第三章 靜態(tài)場及其邊值問題的解.ppt

1、1,第3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解,2,本章內容 3.1 靜電場分析 3.2 導電媒質中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法 3.6 分離變量法,靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場,時變情況下，電場和磁場相互關聯(lián)，構成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立,3,3.1 靜電場分析,學習內容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù) 3.1.3 導體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量,4,2. 邊界條件,微分形式：,本構關系：,1. 基本方程,積分形

2、式：,或,或,3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件,若分界面上不存在面電荷，即 ，則,5,在靜電平衡的情況下，導體內部的電場為0，則導體表面的邊界條件為,或,場矢量的折射關系,導體表面的邊界條件,6,由,即靜電場可以用一個標量函數(shù)的梯度來表示，標量函數(shù) 稱為靜電場的標量電位或簡稱電位。,1. 電位函數(shù)的定義,3.1.2 電位函數(shù),7,2. 電位的表達式,對于連續(xù)的體分布電荷，由,同理得，面電荷的電位：,故得,點電荷的電位：,線電荷的電位：,8,3. 電位差,上式兩邊從點P到點Q沿任意路徑進行積分，得,關于電位差的說明,P、Q 兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至Q 點 所做的功，電

3、場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。 電位差也稱為電壓，可用U 表示。 電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關，與積分路徑無關。,9,靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即,選參考點,令參考點電位為零,電位確定值(電位差),兩點間電位差有定值,選擇電位參考點的原則 應使電位表達式有意義。 應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠作電位參考點。 同一個問題只能有一個參考點。,4. 電位參考點,為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即,幾種常見電荷分布的電位參考點 點電荷：

4、設點電荷q在原點，參考點Q，場點 (電位考察點)P，選擇路徑PM Q(路徑可以任意選擇)進行積分，有,積分貢獻為零,線電荷：設線電荷l在原點，參考點Q，場點 (電位考察點)P，沿如前路徑進行積分，有,如果選擇參考點在rQ=，得P=，顯然不合理。 如果選擇rQ=1，得，顯然這種形式最簡單。,面電荷(例3.1.2)：無限大面電荷產(chǎn)生的電場在空間均勻分布。設均勻電場E0，場中任意兩點P1和P2的電位差為,13,例 3.1.1 求電偶極子的電位.,解 在球坐標系中,用二項式展開，由于，得,代入上式，得,表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。,14,將 和 代入上式，解得E線方程為,由球坐標系中的梯度公

5、式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度,電場線微分方程：,等位線方程：,15,解 選定均勻電場空間中的一點O為坐標原點，而任意點P 的位置矢量為r ，則,若選擇點O為電位參考點，即 ，則,在球坐標系中，取極軸與 的方向一致，即 ，則有,在圓柱坐標系中，取 與x 軸方向一致，即 ，而 ，故,例3.1.2 求均勻電場的電位分布。,16,解 采用圓柱坐標系，令線電荷與 z 軸相重合，中點位于坐標原點。由于軸對稱性，電位與 無關。 在帶電線上位于 處的線元 ，它 到點 的距離 ， 則,例3.1.3 求長度為2L、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。,17,在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。當 時，

6、上式可寫為,當 時，上式變?yōu)闊o窮大，這是因為電荷不是分布在有限區(qū)域內，而將電位參考點選在無窮遠點之故。這時可在上式中加上一個任意常數(shù)，則有,并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇= a 的點為電位參 考點，則有,18,在均勻介質中，有,5. 電位的微分方程,在無源區(qū)域，,19,6. 靜電位的邊界條件,設P1和P2是介質分界面兩側緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為1和2。當兩點間距離l0時,導體表面上電位的邊界條件：,由 和,若介質分界面上無自由電荷，即,常數(shù)，,20,例3.1.4 兩塊無限大接地導體平板分別置于 x = 0 和 x = a 處，在兩板之間的 x = b 處有一面密度為 的均勻電荷

