線性代數習題課

1、二次型知識網絡圖,二次型,矩陣表示 f = x TAx,標準形,正定二次型,化標準形,正定二次型,正定二次型,慣性定律,定義,充要條件,必要條件,慣性指數R（A）=r; 正慣性指數p; 負慣性指數q.,一、用正交變換化二次型為標準形,（1）寫出二次型的矩陣A； （2）求A的特征值、特征向量； （3）對于A的各不相同的特征值所對應的特征向量已經正交，只需單位化；對于A的k 重特征值所對應的特征向量是線性無關的，需用施密特正交化方法將這k個線性無關的特征向量化成兩兩正交的單位向量； （4）用所求得的n 個兩兩正交的單位向量構造正交矩陣 P = (P1,P2,Pn) （5）令x = Py，則得標準形

2、f =1y12+2y22+ nyn2.,二、正定的判別法,（1）用定義，x 0 ,總有xTAx 0,（2）用順次主子式全大于零；,（3）用n個特征值全大于零；,（4）用正慣性指數p = n；,（5）存在可逆矩陣C，使A = CTC.,例1設f=x12+4x22+4x32+2x1x22x1x3+4x2x3為正定二 次型，則的取值范圍是_,解二次型對應的正定矩陣為,三、典型例題,1.填空題、選擇題,解得21，故應填21,由正定矩陣的有關定理可知,例2、設二次型,則其秩為 ；,例3,a=,b=,_,_.,解,據題意，可知A的特征值為0，1，4,3,1,例4 設三階實對稱陣,（ ）,C,例5已知矩陣,

3、正定，其相似的對角矩陣為,解由于A正定，所以特征值為正數，故(C),(D)不成 立又因trA8，而1+3+48，1+2+58，但|A|10， 而13412，12510，故選（B).,B,2、化二次型為標準形,例6設， 均為實3維的單位列向量， 且T = 0，令A= T+T，求一個正 交變換將f = xTAx化成標準形,解因為， 為單位向量，且T = 0，故 的秩為2從而有x0,使得即,Tx = 0, Tx = 0,于是有,Ax= (T+ T) x= Tx+ Tx=0.,A =(T+ T) = T + T= ,A = (T+ T) = T + T = ,因此，A的特征值為1，1，0，對應的特征向

4、量為， ，x.,顯然， A為實對稱矩陣，所以存在正交變換 xPy，將f = xTAx化成標準形,由于T = 0， Tx = 0, Tx = 0,所以， ，x 兩兩正交，將x單位化得,則可得正交矩陣P=(, , )，作正交變換 x=Py，故x=Py將f = xTAx化成標準形為,f = xTAxy12+y22.,3、二次型正定性的判定,例7 設A為mn矩陣，若Ax=0有唯一解，試證 ATA為正定矩陣,證明 因為(ATA)T= AT(AT)T= ATA,所以ATA實對稱矩陣，又因為Ax=0有唯一解,即零解.因此對任給n維列向量 x0，恒有Ax0，于是,xT(ATA)x= (Ax)T(Ax)=| Ax|0.,所以xT(ATA)x為正定二次型，故ATA為正 定矩陣,注：設A為nn階可逆矩陣，或A為mn階列滿秩矩陣，則ATA為正定矩陣,例8設A為3階實對稱矩陣,且滿足A2+2A=0,R(A)=2， 求A的全部特征值，k為何值時，A+kE為正定矩陣,解 設是A的特征值，x是A的關于所對應的特 征向量，則,(A2+2A)x=0 (2+2)x=0 (+2)=0,所以A的特征值為0和2又因為R(A)=2，所以有1=0，232,由此得A+