結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)哈工大版課后習(xí)題解答

1、第一章 單自由度系統(tǒng)1.1 總結(jié)求單自由度系統(tǒng)固有頻率的方法和步驟。單自由度系統(tǒng)固有頻率求法有：牛頓第二定律法、動(dòng)量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。1、 牛頓第二定律法 適用范圍：所有的單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。解題步驟：（1） 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析,得到系統(tǒng)所受的合力； （2） 利用牛頓第二定律,得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程； （3） 求解該方程所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。2、 動(dòng)量距定理法適用范圍：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。解題步驟：（1） 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析和動(dòng)量距分析；（2） 利用動(dòng)量距定理J,得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程； （3） 求解該方程所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根，

2、得到該系統(tǒng)的固有頻率。3、 拉格朗日方程法：適用范圍：所有的單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。解題步驟：（1）設(shè)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為，寫出系統(tǒng)對(duì)于坐標(biāo)的動(dòng)能T和勢能U的表達(dá)式；進(jìn)一步寫求出拉格朗日函數(shù)的表達(dá)式：L=T-U ； （2）由格朗日方程=0，得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程； （3） 求解該方程所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。4、 能量守恒定理法適用范圍：所有無阻尼的單自由度保守系統(tǒng)的振動(dòng)。解題步驟：（1）對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析、選廣義坐標(biāo)、寫出在該坐標(biāo)下系統(tǒng)的動(dòng)能T和勢能U的表達(dá)式；進(jìn)一步寫出機(jī)械能守恒定理的表達(dá)式 T+U=Const （2）將能量守恒定理T+U=Const對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得零,即，進(jìn)一步

3、得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程； （3） 求解該方程所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。1.2 敘述用衰減法求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法和步驟。用衰減法求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法有兩個(gè)：衰減曲線法和共振法。方法一：衰減曲線法。求解步驟：（1）利用試驗(yàn)測得單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)曲線，并測得周期和相鄰波峰和波谷的幅值、。 （2）由對(duì)數(shù)衰減率定義 ， 進(jìn)一步推導(dǎo)有， 因?yàn)檩^小， 所以有 。方法二：共振法求單自由度系統(tǒng)的阻尼比。（1）通過實(shí)驗(yàn)，繪出系統(tǒng)的幅頻曲線， 如下圖： 單自由度系統(tǒng)的幅頻曲線（2）分析以上幅頻曲線圖，得到：；于是 ；進(jìn)一步 ；最后 ；1.3 敘述用正選弦激勵(lì)求單自由度系統(tǒng)阻尼比

4、的方法和步驟。用正選弦激勵(lì)求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法有兩個(gè)：幅頻（相頻）曲線法和功率法。方法一：幅頻（相頻）曲線法當(dāng)單自由度系統(tǒng)在正弦激勵(lì)作用下其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：,其中： ； (1) (2)從實(shí)驗(yàn)所得的幅頻曲線和相頻曲線圖上查的相關(guān)差數(shù)，由上述（1），（2）式求得阻尼比。 方法二：功率法：（1） 單自由度系統(tǒng)在作用下的振動(dòng)過程中，在一個(gè)周期內(nèi)，彈性力作功為 、阻尼力做功為 、激振力做作功為 ；（2） 由機(jī)械能守恒定理得，彈性力、阻尼力和激振力在一個(gè)周期內(nèi)所作功為零，即： +；于是 - 進(jìn)一步得： ；（3） 當(dāng)時(shí)，則 ，得 , 。m圖1-33（a）1.4 求圖1-35中標(biāo)出參數(shù)的系統(tǒng)的固有頻率。 （