7、分布，如圖所示。求兩導體平板之間的電位和電場。,解 在兩塊無限大接地導體平板之間，除 x = b 處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程,方程的解為,21,利用邊界條件，有,處，,最后得,處，,處，,所以,由此解得,22,例：半徑為a的帶電導體球，已知球體電位為U， 求空間電位分布及電場強度分布。,解法一：導體球是等勢體。,時：,23,時：,24,解法二：電荷均勻分布在導體球上，呈點對稱。,設導體球帶電總量為Q，則可由高斯定理求得，在球外空間，電場強度為：,25,小結：求空間電場分布的方法,在實際應用中，間接求解法應用最為廣泛，適用于邊值問題的求解。,26,

8、電容器廣泛應用于電子設備的電路中： 在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用。 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜 電路。 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設備的利用率。,3.1.3 導體系統(tǒng)的電容與部分電容,27,電容是導體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導體系統(tǒng) 儲存電荷能力的物理量。,孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位 的比值，即,1. 電容,孤立導體的電容,兩個帶等量異號電荷（q）的導體組成的電容器，其電容為,電容的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質 的特性參數(shù)有關，而與導體的帶電量和電位無

9、關。,28,(1) 假定兩導體上分別帶電荷+q 和q ； (2) 計算兩導體間的電場強度E；,計算電容的步驟：,(4) 求比值 ，即得出所求電容。,(3) 由 ，求出兩導體間的電位差；,29,解：設內導體的電荷為q ，則由高斯定理可求得內外導體間的電場,同心導體間的電壓,球形電容器的電容,當 時，,例3.1.4 同心球形電容器的內導體半徑為a 、外導體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為的均勻介質。求此球形電容器的電容。,30,例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a ，兩導線的軸線距離為D ，且D a ，求傳輸線單位長度的電容。,解 設兩導線單位長度帶電量分別為 和 。由于 ，故可近似

10、地認為電荷分別均勻分布在兩 導線的表面上。應用高斯定理和疊加原 理，可得到兩導線之間的平面上任一點 P 的電場強度為,兩導線間的電位差,故單位長度的電容為,31,例3.1.6 同軸線內導體半徑為a ，外導體半徑為b ，內外導體間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質，求同軸線單位長度的電容。,內外導體間的電位差,解 設同軸線的內、外導體單位長度帶電量分別為 和 ，應用高斯定理可得到內外導體間任一點的電場強度為,故得同軸線單位長度的電容為,32,如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所做的總功將全部轉換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。,靜電場

11、能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。,靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。,任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終電荷分布的建立(或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而做功。,3.1.4 靜電場的能量,33,1. 靜電場的能量,設系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為 q 、電位為 。 充電過程中某一時刻的電荷量為q 、電位為 。(01) 當增加為(+ d)時，外電源做功為: (q d)。 對從0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為,根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電場能量We ，即,對于電荷體密度為的

12、體分布電荷，體積元dV中的電荷dV具有的電場能量為,34,故體分布電荷的電場能量為,對于面分布電荷，電場能量為,對于多導體組成的帶電系統(tǒng)，則有, 第i 個導體所帶的電荷, 第i 個導體的電位,式中：,關于靜電場能量表達式的補充說明,討論的是充電完成系統(tǒng)穩(wěn)定后的情況，所以只適用于靜電場 積分區(qū)域為存在電荷分布的空間，由于在無電荷分布的區(qū)域積分為零，所以積分也可以為整個空間 能量是分布在有電場存在的整個空間，并非僅僅存在于有電荷分布的區(qū)域，所以被積函數(shù) 不代表能量密度,關于點電荷系統(tǒng)和導體系統(tǒng)能量的補充說明,在點電荷系統(tǒng)中，i為第i個電荷處的電位，由其他電荷產(chǎn)生 在帶電導體系統(tǒng)中，i為第i個導體的

