初一升初二暑假銜接班數(shù)學(xué)教材(共15講)

1、目 錄 第一部分溫故知新專(zhuān)題一 整式運(yùn)算1 專(zhuān)題二 乘法公式3 專(zhuān)題三 平行線的性質(zhì)與判定9專(zhuān)題四 三角形的基本性質(zhì)11專(zhuān)題五 全等三角形14專(zhuān)題六 如何做幾何證明題17專(zhuān)題七 軸對(duì)稱(chēng)22 第二部分提前學(xué)習(xí)專(zhuān)題一 勾股定理25專(zhuān)題二 平方根與算數(shù)平方根29專(zhuān)題三 立方根32專(zhuān)題四 平方根與立方根的應(yīng)用 35專(zhuān)題五 實(shí)數(shù)的分類(lèi)39專(zhuān)題六 最簡(jiǎn)二次根式及分母有理化42專(zhuān)題七 非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用46專(zhuān)題八 二次根式的復(fù)習(xí)49 第一部分溫故知新 專(zhuān)題一 整式運(yùn)算1.由數(shù)字與字母 組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式中的 叫做單項(xiàng)式的系數(shù)單項(xiàng)式中所有字母的 叫做單項(xiàng)式的次數(shù)2.幾個(gè)

2、單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式多項(xiàng)式中 叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)3.單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為 4.整式加減實(shí)質(zhì)就是 后 5.同底數(shù)冪乘法法則：（m.n都是正整數(shù)）；逆運(yùn)算 6.冪的乘方法則： （m.n都是正整數(shù)）；逆運(yùn)算 7.積的乘方法則： （n為正整數(shù)）；逆運(yùn)算 8.同底數(shù)冪除法法則：（a0，m.n都是正整數(shù)）；逆運(yùn)算 9.零指數(shù)的意義：；10.負(fù)指數(shù)的意義：11.整式乘法：（1）單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式；（2）單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；（3）多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式12.整式除法：（1）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式；（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式知識(shí)點(diǎn)1.單項(xiàng)式多項(xiàng)式的相關(guān)概念歸納：在準(zhǔn)確記憶基本概念的基礎(chǔ)上，加強(qiáng)對(duì)概念的理解，并靈活的運(yùn)用例1.下列

3、說(shuō)法正確的是（ ）A沒(méi)有加減運(yùn)算的式子叫單項(xiàng)式 B.的系數(shù)是 C.單項(xiàng)式1的次數(shù)是0 D.是二次三項(xiàng)式例2.如果多項(xiàng)式是關(guān)于x的二次二項(xiàng)式，求m，n的值知識(shí)點(diǎn)2.整式加減歸納：正確掌握去括號(hào)的法則，合并同類(lèi)項(xiàng)的法則 例3.多項(xiàng)式中不含xy項(xiàng)，求k的值知識(shí)點(diǎn)3.冪的運(yùn)算歸納：冪的運(yùn)算一般情況下，考題的類(lèi)型均以運(yùn)算法則的逆運(yùn)算為主，加強(qiáng)對(duì)冪的逆運(yùn)算的練習(xí)，是解決這類(lèi)題型的核心方法。例4.已知 求（1）的值 （2）的值例5.計(jì)算 （1） （2）知識(shí)點(diǎn)4.整式的混合運(yùn)算歸納：整式的乘法法則和除法法則是整式運(yùn)算的依據(jù)，注意運(yùn)算時(shí)靈活運(yùn)用法則。例6.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中知識(shí)點(diǎn)5.運(yùn)用冪的法則比較大小歸納

4、：根據(jù)冪的運(yùn)算法則，可以將比較大小的題分為兩種：化為同底數(shù)比較；化為同指數(shù)比較例7.比較大小 （1） （2） 1.若A是五次多項(xiàng)式，B是三次多項(xiàng)式，則A+B一定是（ ） A.五次整式 B.八次多項(xiàng)式 C.三次多項(xiàng)式 D.次數(shù)不能確定2.已知，則、的大小關(guān)系是（ ） AB C D3.若，則等于（ ） A5 B.3 C.1 D.14.下列敘述中，正確的是（ ）A.單項(xiàng)式的系數(shù)是0，次數(shù)是3 B.a、0、22都是單項(xiàng)式 C.多項(xiàng)式是六次三項(xiàng)式 D.是二次二項(xiàng)式5.下列說(shuō)法正確的是（ ） A.任何一個(gè)數(shù)的0次方都是1 B. 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式 C. 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式 D.多項(xiàng)式至少有

