高點時繩子的拉力剛好為零，質(zhì)點在最高點的向心力全部由質(zhì)點的重力來提供，這時有,，式中的,（2）質(zhì)點過最高點的最小向心加速度,（3）質(zhì)點能通過最高點的條件是,當(dāng)質(zhì)點的速度小于這一值時，質(zhì)點將運動不到最高點。,是質(zhì)點通過最高點的最小速度，叫臨界速度；,例1、“水流星” 是一種常見的雜技項目，該運動可以簡化為輕繩一端系著小球在豎直平面內(nèi)的圓周運動模型，如圖所示，已知繩長為L，重力加速度為g，忽略空氣阻力，則（）,A當(dāng)v06,B當(dāng)v0,C小球的速度v0越大，則在P、Q兩點繩對小球的拉力差越大 D小球運動到最低點Q時，處于失重狀態(tài),時，小球一定能通過最高點P,時，輕繩

4、始終處于繃緊狀態(tài)L,練1、如圖所示，不少同學(xué)都看過雜技演員表演的“水流星”，一根細(xì)繩系著盛水的杯子，演員掄起繩子，杯子在豎直平面內(nèi)做圓周運動。杯子可視為質(zhì)點，杯子與圓心O的距離為1m，重力加速度大小為10m/s2為使杯子運動到最高點時（已經(jīng)杯口朝下）水不會從杯里灑出，則杯子通過最高點時的速度大小可能為（）,A2m/s B3m/s C4m/s D5m/s,例2、如圖所示，豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上，半徑r0.4m，最低點處有一小球（半徑比r小的多），現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0，則要使小球不脫離圓軌道運動，v0應(yīng)滿足（g10m/s2）（） v00v04m/sv02,m/sv02,m

5、/s,A B C D,【解答】解：對于第（1）種情況，當(dāng)v0較大時，小球能夠通過最高點，這時小球在最高點處需要滿足的條件是mgm,，又根據(jù)機械能守恒定律有,mv2+2mgr,，可求得v02,對于第（2）種情況，當(dāng)v0較小時，小球不能通過最高點，這時對應(yīng)的臨界條件是小球上升到與圓心等高位置處，速度恰好減為零，根據(jù)機械能守恒定律有mgr,可知v02,故選：C。,m/s；,m/s。,練2、如圖所示，一個質(zhì)量為0.6kg的小球以某一初速度從P點水平拋出，恰好從圓弧ABC的A點的切線方向進入圓?。ú挥嬁諝庾枇?，進入圓弧時無機被能損失）已知圓弧的半徑R0.6m，60，小球到達(dá)A點時的速度vA8m/sg取1

6、0m/s2，求： （1）小球做平拋運動的初速度v0 （2）P點與A點的高度差 （3）小球剛好能到達(dá)圓弧最高點C， 求此過程小球克服摩擦力所做的功。,例3、如圖甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為m的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運動（不計一切阻力），小球運動到最高點時繩對小球的拉力為T，小球在最高點的速度大小為v，其Tv2圖象如圖乙所示，則（）,A當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?B輕質(zhì)繩長為,C小球在最低點受到的最小拉力為5a D若把輕繩換成輕桿，則從最高點由靜止轉(zhuǎn)過90的過程中桿始終對小球產(chǎn)生支持力,【解答】解：A、B、在最高點時，繩對小球的拉力和重力的合力提供向心力，則得：mg+Tm,得：T,由圖象知，T0時，v

7、2b圖象的斜率k,，則得：,得繩長 L,當(dāng)v20時，Ta，由得：amg，得 g,C、只要v2b，繩子的拉力大于0，根據(jù)牛頓第二定律得： 最高點：T1+mgm ,最低點：T2mgm,從最高點到最低點的過程中，根據(jù)機械能守恒定律得：,聯(lián)立解得：T2T16mg，即小球在最低點和最高點時繩的拉力差均為6a，故C錯誤； D、若把輕繩換成輕桿，則從最高點由靜止轉(zhuǎn)過90的過程中開始時桿對小球的作用力為支持力；當(dāng)轉(zhuǎn)過90后，小球的向心力必定由桿的拉力提供，所以可知，在小球從最高點由靜止轉(zhuǎn)過90的過程中，桿對小球的作用力開始時是支持力，然后是拉力。故D錯誤。 故選：AB。,- mg,；故A正確，B正確；,2mg

8、L,二、桿球模型：,長為L的輕桿一端固定著一質(zhì)量為m的小球，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動。,試分析： （1）當(dāng)小球在最低點A的速度為v2時，桿的受力與速度的關(guān)系怎樣？,（2）當(dāng)小球在最高點B的速度為v1時，桿的受力與速度的關(guān)系怎樣？,A,B,16,o,思考:最高點的最小速度是多少?,桿球模型：,A,B,最低點：,最高點：,拉力,支持力,17,運動質(zhì)點在一輕桿的作用下，繞中心點作變速圓周運動，由于輕桿能對質(zhì)點提供支持力和拉力，所以質(zhì)點過最高點時受的合力可以為零，質(zhì)點在最高點可以處于平衡狀態(tài)。所以質(zhì)點過最高點的最小速度為零。 （1）當(dāng),時，輕桿對質(zhì)點有豎直向上的支持力，其大小等于質(zhì)點的重力，即,（