13、電位，由其自身所帶電荷和其他導體所帶電荷共同產(chǎn)生 分別表示點電荷之間的相互作用能和導體系統(tǒng)的總能量（包括自能和相互作用能）,37,2. 電場能量密度,從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。,電場能量密度：,電場的總能量：,對于線性、各向同性介質，則有,38,由于體積V外的電荷密度0，若將上式中的積分區(qū)域擴大到整個場空間，結果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內，當閉合面S 無限擴大時，則有,故,推證：,39,例3.1.7 半徑為a 的球形空間內均勻分布有電荷體密度為的電荷，試求靜電場能量。,解： 方法一，利用 計算,根據(jù)高斯定理求得電場強度,故,40,方法二：利用 計算,先求出電

14、位分布,故,例3.1.8 原子核是一個帶電為q的點電荷，周圍均勻分布有帶負電的球形電子云。電子云的半徑為r0，其總電量為q。求原子模型的結合能。,解：結合能=電子云自能+云與核的相互作用能。由高斯定理得電子云產(chǎn)生的電場,43,由邊界條件知在邊界兩邊 連續(xù)。,解：設同軸線內導體單位長度帶電量為Q。,44,45,或,知識延展：對電容器,46,此題也可用式 來計算,q不變,設極板上保持總電荷q 不變，則,由此可得,由于,同樣得到,47,3.2 導電媒質中的恒定電場分析,3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件 3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬 3.2.3 漏電導,48,由JE 可知，導體中若存在恒

15、定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運動，但導體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。,恒定電場與靜電場的重要區(qū)別： （1）恒定電場可以存在于導體內部。 （2）恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。,恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質。,3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件,49,1. 基本方程,恒定電場的基本方程為,微分形式：,積分形式：,恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強度,線性各向同性導電媒質的本構關系,恒定電場的電位函數(shù),由,若媒質是均勻

16、的，則,50,2. 恒定電場的邊界條件,場矢量的邊界條件,即,即,導電媒質分界面上的電荷面密度,場矢量的折射關系,51,電位的邊界條件,恒定電場同時存在于導體內部和外部，在導體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，因 而導體表面不是等位面；,說明：,52,如2 1、且290，則10， 即電場線近似垂直于與良導體表面。 此時，良導體表面可近似地看作為 等位面；,若媒質1為理想介質，即10，則 J1=0，故J2n= 0 且 E2n= 0，即導體 中的電流和電場與分界面平行。,53,3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬,如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相

17、同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學問題。只需求出一種場的解，就可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。,54,恒定電場與靜電場的比擬,基本方程,靜電場（ 區(qū)域）,本構關系,位函數(shù),邊界條件,恒定電場（電源外）,關于恒定電場的進一步說明,與靜電場性質相同，但產(chǎn)生的源不同，分別為運動電荷和靜止電荷，但其密度都不隨時間變化 恒定電場同時存在于導電體外和導電體內，其表面同時有法向和切向分量，電場不垂直于表面，此時導電體不是等位體,電場矢量在分界面上的折射關系,如21， 290，10，電力線近似垂直良導體表面，近似等位體 如介質1為

18、理想介質，10，J1=0，導電體一側中只有切向電流和切向電場,恒定電場問題可利用對應量變換，先變成靜電場問題求解，最后再換回來,由J 的邊界條件可得,56,例3.2.1一個有兩層介質的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1 和 2、2 ，外加電壓U。求介質面上的自由電荷密度。,解：極板是理想導體，為等位面，電流沿z 方向。,57,例3.2.2 填充有兩層介質的同軸電纜，內導體半徑為a，外導體半徑為c，介質的分界面半徑為b。兩層介質的介電常數(shù)為1 和2 、電導率為 1 和 2 。設內導體的電壓為U0 ，外導體接地。求：（1）兩導體之間的電流密度和電場強度分布；（2）介質分界面上的自由電荷面密度。,外導