5、兩項(xiàng)6. 下列計(jì)算： 正確的有（ ） A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)7.在的積中，不想含有項(xiàng)，則必須為 .8.若中不含有項(xiàng)，則 ， .9.比較大小 （1） （2） (3)10.計(jì)算（1） （2）專(zhuān)題二 乘法公式1.平方差公式： 平方差公式的一些變形：（1）位置變化： （2）系數(shù)變化： （3）指數(shù)變化： （4）符號(hào)變化：= （5）數(shù)字變化：98102=（1002）（100+2）=100004=9996（6）增項(xiàng)變化： （7）增因式變化： 2.完全平方公式：完全平方公式的一些變形：（1） 形如的計(jì)算方法 （2）完全平方公式與平方差公式的綜合運(yùn)用 （3）冪的運(yùn)算與公式的綜合運(yùn)用 （4

6、）利用完全平方公式變形，求值是一個(gè)難點(diǎn)。已知： ：，已知： ：，已知：已知：（5） 運(yùn)用完全平方公式簡(jiǎn)化復(fù)雜的運(yùn)算 知識(shí)點(diǎn)1.平方差公式的應(yīng)用例1.計(jì)算下列各題（1） （2） （3）9991001例2.計(jì)算（1） （2）知識(shí)點(diǎn)2.完全平方公式例3.計(jì)算（1） （2）例4.已知求（1） (2) 例5.已知，求xy的值知識(shí)點(diǎn)3.配完全平方式歸納：配完全平方式求待定系數(shù)有三種情況，求一次項(xiàng)系數(shù)（2個(gè)答案）求另一個(gè)平方項(xiàng)（1個(gè)答案）求另一個(gè)平方項(xiàng)的底數(shù)（2個(gè)答案）例6.已知是一個(gè)完全平方式，則的值為（ ） A.2 B. C. 4 D. 知識(shí)點(diǎn)4.技巧性運(yùn)算歸納：觀察規(guī)律，找突破口，準(zhǔn)確判斷是添項(xiàng)還是拆

7、項(xiàng)，熟記常見(jiàn)題型例6.（1）（1+）（1）（1+）（1）（1+）（1）（1+）例7.（1）（1）（1）（1）（1）例8.（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）例9.19901989+19881987+211.已知m+n=2，mn= 2，則m+n的值為（ ）A.4 B.2 C.16 D.82.若為正整數(shù)，且，則的值為（ ）A.833 B.2891 C.3283 D.12253.若，則等于（ ） A.9 B.10 C.2 D.14.下列說(shuō)法正確的是（ ） A2x3的項(xiàng)是2x，3 Bx1和1都是整式 Cx2+2xy+y2與都是多項(xiàng)式 D3x2y2xy+1是二次三項(xiàng)式5.若單項(xiàng)式3xmy2m

8、與2x2n2y8的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，則m，n的值分別是（ ） A1，5 B5，1 C3，4 D4，36.下列多項(xiàng)式中是完全平方式的是( ) A.2x2+4x4 B.16x28y2+1 C.9a212a+4D.x2y2+2xy+y27.若a=2，則a2+的值為（ ） A0 B2 C4 D68.如果多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，則m的值是（ ） A.3 B.3 C.6 D.69.的個(gè)位數(shù)字為（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 810.下列敘述中，正確的是（ ）A.單項(xiàng)式的系數(shù)是0，次數(shù)是3 B.a、0、22都是單項(xiàng)式 C.多項(xiàng)式是六次三項(xiàng)式 D.是二次二項(xiàng)式11.下列說(shuō)法正確的是（ ） A.任何

9、一個(gè)數(shù)的0次方都是1 B. 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式 C. 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式 D.多項(xiàng)式至少有兩項(xiàng)12.下列計(jì)算： 正確的有（ ） A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)13. 已知,x、y是非零數(shù)，如果，則.14. .15. 乘積=_.16. 若，則= .17. 已知，則 =_ =_.18. 已知，則的值是 .19. 已知的值為 .20. 已知的值為 .21. 當(dāng)= ，= 時(shí)，多項(xiàng)式有最小值，此時(shí)這個(gè)最小值 是 .22. 若的值是 .23. 若的值為 .24. 若有意義，則的取值范圍是 .25. 若代數(shù)式的值為0，則 ， .26. 計(jì)算的結(jié)果為 .27. 已知的值為 .2