9、2）當(dāng),時，,（3）當(dāng),（4）當(dāng),時，質(zhì)點的重力大于其所需的向心力，輕桿對質(zhì)點的豎直向上的支持,的增大而減小。,力，支持力隨,，質(zhì)點的重力不足以提供向心力，桿對質(zhì)點有指向圓心的拉力，且拉力隨,速度的增大而增大；,例4、一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球做半徑為R的圓周運動，以下說法正確的是（） A球過最高點時，桿所受的彈力可以等于零 B球過最高點時，最小速度為,C球過最高點時，桿對球的彈力一定與球的重力方向相反 D球過最高點時，桿對球的彈力可以與球的重力反向，此時重力一定大于桿對球的彈力,例5、如圖所示，可視為質(zhì)點的、質(zhì)量為m的小球，在半徑為R的豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓

10、周運動，下列有關(guān)說法中正確的是（）,A小球能夠到達(dá)最高點時的最小速度為0 B小球能夠通過最高點時的最小速度為g,C如果小球在最低點時的速度大小為,D如果小球在最高點時的速度大小為2,則此時小球?qū)艿赖膬?nèi)壁的作用力為3mg,則小球通過最低點時對管道的外壁的作用力為6mg,20,練3、如圖所示，一個半徑為R1.5m的金屬圓環(huán)豎直固定放置，環(huán)上套有一個質(zhì)量為m的小球，小球可在環(huán)上自由滑動，與環(huán)間的動摩擦因數(shù)為0.75不計空氣阻力，重力加速度g10m/s2當(dāng)小球向右滑動經(jīng)過環(huán)的最高點時：（結(jié)果可用根號表示） （1）若此刻環(huán)對小球的摩擦力為零，求此刻小球的速率 （2）若此刻環(huán)對小球的摩擦力大小為0.3m

11、g，求此刻環(huán)對小球的作用力大小 （3）若此刻環(huán)對小球的摩擦力大小為0.3mg，求此刻小球的速率,21,【解答】解：（1）摩擦力f0，則環(huán)對小球的彈力N0 ，對小球受力分析有：,解得小球速率,（2）滑動摩擦力 fN，將f0.3mg、0.75代入解得環(huán)對小球的彈力,由勾股定理，環(huán)對小球的作用力,（3）由第二小題可知，環(huán)對小球的彈力N0.4mg，當(dāng)環(huán)對小球的彈力向上時：,當(dāng)環(huán)對小球的彈力向下時：,解得小球的速率,N,0.4mg,解得小球的速率 v13m/s,例6、如圖所示，輕桿長為3L，在桿的A、B兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和球B，桿上距球A為L處的點O裝在光滑的水平轉(zhuǎn)動軸上，外界給予系統(tǒng)一定的能

12、量后，桿和球在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動。在轉(zhuǎn)動的過程中，忽略空氣的阻力。若球B運動到最高點時，球B對桿恰好無作用力，則下列說法正確的是（）,A球B轉(zhuǎn)到最低點時，其速度為vB,B球B在最低點時速度為,C球B在最高點時，桿對水平軸的作用力為1.5mg D球B在最高點，桿對水平軸的作用力為0.75mg,gL,【解答】解：球B運動到最高點時，球B對桿恰好無作用力，即重力恰好提供向心力，有：,得：,兩球的角速度相等，故球A的速度為：,再以A為研究對象由向心力公式得：,B球轉(zhuǎn)到最低點時，設(shè)當(dāng)球B運動到最低點時球的速度vB，則球A的速度為：,由系統(tǒng)的動能定理得：,解得：,故AC正確，BD錯誤； 故選：AC。,解得：F1

13、.5mg,2mgL,24,豎直平面內(nèi)的圓周運動一般可以劃分為這兩類，如豎直（光滑）圓弧內(nèi)側(cè)的圓周運動，水流星的運動，過山車運動等，可化為豎直平面內(nèi)輕繩類圓周運動；汽車過凸形拱橋，小球在豎直平面內(nèi)的（光滑）圓環(huán)內(nèi)運動，小球套在豎直圓環(huán)上的運動等，可化為輕豎直平面內(nèi)輕桿類圓周運動。,最高點情況分類討論,（拉力）,最低點：,（支持力）,（只有重力）,25,豎直平面內(nèi)圓周運動的臨界問題,練3、如圖甲，小球用不可伸長的輕繩連接后繞固定點O在豎直面內(nèi)做圓周運動，小球經(jīng)過最高點時的速度大小為v，此時繩子的拉力大小為FT，拉力FT與速度的平方v2的關(guān)系如圖乙所示，圖象中的數(shù)據(jù)a和b包括重力加速度g都為已知量，以下說法正確的是（）,A數(shù)據(jù)a與小球的質(zhì)量無關(guān) B數(shù)據(jù)b與小球的質(zhì)量無關(guān) C比值,D利用數(shù)據(jù)a、b和g能夠求出小球的質(zhì)量 和圓周軌道半徑,只與小球的質(zhì)量有關(guān)，,與圓周軌道半徑無關(guān),27,練4、如圖所示，質(zhì)量為M1kg的薄壁細(xì)圓管豎直放置在固