19、體,內導體,介質2,介質1,58,（1）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為I ,則由 可得電流密度,介質中的電場,解 電流由內導體流向外導體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布?？上燃僭O電流為I，由求出電流密度 的表達式，然后求出 和 ，再由 確定出電流 I。,59,故兩種介質中的電流密度和電場強度分別為,由于,于是得到,60,（2）由 可得，介質1內表面的電荷面密度為,介質2外表面的電荷面密度為,兩種介質分界面上的電荷面密度為,61,工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導率遠遠小于金屬材料的電導率，但畢竟不為零，因而當

20、在電極間加上電壓U 時，必定會有微小的漏電流 J 存在。,漏電流與電壓之比為漏電導，即,其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即,3.2.3 漏電導,62,(1) 假定兩電極間的電流為I ； 計算兩電極間的電流密度 矢量J ； 由J = E 得到 E ; 由 ，求出兩導 體間的電位差； (5) 求比值 ，即得出 所求電導。,計算電導的方法一：,計算電導的方法二：,(1) 假定兩電極間的電位差為U； (2) 計算兩電極間的電位分布 ； (3) 由 得到E ; (4) 由 J = E 得到J ; (5) 由 ，求出兩導體間 電流； (6) 求比值 ，即得出所 求電導。,計算電導的方法三：,靜電比擬法：,63,例3.

21、2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設內外的半徑分別為a 、b，長度為l ，其間媒質的電導率為、介電常數(shù)為。,解：直接用恒定電場的計算方法,電導,絕緣電阻,設由內導體流向外導體的電流為I 。,64,方程通解為,例3.2.4 在一塊厚度為h 的導電板上， 由兩個半徑為r1 和 r2 的圓弧和夾角為 0 的兩半徑割出的一段環(huán)形導電媒質，如圖所示。計算沿 方向的兩電極之間的電阻。設導電媒質的電導率為。,解： 設在沿 方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿 方向流動，而且電流密度是隨 變化的。但容易判定電位 只是變量 的函數(shù)，因此電位函數(shù) 滿足一維拉普拉斯方程,代入邊界條件,可以得到,65,電流密度,兩電極

22、之間的電流,故沿 方向的兩電極之間的電阻為,所以,例3.2.5 同軸線內外導體半徑分別為a和b，其間填充電導率為的導電介質，求單位長度的絕緣電阻。,解：先變成靜電場。內外導體間,例3.2.6 求半徑為a的金屬導體球形接地器的接地電阻。土壤的電導率為。,解：導體深埋，不考慮地表對接地電阻的影響,67,例題一 已知同軸線內外導體半徑分別為a,b，導體間填充介質，介質介電常數(shù)為 ，導電率為 。已知內外導體間電壓為U。 求：內外導體間的 1） ；2） ；3） ；4） ； 5） ；6） ；,分析：為恒定電場問題。 電荷只存在于導體表面，故可用靜電場高斯定理求解。,解法一：應用高斯定理求解。,設內導體單位

23、長度電量為Q。則,68,69,解法二：間接求解法,由于內外導體間不存在電荷分布，電位方程為,70,解法三：恒定電場方法求解,令由內導體流向外導體單位長度總電流強度為I，則,71,例題二 導體球殼，內徑為b，外徑為c，球殼球心為半徑為a導體球，導體球帶電量Q。中間充滿兩種介質，介電系數(shù)分別為1和2，介質分界面如圖所示。 求：（1）空間場分布E(r)； （2）空間電位分布； （3）極化電荷分布； （4）系統(tǒng)電場能量。,解：由邊界條件知， 連續(xù)。,（1）ra，該區(qū)域為導體空間， 故： =0；,arb，由高斯定理有,72,brc，該區(qū)域為導體空間，故： =0；,rc，,（2）求電位分布。,rc，,73