5、a）此系統(tǒng)相當(dāng)于兩個(gè)彈簧串聯(lián)，彈簧剛度為k1、簡支梁剛度為 ； 等效剛度為k;則有 ； 則固有頻率為：； 圖1-33（b）m（b）此系統(tǒng)相當(dāng)于兩個(gè)彈簧并聯(lián), 等效剛度為: ; 則固有頻率為: m圖1-33（c）(c)系統(tǒng)的等效剛度 則系統(tǒng)的固有頻率為 圖1-33（d）m（d）由動(dòng)量距定理得： （）= 得： ， 則 。 1.5 求下圖所示系統(tǒng)的固有頻率。圖中勻質(zhì)輪A半徑R,重物B的重量為P/2,彈簧剛度為k. 圖1-34AB0x 解：以 為廣義坐標(biāo)，則 系統(tǒng)的動(dòng)能為 系統(tǒng)的勢能為： ；拉格朗日函數(shù)為L=T-U ;由拉格朗日方程 得 則，=所以：系統(tǒng)的固有頻率為圖1-35RM1.6求圖1-35所示

6、系統(tǒng)的固有頻率。圖中磙子半徑為R，質(zhì)量為M，作純滾動(dòng)。彈簧剛度為K 。 解：磙子作平面運(yùn)動(dòng)， 其動(dòng)能T=T平動(dòng) +T轉(zhuǎn)動(dòng) 。 ；而勢能；系統(tǒng)機(jī)械能;由得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程；得系統(tǒng)的固有頻率 ； 1.7求圖1-36所示齒輪系統(tǒng)的固有頻率。已知齒輪A的質(zhì)量為mA，半徑為rA，齒輪B的質(zhì)量為mB，半徑為rB,桿AC的扭轉(zhuǎn)剛度為KA, ,桿BD的扭轉(zhuǎn)剛度為KB, 解：由齒輪轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系 得角速度 ；轉(zhuǎn)角 ；系統(tǒng)的動(dòng)能為：D（c）AB圖1-36C； 系統(tǒng)的勢能為：; 系統(tǒng)的機(jī)械能為；由 得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程；因此系統(tǒng)的固有頻率為： ；1.8已知圖所示振動(dòng)系統(tǒng)中，勻質(zhì)桿長為， 質(zhì)量為m，兩彈簧剛度皆為K，阻

7、尼系數(shù)為C，求當(dāng)初始條件時(shí)（）的穩(wěn)態(tài)解； （）的解； 解：利用動(dòng)量矩定理建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程 ； 而 ； 得 ；化簡得 (1)(1)求的穩(wěn)態(tài)解；將代入方程（1）得 （2）令 得 （3）設(shè)方程（3）的穩(wěn)態(tài)解為 （4）將（4）式代入方程（3）可以求得：； ；(2)求的解；將代入方程（1）得 （5）令 得 （6）方程（6）成為求有阻尼的單自由度系統(tǒng)對(duì)于脈沖激勵(lì)的響應(yīng)。由方程（6）可以得到初始加速度；然后積分求初始速度 ；再積分求初位移；這樣方程（6）的解就是系統(tǒng)對(duì)于初始條件、和的瞬態(tài)響應(yīng)；將其代入方程（6）可以求得：最后得1.9圖所示盒內(nèi)有一彈簧振子，其質(zhì)量為m，阻尼為C，剛度為K，處于靜止?fàn)顟B(tài)，方

8、盒距地面高度為H，求方盒自由落下與地面粘住后彈簧振子的振動(dòng)歷程及振動(dòng)頻率。解：因?yàn)樵谧杂陕潴w過程中彈簧無變形，所以振子與盒子之間無相對(duì)位移。在粘地瞬間，由機(jī)械能守恒定理 的振子的初速度；k/2c mk/2H圖1-38底版與地面粘住后，彈簧振子的振動(dòng)是對(duì)于初速度的主動(dòng)隔振系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為： ； 或 或 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程是對(duì)于初始條件的響應(yīng)： ； ； ；k/2ck/2y(t)y my圖1-391.10汽車以速度V在水平路面行使。其單自由度模型如圖。設(shè)m、k、c已知。路面波動(dòng)情況可以用正弦函數(shù)y=hsin(at)表示。求：（1）建立汽車上下振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型；（2）汽車振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解。解：（1）建立汽車