10、8. 多項(xiàng)式是一個(gè)六次四項(xiàng)式，則 .29. 若代數(shù)式的值是8，則代數(shù)式的值為 .30. 已知的值為 .31. 計(jì)算的結(jié)果為 .32. 已知，則= .33. 若的值為 .34. （1） （2）35.若，求yx的值36.（1）若，求 （2）已知 ，求xy的值37.計(jì)算 ：38.已知，且xy，求xy的值39.已知，求的值.40.已知ab=2，bc=3，求a2+b2+c2abbcca的值專(zhuān)題三 平行線的性質(zhì)與判定 1.平行線的判定（1）同位角相等，兩直線平行（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行（3）同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行2.平行線的性質(zhì)（1）兩直線平行，同位角相等（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（3）兩直線平行

11、，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)3.余角性質(zhì)： 或 的余角相等 補(bǔ)角性質(zhì)： 或 的補(bǔ)角相等例1.如圖，AB，CD被EF所截，且AEG=CFG,EM,FN分別平分AEG，CFG。求證：EMFN例2.如圖，直線ABCD，MH，GN分別平分EMB,CNF，求證：MHNG例3.如圖，已知ABCD，分別探索下列兩個(gè)圖中B,D，E之間的關(guān)系例2圖NMHFGCEDBA例1圖NMHFGCEDBA例4.已知，ABCD，ABE和CDE的平分線相交于F點(diǎn)，E=140，求：BFD的度數(shù)(圖2)EDBCA(圖1)ECDBA（例4圖)EDBCAF1.已知，ABCD，DCB=70，CBF=20，EFB=130，求證：EFAB圖1EDCBA圖

12、2EDCBA圖3EDCBA2. 如圖，已知ABCD，分別探索下列三個(gè)圖中B,D,E之間的關(guān)系BAFEDC3. 如圖，已知ABCD，猜想下列三個(gè)圖中B,D,E，F(xiàn)之間的關(guān)系圖3EBFDCA圖2FEDCBA圖1FEDCBA4.如圖，已知l1l2，MN分別和直線l1、l2交于點(diǎn)A、B，ME分別和直線l1、l2交于點(diǎn)C、D點(diǎn)P在MN上（P點(diǎn)與A、B、M三點(diǎn)不重合）（1）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)、有何數(shù)量關(guān)系？（只須寫(xiě)出結(jié)論） 專(zhuān)題四 三角形的基本性質(zhì)1三角形三邊的關(guān)系（1）三角形任意兩邊之和大于第三邊（2）三角形任意兩邊之差小于第

13、三邊設(shè)a，b，c為三角形的三邊，用不等式表示三邊的關(guān)系 2三角形內(nèi)角和定理及推論（1）定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180（2）直角三角形的兩個(gè)銳角互余3.三角形的外角（1）定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角（2）三角形外角性質(zhì)。三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的 三角形的外角和等于 4.三角形具有穩(wěn)定性5.三角形中的三種重要線段（1）三角形的角平分線：三角形內(nèi)一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段，叫做三角形的角平分線。（2）三角形的中位線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中位線（3）三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線做垂線，

14、頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線注意：（1）三角形的角平分線、中線、高線都是 ；角的平分線是 （2）三角形的三條角平分線、三條中線均相交于三角形 一點(diǎn)：三角形的三條高線：銳角三角形在三角形 ；鈍角三角形在三角形 ；直角三角形在三角形 。 知識(shí)點(diǎn)1.三角形三邊的關(guān)系歸納：三角形三邊的關(guān)系常用來(lái)判斷三條已知線段能否構(gòu)成三角形，確定三角形第三邊的范圍，以及證明線段的不等關(guān)系。三角形邊長(zhǎng)問(wèn)題中，一定要注意判斷三角形的存在性。例1.如果三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為23cm和10cm，第三邊與其中一邊的長(zhǎng)相等，那么第三邊的長(zhǎng)為 cm例2.在ABC中，AB=AC，中線BD把ABC的周長(zhǎng)分為15和6兩部分，求A