24、,brc，為導體區(qū)域，等勢體，電位等于外表面電位,arb，,ra,74,（3）媒質為均勻媒質，其內部不存在極化電荷,r=a面上：,r=b面上：,75,（4）總電場能量為,76,3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位 3.3.3 電感 3.3.4 恒定磁場的能量,3.3 恒定磁場分析,77,微分形式:,1. 基本方程,2. 邊界條件,本構關系：,或,若分界面上不存在面電流，即JS0，則,積分形式:,或,3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件,78,矢量磁位的定義,磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標量 的梯度以后，仍然

25、表示同一個磁場，即,由,即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。,磁矢位的任意性是因為只規(guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對A的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。,1. 恒定磁場的矢量磁位,3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位,79,磁矢位的微分方程,在無源區(qū)：,磁矢位的表達式,80,磁矢位的邊界條件,（可以證明滿足 ）,對于面電流和細導線電流回路，磁矢位分別為,利用磁矢位計算磁通量：,細線電流：,面電流：,由此可得出,81,例 3.3.1 求小圓環(huán)電流回路的遠區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為a ，回路中的電流為I 。,解 如圖所示，由于具

26、有軸對稱性，矢量磁位和磁場均與 無關，計算 xO z 平面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。,82,對于遠區(qū)，有r a ，所以,由于在 = 0 面上 ，所以上式可寫成,于是得到,83,式中S =a 2是小圓環(huán)的面積。,載流小圓環(huán)可看作磁偶極子， 為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則,或,84,解：先求長度為2L 的直線電流的磁矢位。電流元 到點 的距離 。則,例 3.3.2 求無限長線電流 I 的磁矢位，設電流沿+z 方向流動。,與計算無限長線電荷的電位一樣，令 可得到無限長線電流的磁矢位,85,2. 恒定磁場的標量磁位,一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導電流（J0）的空間 中，

27、則有,即在無傳導電流（J0）的空間中，可以引入一個標量位函數(shù)來描述磁場。,標量磁位的引入,磁標位的微分方程,將 代入,86,與靜電位相比較，有,標量磁位的邊界條件,在線性、各向同性的均勻媒質中,標量磁位的表達式,和,式中：, 等效磁荷面密度,87,靜電位 磁標位,磁標位與靜電位的比較,靜電位 0 P,磁標位 m 0m,88,當r l 時，可將磁柱體等效成磁偶極子，則利用與靜電場的比較和電偶極子場，有,解：M0為常數(shù)，m= 0，柱內沒有磁荷。在柱的兩個端面上，磁化磁荷為,例3.3.3半徑為a、長為l 的圓柱永磁體，沿軸向均勻磁化，其磁化強度為 。求遠區(qū)的磁感應強度。,89,1. 磁通與磁鏈,3.

28、3.3 電感,單匝線圈形成的回路的磁鏈定 義為穿過該回路的磁通量,多匝線圈形成的導線回路的磁 鏈定義為所有線圈的磁通總和,粗導線構成的回路，磁鏈分為 兩部分：一部分是粗導線包圍 的、磁力線不穿過導體的外磁通量o ；另一部分是磁力線穿過 導體、只有粗導線的一部分包圍的內磁通量i。,90,設回路 C 中的電流為I ，所產(chǎn)生的磁場與回路 C 交鏈的磁鏈為，則磁鏈 與回路 C 中的電流 I 有正比關系，其比值,稱為回路 C 的自感系數(shù)，簡稱自感。, 外自感,2. 自感, 內自感；,粗導體回路的自感：L = Li + Lo,自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質有關，與電流無關。,自感的特點：,9

29、1,解：先求內導體的內自感。設同軸線中的電流為I ，由安培環(huán)路定理,穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS = d的磁通為,例3.3.4 求同軸線單位長度的自感。設內導體半徑為a，外導體厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。,得,與di 交鏈的電流為,則與di 相應的磁鏈為,92,因此內導體中總的內磁鏈為,故單位長度的內自感為,再求內、外導體間的外自感。,則,故單位長度的外自感為,單位長度的總自感為,93,例3.3.5 計算平行雙線傳輸線單位長度的自感。設導線的半徑為a ，兩導線的間距為D ，且 D a 。導線及周圍媒質的磁導率為0 。,穿過兩導線之間沿軸線方向為單位長度的面積的外磁鏈為,解 設兩