9、上下振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型；由題意可以列出其運(yùn)動(dòng)方程： 其中：表示路面波動(dòng)情況；1表示汽車上下波動(dòng)位移。 將其整理為： (1) 將代入得 (2)汽車振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解: 設(shè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為： 代入系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程（1）可解得：；1.11.若電磁激振力可寫為，求將其作用在參數(shù)為m、 k、 c的彈簧振子上的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：首先將此激振力按照傅里葉級(jí)數(shù)展開：其中：； 因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以。于是 而 ；式中 ；1.12.若流體的阻尼力可寫為,求其等效粘性阻尼。解：（1）流體的阻尼力為 ；（2）設(shè)位移為 ，而 ；（3）流體的阻尼力的元功為；（4）流體的阻尼力在一個(gè)振動(dòng)周期之內(nèi)所消耗的能量為： （5）粘性阻尼力在一個(gè)振動(dòng)周期之內(nèi)

10、所消耗的能量為： （6）等效粘性阻尼：取， 令 可得：第二章 兩自由度系統(tǒng)2.1 求如圖2-11所示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，并畫出振型。mm圖2-11解：（1）系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程; ; 即 ； ； （1） （2）系統(tǒng)的特征方程 根據(jù)微分方程理論，設(shè)方程組（1）的解為：； （2）將表達(dá)式（2）代入方程組（1）得： （3）因?yàn)椴豢赡芸倿榱?，所以只有前面的系?shù)為零：；即 ； （4）(3)系統(tǒng)的頻率方程 若系統(tǒng)振動(dòng)，則方程有非零解，那么方程組的系數(shù)行列式等于零，即： ；展開得 ； （5）系統(tǒng)的固有頻率為： ； （6）(4)系統(tǒng)的固有振型 將，代入系統(tǒng)的特征方程（4）式中的任一式，得系統(tǒng)的固有振型，即

11、各階振幅比為： （7）系統(tǒng)各階振型如圖所示：其中（a）是一階振型，（b）是二階振型。（a）（b）+1+1+1-1 (5)系統(tǒng)的主振動(dòng)系統(tǒng)的 第一主振動(dòng)為系統(tǒng)的第一主振動(dòng)為2mmkkLLL圖2-122.2確定圖2-12所示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。 解：（1）系統(tǒng)的動(dòng)能 （2）系統(tǒng)的勢能 因?yàn)閺椈缮隙薃、B兩點(diǎn)的位移 所以系統(tǒng)的勢能為 ; (3)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù) （4）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 由Lagrange方程 可得 即(5)系統(tǒng)的特征方程設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的解為代入系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程得系統(tǒng)的特征方程即 （6）系統(tǒng)的頻率方程 系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零即

12、解得,系統(tǒng)的固有頻率 ；(7)系統(tǒng)的固有振型 將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個(gè)可得系統(tǒng)的固有振型 （8）系統(tǒng)的主振動(dòng)圖2-132kkmL2.3一均質(zhì)細(xì)桿在其端點(diǎn)由兩個(gè)線性彈簧支撐（圖2-13），桿的質(zhì)量為m，兩彈簧的剛度分別為2K和K。（1）寫出用桿端鉛直位移u1和u2表示的運(yùn)動(dòng)方程； （2）寫出它的兩個(gè)固有頻率；（3）畫出它的兩個(gè)固有振型； 解：(1) 均質(zhì)桿的運(yùn)動(dòng)微分方程 以均質(zhì)桿的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，均質(zhì)桿的質(zhì)心C的位移為 均質(zhì)桿繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)角為 均質(zhì)桿的運(yùn)動(dòng)微分方程 即 （1）（2）系統(tǒng)的特征方程 設(shè)運(yùn)動(dòng)微分方程（1）的解為 、，代入方程（1）即（4） 系統(tǒng)的頻率方程