15、BC各邊的長(zhǎng)知識(shí)點(diǎn)2.三角形內(nèi)角與外角歸納：（1）在角的計(jì)算中，盡量轉(zhuǎn)化在同一三角形內(nèi)，根據(jù)內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算（2）三角形外角性質(zhì)是非常重要的知識(shí)點(diǎn)，通常結(jié)合角平分線、高線及三角形內(nèi)角定理來(lái)解題較為常見(jiàn)例3圖CBDA例3. 如圖，某零件中BAC=90，B，C應(yīng)分別是21和32，CDA例4題B檢驗(yàn)工人量得BDC=148，就斷定此零件不合格，為什么？例4.已知ABC中，C=ABC=2A，BD是AC邊上的高，求DBC的大小例5.如圖，射線AD，BE，CF構(gòu)成如圖所示的角，求1+2+3等于多少？例5圖321FCAEBD 1.已知三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)比是1:5:6，則最大內(nèi)

16、角的度數(shù)為（ ）.現(xiàn)有長(zhǎng)的四根木棒，任選三根組成一個(gè)三角形，那么可以組成三角形的個(gè)數(shù)為（）CDA第5題B個(gè)個(gè)個(gè)個(gè).已知為直角三角形，若沿圖中虛線剪去，第6題圖則等于4.直角三角形兩個(gè)銳角的平分線所構(gòu)成的鈍角是 度5.已知中，為中線，=則與的周長(zhǎng)相差 6.如圖，中，為邊上的高，平方，求與的度數(shù)7. 已知，（）圖，若點(diǎn)是和的角平分線的交點(diǎn)，求與的關(guān)系（）圖，若點(diǎn)是和外角的角平分線的交點(diǎn)，求與的關(guān)系圖（）圖，若點(diǎn)是外角和的角平分線的交點(diǎn)，求與的關(guān)系圖圖 專(zhuān)題五 全等三角形1.全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等（3）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高，中線以及對(duì)應(yīng)角的平分線

17、（4）全等三角形的周長(zhǎng)、面積 2. 三角形全等的判定（1）三邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)稱(chēng)SSS）（2）兩邊及夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)稱(chēng)SAS）（3）兩角及夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)稱(chēng)ASA）（4）兩角及其一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)稱(chēng)AAS）（5）斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)稱(chēng)HL）注意：兩邊一角（SSA）和三角（AAA）對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等EC例1圖DBA知識(shí)點(diǎn)1.三角形全等的證明問(wèn)題歸納：靈活運(yùn)用三角形全等證明線段的關(guān)系及角與角之間的關(guān)系是三角形全等中常見(jiàn)的問(wèn)題。例1.如圖，一直DCE=90，CD=CE,ADAC于A，BE

18、AC于B，試說(shuō)明AB+AD=BEAEF例3圖BDC例2圖NQHMRP例2.如圖，在MNP中，MNP=45，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，證明：HN=PM例4圖4321DECBA知識(shí)點(diǎn)2.多次證明三角形全等歸納：有些線段或角的問(wèn)題只用一次三角形全等無(wú)法證明，所以，需要進(jìn)行2次證明三角形全等。例3.如圖，AB=CD，AE=DF，CE=BF，求證：BECF知識(shí)點(diǎn)3.三角形中的和、差、倍、分問(wèn)題歸納：利用三角形全等來(lái)證明線段的“和”“差”“倍”“分”，一般采用截長(zhǎng)或補(bǔ)短的方法截長(zhǎng)法：就是在長(zhǎng)線段上截取一段，使截取的線段等于兩條線段中的一條線段，然后證明剩下的線段等于兩條短線段中另一條線段。當(dāng)遇到角平分線時(shí)，

19、以角平分線為公共邊在較長(zhǎng)的邊上截取相等部分的方法，構(gòu)造三角形全等例4.如圖，ADBC，1=2，3=4，點(diǎn)D、E、C在同一直線上，證明：AD+BC=ABCEDBA例5圖補(bǔ)短法：就是延長(zhǎng)兩條短線段中的一條線段，使延長(zhǎng)線的部分等于兩條短線段中的另一條線段，再證明延長(zhǎng)后的線段等于長(zhǎng)線段當(dāng)遇到中線時(shí)，通常延長(zhǎng)中線一倍，采用補(bǔ)短的方法，構(gòu)造三角形全等例5.如圖，D為ABC的邊BC上的一點(diǎn)，且CD=AB，ADB=BAD，AE是ABD的中線，求證：AC=2AE1.下面兩個(gè)等腰三角形一定全等的是（ ）A.邊長(zhǎng)分別為2和3的兩個(gè)等腰三角形 B.邊長(zhǎng)分別為3和5的兩個(gè)等腰三角形C.邊長(zhǎng)分別為4和7的兩個(gè)等腰三角形