30、導線流過的電流為I 。由于D a ，故可近似地認為導線中的電流是均勻分布的。應用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點P 的磁感應強度為,94,于是得到平行雙線傳輸線單位長度的外自感,兩根導線單位長度的內自感為,故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為,95,對兩個彼此鄰近的閉合回路C1 和回路 C2 ，當回路 C1 中通過電流 I1 時，不僅與回路 C1 交鏈的磁鏈與I1 成正比，而且與回路 C2 交鏈的磁鏈12 也與 I1 成正比，其比例系數(shù),稱為回路 C1 對回路 C2 的互感系數(shù)，簡稱互感。,3. 互感,同理，回路 C2 對回路 C1 的互感為,96,互感只與回路的幾何形狀

31、、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍 磁介質有關，而與電流無關。,滿足互易關系，即M12 = M21,當與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互 感系數(shù) M 為正值；反之，則互感系數(shù) M 為負值。,互感的特點：,97,4. 紐曼公式,如圖所示的兩個回路 C1 和回路 C2 ， 回路 C1中的電流 I1 在回路 C2 上的任一 點產(chǎn)生的矢量磁位,回路 C1中的電流 I1 產(chǎn)生的磁場與回路 C2 交鏈的磁鏈為,同理,故得,98,由圖中可知,穿過三角形回路面積的磁通為,解 設長直導線中的電流為I ，根據(jù) 安培環(huán)路定理，得到,例3.3.6 如圖所示，長直導線與三角 形導體回路共面，求它們之間的互

32、感。,99,因此,故長直導線與三角形導體回路的互感為,100,例3.3.7 如圖所示，兩個互相平行且共軸的圓形線圈C1和 C2，半徑分別為a1和 a2 ，中心相距為d 。求它們之間的互感。,于是有,解 利用紐曼公式來計算，則有,式中=21為 與 之間的夾角，dl1= a1d1、dl2= a1d2 ，且,101,若d a1，則,于是,一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若d a1或 d a2 時，可進行近似計算。,102,3.3.4 恒定磁場的能量,1. 磁場能量,在恒定磁場建立過程中，電源克服感應電動勢做功所供給的能量，就全部轉化成磁場能量。,電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運

33、動，表明恒定 磁場具有能量。,磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當電流從 零開始增加時，回路中的感應電動勢要阻止電流的增加，因 而必須有外加電壓克服回路中的感應電動勢。,假定建立并維持恒定電流時，沒有熱損耗。,假定在恒定電流建立過程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻 射損耗。,103,設回路從零開始充電，最終的電流為 I 、交鏈的磁鏈為 。 在時刻 t 的電流為i =I 、磁鏈為 = 。 (01),根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為 I 的載流回路具有的磁場能量Wm ，即,對從0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為,外加電壓應為,所做的功,當增加為(+ d)時，回路中的感應電動勢:,

34、104,對于N 個載流回路，則有,對于體分布電流，則有,例如，對于兩個電流回路 C1 和回路C2 ，有,105,2. 磁場能量密度,從場的觀點來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。,磁場能量密度：,磁場的總能量：,對于線性、各向同性介質，則有,106,若電流分布在有限區(qū)域內，當閉合面S無限擴大時，則有,故,推證：,例3.38 求半徑為a的無限長直導線單位長度內自感。,解：設導體內電流為I，則由安培環(huán)路定律,則導體內單位長度磁能為,108,例3.3.9 同軸電纜的內導體半徑為a ，外導體的內、外半徑分別為 b 和 c ，如圖所示。導體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感