13、系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零即 解得系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率 ；（5） 系統(tǒng)的固有振型 將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個(gè)可得系統(tǒng)的兩階固有振型 （6）系統(tǒng)的兩階主振動(dòng)2mm2k圖2-142.4確定圖2-14所示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，并畫出固有振型。解：（1）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程 即 （1） （2）系統(tǒng)特征方程 設(shè)運(yùn)動(dòng)微分方程（1）的解為和 ，代入方程（1）即（3）系統(tǒng)頻率方程系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零即 解得;（4）系統(tǒng)的固有振型 將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個(gè)可得系統(tǒng)的兩階固有振型 -1/2+1 +1+1 圖2-1

14、52.5圖2-15所示的均質(zhì)細(xì)桿懸掛成一擺，桿的質(zhì)量為m，長為L，懸線長為L/2，求該系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。解：（1）求均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)心的坐標(biāo)和質(zhì)心的速度 ； ； （2）求系統(tǒng)的Lagrange函數(shù) ； ； （3）求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程由Lagrange方程 可得 即 （4）系統(tǒng)特征方程 設(shè)運(yùn)動(dòng)微分方程（1）的解為 和，代入方程（1）即 （3）系統(tǒng)頻率方程系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零即 解得系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率 ；（4）系統(tǒng)的固有振型 將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個(gè)可得系統(tǒng)的兩階固有振型 +1-13/111+1+1 圖2-162.6兩層樓用集中質(zhì)量表示如圖

15、2-16所示的系統(tǒng)。其中；證明該系統(tǒng)的固有頻率和固有振型為： ； 解：(1)系統(tǒng)振動(dòng)微分方程 （1）（2）系統(tǒng)特征方程 設(shè)方程組的解為 代入方程組（1）式得，系統(tǒng)特征方程 （2）（3）系統(tǒng)頻率方程 因?yàn)榭紤]系統(tǒng)振動(dòng)的情況，所以要求方程（2）有非零解，而方程（2）有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式等于零： 即）（） (3)（4）系統(tǒng)固有頻率 根據(jù)已知條件 ，;，;代入（3）式得 ， , ；（5）系統(tǒng)固有振型：將系統(tǒng)固有頻率 代入系統(tǒng)特征方程（2）得系統(tǒng)固有振型；（6） 系統(tǒng)的主振動(dòng)： ； 證畢。圖2-17 w e m27 如圖2-17所示的系統(tǒng)，設(shè)激振力為簡諧形式，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 解: (1)

16、建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程根據(jù)牛頓第二定律，分別對(duì)和列出振動(dòng)微分方程 （1-1）即： （1-2） (2)求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 （1-3）即 （1-4）將表達(dá)式（1-4）代入式（1-2），根據(jù)兩個(gè)方程中包含的系數(shù)和為零及包含的系數(shù)和為零，可得如下方程組： 即 （1-5）求解方程組（1-5）得： （1-6） 所以在公式 中有 (1-7) 2.8在如圖2-18所示的系統(tǒng)中，一水平力Fsin(t)作用于質(zhì)量塊M上，求使M不動(dòng)的條件。 解：（1）系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，選廣義坐標(biāo)為x,圖2-18Mm （2）系統(tǒng)的動(dòng)能 （3）系統(tǒng)的勢能 （4）Lagrange函數(shù) （5）對(duì)Lagrange函數(shù)求導(dǎo) （

17、6）Lagrange方程得因?yàn)檎駝?dòng)為微幅振動(dòng)，所以（7） 解方程： 設(shè)，代入方程并整理得： 因?yàn)镸不動(dòng)，所以A=0。而B不能等于零，故，解得；2.9在圖2-19所示的系統(tǒng)中，軸的彎曲剛度為EJ，圓盤質(zhì)量為m，它對(duì)其一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=mR2/4，其中R=L/4。設(shè)軸在它的靜平衡位置時(shí)是水平的，且忽略軸的質(zhì)量。求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和固有頻率。 解：（1）系統(tǒng)自由度、廣義坐標(biāo)： 圖2-19所示的系統(tǒng)自由度N=2，選Y、為 廣義坐標(biāo)。 （2）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程 （1）圖2-19OyR其中系數(shù)： （3）系統(tǒng)特征方程 設(shè) 代入方程（1）得整理得 （2）（4）系統(tǒng)固有頻率特征方程（2）由非零解的充分必要