20、D.邊長(zhǎng)分別為5和11的兩個(gè)等腰三角形2.如圖，AB=AC,AD=AE,AB,DC交于點(diǎn)M，AC,BE交于點(diǎn)N，DAB=EAC，證明：AM=ANA第4題圖GDBECA第2題圖NMDBEC3.如圖，在ABC中，1=2,ABC=2C，求證：AB+BD=AC2EC1DBAA第3題圖1DB2C4.如圖，在ABC中，AD是BAC的平分線，E是BC中點(diǎn)，過(guò)E做EFAD，交AB于G，交CA的延長(zhǎng)線于F，求證：BG=CF5.如圖，在RtABC中，AB=AC，BAC=90，1=2，CEBD，CE交BD的延長(zhǎng)線于E，求證：BD=2CE6.證明：在直角三角形中30所對(duì)的直角邊等于90角所對(duì)的斜邊的一半 專(zhuān)題六 如何

21、做幾何證明題 1. 幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類(lèi)型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類(lèi)問(wèn)題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題。 2. 掌握分析、證明幾何問(wèn)題的常用方法： （1）綜合法（由因?qū)Ч瑥囊阎獥l件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題的解決； （2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止； （3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來(lái)，分析法

22、利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問(wèn)題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。 3. 掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的。1、證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類(lèi)問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例1.已知：如圖所

23、示，中，。 求證：DEDF分析：由是等腰直角三角形可知，由D是AB中點(diǎn)，可考慮連結(jié)CD，易得，。從而不難發(fā)現(xiàn)說(shuō)明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)CD，因?yàn)镃D既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長(zhǎng)ED到G，使DGDE，連結(jié)BG，證是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。 例2. 已知：如圖所示，ABCD，ADBC，AECF。求證：EF說(shuō)明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意： （1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量；（2）添輔助

24、線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形。2、證明直線平行或垂直 在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁?xún)?nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也可通過(guò)邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來(lái)證。例3. 如圖所示，設(shè)BP、CQ是的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。 求證：KHBC 分析：由已知，BH平分ABC，又BHAH，延長(zhǎng)AH交BC于N，則BABN，AHHN。同理，延長(zhǎng)AK交BC于M，則CACM，AKKM。從而由三角形的中位線定理，知KHBC。 說(shuō)明：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平

25、分線、中線或高線重合時(shí)，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個(gè)直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對(duì)稱(chēng)）而成一個(gè)等腰三角形。例4. 已知：如圖所示，ABAC，。 求證：FDED 說(shuō)明：有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。 說(shuō)明：證明兩直線垂直的方法如下： （1）首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見(jiàn)本題證二。 （2）找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個(gè)銳角互余。 （3）證明二直線的夾角等于90。3、證明一線段和的問(wèn)題 （一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長(zhǎng)法） 例5. 已知：如

26、圖，在中，BAC、BCA的角平分線AD、CE相交于O。 求證：ACAECD 分析：在AC上截取AFAE。易知，。由，知。，得：（二）延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法）例6. 已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，。 求證：EFBEDF 分析：此題若仿照例1，將會(huì)遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長(zhǎng)CB至G，使BGDF。1.如圖，四邊形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若B60，ABBC，且DEC60；求證：BCADAE2.如圖所示，已知為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AE

27、BD，連結(jié)CE、DE。 求證：ECED3. 已知如圖，在RtABC中，AB=CD，ABC=90，ABD=DBC，CEBD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明：BD=2CE A E D B C 4.圖(1)中,C點(diǎn)為線段AB上一點(diǎn),ACM,CBN是等邊三角形,AN與BM相等嗎?說(shuō)明理由;如圖（2）C點(diǎn)為線段AB上一點(diǎn), 等邊三角形ACM和等邊三角形CBN在AB的異側(cè),此時(shí)AN與BM相等嗎?說(shuō)明理由;如圖（3）C點(diǎn)為線段AB外一點(diǎn),ACM,CBN是等邊三角形,AN與BM相等嗎?說(shuō)明理由。MNN A CM B M N C BA BC 圖(1) 圖(2) 圖(3) 專(zhuān)題七 生活中的軸對(duì)稱(chēng)1.角平分線（1）角平分線上的