35、。,解：由安培環(huán)路定理，得,109,三個區(qū)域單位長度內的磁場能量分別為,110,單位長度內總的磁場能量為,單位長度的總自感,111,3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理,討論內容 3.4.1 邊值問題的類型 3.4.2 惟一性定理,邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或 拉普拉斯方程,112,3.4.1 邊值問題的類型,已知場域邊界面上的位函數(shù)值，即,第一類邊值問題（或狄里赫利問題）,已知場域邊界面上的位函數(shù)的法向導數(shù)值，即,已知場域一部分邊界面上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面上則已知位函數(shù)的法向導數(shù)值，即,第三類邊值問題（或混合邊值問題）,第二類邊值問題（或紐曼問題）,113

36、,自然邊界條件 （無界空間）,周期邊界條件,銜接條件,不同媒質分界面上的邊界條件，如,114,例：,（第一類邊值問題）,（第三類邊值問題）,例：,115,在場域V 的邊界面S上給定 或 的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V 具有惟一值。,3.4.2 惟一性定理,惟一性定理的重要意義,給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件,為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù),為求解結果的正確性提供了判據(jù),惟一性定理的表述,116,惟一性定理的證明,反證法：假設解不惟一，則有兩個位函數(shù) 和 在場域V內滿足同樣的方程，即,且在邊界面S 上有,令 ，則在場域V內,且在邊界面S 上滿足同樣的邊界條件。,或,或

37、,117,由格林第一恒等式,可得到,對于第一類邊界條件：,對于第二類邊界條件：若 和 取同一點Q為參考點 ，則,對于第三類邊界條件：,118,唯一性定理綜述,涵義：只要給定了邊界條件，標量位拉方程或泊方程的解就是唯一確定的（至多相差一個常數(shù)） 意義：無論用什么方法求得拉方程或泊方程的解，只要滿足給定的邊界條件，所得的解就是正確的,119,3.5.1 鏡像法的基本原理 3.5.2 接地導體平面的鏡像 3.5.3 導體球面的鏡像,3.5 鏡像法,120,當有電荷存在于導體或介質表面附近時，導體和介質表面會出現(xiàn)感應電荷或極化電荷，而感應電荷或極化電荷將影響場的分布。,非均勻感應電荷產(chǎn)生的電位很難求解

38、，可以用等效電荷的電位替代,1. 問題的提出,幾個實例 接地導體板附近有一個點電荷，如圖所示。,q,q,非均勻感應電荷,等效電荷,3.5.1 鏡像法的基本原理,121,接地導體球附近有一個點電荷，如圖。,非均勻感應電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,接地導體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電 荷為線電荷。,q,非均勻感應電荷,q,等效電荷,結論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷 或線電荷的作用。,問題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？,122,2. 鏡像法的原理,用位于場域邊界外虛設的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復雜的電荷分布

39、，從而將原含該邊界的非均勻媒質空間變換成無限大單一均勻媒質的空間，使分析計算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。,在導體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質幾何結構、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應用了這一基本原理、面向多種典型結構的工程電磁場問題所構成的一種有效的解析求解法。,3. 鏡像法的理論基礎 解的惟一性定理,鏡像法的理論依據(jù) 由唯一性定理，滿足同一方程和同樣邊界條件的電位分布的解是相同的（至多相差一個常數(shù)），所以引入像電荷（等效電荷）后，應該有 電位函數(shù)仍然滿足原方程（拉氏方

40、程或泊松方程） 電位分布仍滿足原邊界條件 如果要使得這兩個條件同時滿足，需要合理地選擇像電荷的位置和電量,理論依據(jù),唯一性定理,解的可靠性,像電荷的確定,124,像電荷的個數(shù)、位置及其電量大小“三要素” 。,4. 鏡像法應用的關鍵點,5. 確定鏡像電荷的兩條原則,等效求解的“有效場域”。,鏡像電荷的確定,像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中。,像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場 區(qū)域 的邊界條件來確定。,3.5.2 接地導體平面的鏡像,1.點電荷對無限大接地導體平面的鏡像 原問題,由圖可知，接地導體板附近有一個點電荷時，電力線垂直導體板，等位線平行導體板。這是點電荷與導體板上