18、條件是其系數(shù)行列式等于零：即解得：圖2-20m2.10圖2-20所示的是兩自由度系統(tǒng)。其中，k=987,m=1，C=0.6284，,求系統(tǒng)的固有頻率、振型和u1的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 解：（1）系統(tǒng)自由度、廣義坐標(biāo) 系統(tǒng)自由度N=2； 廣義坐標(biāo)選u1和u2 （2）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程 根據(jù)牛頓第二定律，寫出 寫成矩陣形式： （2）系統(tǒng)的固有頻率和振型 對(duì)于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程兩邊作拉氏變換得有 解得因此系統(tǒng)的固有振型，即各階振幅比為： 系統(tǒng)的 第一主振動(dòng)為 系統(tǒng)的第一主振動(dòng)為 （3）u1的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由拉氏方程組解得于是以代入得u1的穩(wěn)態(tài)解為2.11 減小受簡諧激振勵(lì)單自由度系統(tǒng)的振幅的方法之一，是在該系統(tǒng)上附加一

19、個(gè)“可調(diào)吸振器”，吸振器由彈簧-質(zhì)量組成。這樣原系統(tǒng)和吸振器就構(gòu)成了一個(gè)兩自由度系統(tǒng)，見圖2-21. 圖2-21 m2m1 （1）建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程；（2）設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)定響應(yīng)為 ， 試證明 其中 （3）將吸振器調(diào)到，證明當(dāng)時(shí)，即原系統(tǒng)處于共振狀態(tài)，的響應(yīng)振幅為零；（4）若吸振器調(diào)到時(shí)，畫出和對(duì)頻率比的頻幅圖。解：（1）對(duì)每個(gè)質(zhì)量進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；即 ；（2）將系統(tǒng)的穩(wěn)定響應(yīng)代入運(yùn)動(dòng)微分方程組得；由Cramer法則，其中 （3）當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的頻率方程為；將代入上式，顯然滿足方程，故此時(shí)系統(tǒng)處于共振狀態(tài)。并且有設(shè)，且時(shí)，可得所以頻幅圖為 第三章 多自由度系統(tǒng)m2m3圖

20、3-10m13.1試求圖3-10所示系統(tǒng)在平衡位置附近作微振動(dòng)的振動(dòng)方程。 解：（1）系統(tǒng)自由度、廣義坐標(biāo)圖示系統(tǒng)自由度N=2，選x1、x2和x3為廣義坐標(biāo)；（2）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程根據(jù)牛頓第二定律，建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程如下：整理如下寫成矩陣形式（1）（3）系統(tǒng)特征方程設(shè)代入系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程（1）得系統(tǒng)特征方程（2） （4）系統(tǒng)頻率方程 系統(tǒng)特征方程（2）有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式等于零，即 展開得系統(tǒng)頻率方程進(jìn)一步計(jì)算得 (3)其中 求解方程（3）得系統(tǒng)固有頻率 （4）（5）系統(tǒng)固有振型 將系統(tǒng)固有頻率代入系統(tǒng)特征方程（2）得系統(tǒng)固有振型，即各階振型之比： （5）（6）系統(tǒng)振動(dòng)方程 （6