28、一點(diǎn)到角兩邊的 相等（2）角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)，一定在這個(gè)角的 2.線段垂直平分線（1）線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)的 相等（2）到線段的兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的 3.等腰三角形（1）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等，兩邊相等的三角形叫做等腰三角形（2）等腰三角形底邊上的中線、高線、頂角的角平分線重合叫做“ ”（3）等邊三角形：是特殊的等腰三角形，其中有一個(gè)角為60的等腰三角形是等邊三角形D例1圖CBA等邊三角形同樣具備“三線合一”的性質(zhì)4含30的直角三角形在直角三角形中30所對(duì)的直角邊等于90角所對(duì)的斜邊的一半知識(shí)點(diǎn)1.角平分線及線段垂直平分線

29、例1.如圖，AD為等腰直角三角形ABC的底角平分線，C=90，證明：AC+CD=ABABCDE例2圖例2.如圖，ABC中，AB=10，AC=6.BC的平分線分別交AB，BC與點(diǎn)E,D.求：ACE的周長(zhǎng)例3.如圖，在RtABC中，C=90，CAB的平分線AD交BC于D，若DE垂直平分AB，ACEBD例6圖ACEBD例5圖求，B的度數(shù)ABCDE例3圖知識(shí)點(diǎn)2.等腰三角形與等邊三角形ACDBE第1題圖例4.等腰三角形的一腰上的高于另一腰的夾角為20，則頂角為多少度？例5.如圖，在ABC中，AB=AC，E為BC中點(diǎn)，BDAC，垂足為D，若EAD=20求：ABD的度數(shù)例6.如圖，在等邊ABC的AC邊上取

30、中點(diǎn)D，BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使CE=CD，證明：BD=DE1.如圖，DE是AC的垂直平分線，AB=10cm，BC=11CM,則ABD的周長(zhǎng)為 cm2.如圖，在ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，且DA=DB=DC，若DAB=20，DAC=30，則BDC= 度BDAC第2題圖3.如圖，ABC為等邊三角形，BAD=CBE=ACF，則BEC= 度4.如圖，DE是ABC中AB邊的垂直平分線，分別交AB，BC與D，E，AE平方BAC，若B=30，求C的度數(shù)5.如圖，在ABC中，AB=AC,D,E都在BC上，且AD=AE，求證：BD=CEBDFCE第3題圖AEDB第5題圖CA6.如圖，ABC，AB=AC，D在AB上，E

31、在AC的延長(zhǎng)線上，且BD=CE，連接DE交BC于F，ADCB第4題圖EBCEFDA試探究DF與EF的數(shù)量關(guān)系 第二部分提前學(xué)習(xí) 專(zhuān)題一 勾股定理1、 勾股定理：1.內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。2.表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a ,b ,斜邊為c ,那么a+b=c。二、勾股定理的證明：常用的是拼圖法用拼圖法驗(yàn)證勾股定理的思路是：1)圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積是不會(huì)改變的；2）根據(jù)同一圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推到出勾股定理。常見(jiàn)的方法如下：方法一：做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別

32、為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a + b，所以面積相等. 即， 整理得 .方法二：以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 它的面積等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EH

33、A. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90.又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為a + b的正方形，它的面積等于. . .方法三：以a、b 為直角邊（ba）， 以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90. EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為ba的正方形，它的面

34、積等于. . .三、勾股定理的適用范圍： 勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間嗦存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊不具備這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理的時(shí)候，必須知道考察的對(duì)象是直角三角形。四、勾股定理的應(yīng)用： 1.已知直角三角形的任意兩邊，求第三邊 知道直角三角形一邊，可得到另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系五、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a ,b ,c ,滿足a+b=c，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，c邊就是斜邊。1.勾股定理的逆定理是判定三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它是通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a+