41、的感應電荷共同作用的結果。,計算機模擬的接地導體板附近有一個點電荷時的電場分布圖,顯然可將感應電荷的作用用位于h的像電荷qq替代。,顯然，滿足邊界條件，原問題不變，所得的解是正確的。,q,-h,考察原問題是否得到滿足：由于像電荷位于z0區(qū)域，原方程不變，且有,127,上半空間( z0 ）的電位函數(shù),q,導體平面上的感應電荷密度為,導體平面上的總感應電荷為,128,2. 線電荷對無限大接地導體平面的鏡像,鏡像線電荷：,滿足原問題的邊界條件，所得的解是正確的。,電位函數(shù),原問題,當z = 0 時，,129,3. 點電荷對相交半無限大接地導體平面的鏡像,如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導體平

42、板，點電荷q 位于(d1, d2 )處。,顯然，q1 對平面 2 以及 q2 對平面 1 均不能滿足邊界條件。,對于平面1，有鏡像電荷q1=q，位于(d1, d2 ),對于平面2，有鏡像電荷q2=q，位于( d1, d2 ),只有在(d1, d2 )處再設置一 鏡像電荷q3 = q，所有邊界條件才能 得到滿足。,電位函數(shù),R,R1,R2,R3,用計算機模擬的，當夾角為60的兩個半無限大接地導體平板之間有一個點電荷q時，鏡像電荷的位置示意圖,由圖可知，點電荷q共有5個像電荷 6個電荷兩兩成對地分別構成兩個平面（包括平面的延伸部分）的鏡像關系，缺一不可,131,例3.5.1 一個點電荷q與無限大導

43、體平面距離為d，如果把它移至無窮遠處，需要做多少功？,解：移動電荷q時，外力需要克服電場力做功，而電荷q受的電場力來源于導體板上的感應電荷?？梢韵惹箅姾蓂 移至無窮遠時電場力所做的功。,由鏡像法，感應電荷可以用像電荷 替代。當電荷q 移至x時，像電荷 應位于x，則像電荷產(chǎn)生的電場強度,132,3.5.3 導體球面的鏡像,1. 點電荷對接地導體球面的鏡像,球面上的感應電荷可用鏡像電荷 q來等效。 q 應位于導體球內（顯然 不影響原方程），且在點電荷q與球 心的連線上，距球心為d。則有,如圖所示，點電荷q 位于半徑 為a 的接地導體球外，距球心為d 。,方法：利用導體球面上電位為零確定 和 q。,

44、問題：,133,令ra，由球面上電位為零， 即 0，得,此式應在整個球面上都成立。,條件：若,134,可見，導體球面上的總感應電荷也與所設置的鏡像電荷相等。,球外的電位函數(shù)為,導體球面上的總感應電荷為,球面上的感應電荷面密度為,用計算機模擬的，接地導體球旁有一個點電荷q時，空間的電位、電場分布圖,由圖可知，點電荷q產(chǎn)生的電力線只有一部分終止在導體球上，另一部分延伸至無窮遠。所以,點電荷對接地空心導體球殼的鏡像 原問題,r,P,用鏡像法求空間任意點的電位，顯然應該將鏡像電荷q選擇在導體球外，有,利用點電荷在球外時的結果，得,| q|q|，可見球外的電荷量大于球內電荷量（絕對值） 像電荷的位置和電量與外半徑b無關（為什么？）,137,球殼內的電位,感應電荷分布在導體球面的內表面上，電荷面密度為,導體球面的內表面上的總感應電荷為,可見，在這種情況下，鏡像電荷與感應電荷的電荷量不相等。,用計算機模擬的，接地空心導體球殼中有一個點電荷q時，球內空間的電位、電場分布圖,