35、b與最長(zhǎng)邊的平方c作比較，若a+b=c，則是直角三角形，若a+bc，則是銳角三角形。注：不要誤認(rèn)為三角形的最長(zhǎng)邊一定就是c邊，也可用是a ,b 邊，要看清題目。六、勾股數(shù)： 1. 3 4 5 6 8 10 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 11 60 61 以及它們各自的相同倍數(shù)（整數(shù)倍，小數(shù)倍） 2.對(duì)于兩個(gè)任意的正整數(shù)m ,n（mn）,則m+n, mn,2mn也成勾股數(shù)。且(mn)+(2mn)=(m+n)。七、有關(guān)“螞蟻怎樣走最近”的問(wèn)題：通常的做法是將立體圖形展開(kāi)成為平面圖形，然后再在平面圖形上找準(zhǔn)與立體圖形相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，連結(jié)兩點(diǎn)之間的線段就是最短距離。1.勾

36、股定理的直接應(yīng)用：例1.正方形的面積是2，它的對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)。2.求第三條邊的長(zhǎng)：例2.在直角三角形中，a=3 b=4.第三邊的平方是_。例3.已知兩條線段的長(zhǎng)為6cm和8cm，當(dāng)?shù)谌龡l線段取_時(shí)，這三條線段能組成一個(gè)直角三角形。3.與高，面積有關(guān)：例4.兩個(gè)直角分別是3和4的直角三角形斜邊上的高是_。例5.等腰三角形的底邊為10cm，周長(zhǎng)為36cm，則它的面積是_cm.4.判斷三角形的形狀:通常做法是找較短的兩條邊，求它們的平方和，再和最長(zhǎng)的邊的平方進(jìn)行比較。5.求線段的長(zhǎng)：例6.在直角三角形中，C=90度，1=2，CD=1.5 BD=2.5，求AC的長(zhǎng)。6.求最短距離： 例7.如圖所示，螞蟻

37、要從棱長(zhǎng)為5cm的正方體的A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，問(wèn)最短距離是多少？7.有關(guān)梯子的問(wèn)題：一般情況下，隱含的條件是墻與地面垂直，自己做示意圖，再求解。例8.長(zhǎng)為4m的梯子搭在墻上與地面成45度角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為60度角，則梯子頂端沿墻角而升高了_m.8.有關(guān)旗桿的問(wèn)題：一般情況下隱含的條件是旗桿與地面垂直，自己作示意圖，再求解。例9.小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1m，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。1.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（ ）A

38、. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm2.求下列各圖字母中所代表的正方形的面積。225400A225400B256112C144400D 2.8米9.6米3.如圖，一次“臺(tái)風(fēng)”過(guò)后，一根旗桿被臺(tái)風(fēng)從離地面米處吹斷，倒下的旗桿的頂端落在離旗桿底部米處，那么這根旗桿被吹斷裂前至少有多高？4.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊和長(zhǎng)為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為_(kāi)cm5.如圖，一個(gè)圓柱形紙筒的底面周長(zhǎng)是40cm，高是30cm，一只小螞蟻在圓筒底的A處，它想吃到上底與下底面中間與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的蜜糖，試問(wèn)螞蟻爬行的最短的路程是多少

39、？6.如圖折疊長(zhǎng)方形的一邊BC，使點(diǎn)B落在AD邊的F處，已知：AB=3，BC=5，求折痕EF的長(zhǎng)7.如圖所示，已知四邊形ABCD中，AD=3cm，AB=4cm，DC=12cm，BC=13cm，且ABAD。求四邊形ABCD的面積。8.如圖14.2.7，已知CD6m， AD8m， ADC90， BC24m， AB26m求圖中陰影部分的面積AEBCDF 9.如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，以對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去（1）記正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a1=1，按上述方法所作的正方形的邊長(zhǎng)依次為a2，a3，a4，an，請(qǐng)求出a2，a3，a4的值；（2）根據(jù)以上規(guī)律寫(xiě)出an的表達(dá)式10.A、B與建筑物底部D在一直線上，從建筑物頂部C點(diǎn)測(cè)得A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30、60，且AB=20，求建筑物CD的高。11.某樓梯的側(cè)面視圖如圖4所示，其中米，因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長(zhǎng)度應(yīng)為 BCA3012. 如圖，要為一段高5米長(zhǎng)13米的樓梯鋪上紅地毯，至少需要紅地毯_米。 專(zhuān)題二 平方根與算數(shù)平方根