21、）在方程（6）中含有6個(gè)待定常數(shù)：、和。它們由初始條件、和確定。3.2若.題中m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K，求該系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。解：若m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K，則 系統(tǒng)頻率方程（3）成為化簡所以固有頻率：固有振型： 3.3求圖3-11所示的三垂擺作微振動(dòng)的固有頻率和固有振型。解：（1）系統(tǒng)自由度、廣義坐標(biāo)圖3-11所示的三垂擺系統(tǒng)自由度N=3，廣義坐標(biāo)取、和； （2）系統(tǒng)中A、B、C三質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo) 圖311 （3）統(tǒng)中A、B、C三質(zhì)點(diǎn)的速度 （4）統(tǒng)中A、B、C三質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能 因?yàn)?/p>

22、對(duì)于微振動(dòng)有；（5）統(tǒng)中A、B、C三質(zhì)點(diǎn)的勢能；(6)L=T-V;根據(jù)拉格朗日定理： 得：（7）頻率和固有振型：；解得固有頻率：固有振型：；xyABCkkk圖3-123.4兩端由彈簧支撐的剛性均質(zhì)桿，質(zhì)量均為沒，在B處用鉸鏈連接，如圖3-12所示，如選取B點(diǎn)的豎直位移y和兩桿繞B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，試從特征方程出發(fā)，求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。（1）AB桿的動(dòng)能： ；AB桿的勢能：；（2）BC桿的動(dòng)能：；BC桿的勢能：；（3）三根彈簧的勢能：；（4）；由拉格朗日方程可得：；令 ；（5）由 令 解得： 固有頻率：；固有振型：3.5試求圖3-13所示系統(tǒng)的振動(dòng)方程，并求其固有頻率和固有振型。I3I

23、3K1K2K3I2圖3-13解：（1）以為廣義坐標(biāo)，建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：系統(tǒng)的動(dòng)能：系統(tǒng)的勢能：；L=T-V；由拉格朗日方程得：（2）當(dāng) 時(shí)可得固有頻率：固有振型：3.6圖3-14所示的兩均質(zhì)桿是等長的，但具有不同的質(zhì)量，試求系統(tǒng)作微振動(dòng)的振動(dòng)方程，若，試求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型（設(shè)選取兩桿的轉(zhuǎn)角和為廣義坐標(biāo)，其中以順時(shí)針方向?yàn)檎?，以逆時(shí)針方向?yàn)檎?。圖2-21解：（1）系統(tǒng)的動(dòng)能：（2）系統(tǒng)的勢能：(3)建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：由拉格朗日方程 由條件，將上述方程整理得：；從系統(tǒng)的特征方程解得固有頻率 ；固有振型3.7試從矩陣方程出發(fā)，左乘，利用正交關(guān)系證明 i=1，2，n其中n為系統(tǒng)自

24、由度數(shù)。解：由式 可得：；由正交關(guān)系可知：結(jié)論得證.3.8圖3-15中簡支梁有三個(gè)置于它的四分之一點(diǎn)處的質(zhì)量。試以微小的平動(dòng)作為位移坐標(biāo)，梁的自重忽略不計(jì)，其彎曲剛度為EI。假設(shè)，求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，對(duì)振型規(guī)范化并畫出各階振型。yx圖3-15解：（1）表示在點(diǎn)作用單位力而在點(diǎn)產(chǎn)生的撓度。利用圖乘法可得：同理： ； ； ； ；（2）以各小豎向位移為廣義坐標(biāo)，建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：整理成矩陣形式：；固有頻率：固有振型：正規(guī)化：振型21各階振型圖：振型111.414211-1.414振型3 3.9一輕型飛行器的水平穩(wěn)定器被簡化為3個(gè)集中質(zhì)量系統(tǒng)的模型，見圖3-16，其剛度、質(zhì)量矩陣和固有頻

25、率及模態(tài)形狀已經(jīng)求出。若飛行器遇到一突然的陣風(fēng)，其產(chǎn)生的階躍力為f (t)t1圖3-16V1P1V3P3其中是單位階躍力，如圖3-16。（1）確定模態(tài)響應(yīng)表達(dá)式，假設(shè)；（2）確定響應(yīng)的表達(dá)式，并指出個(gè)模態(tài)的貢獻(xiàn)。其中解：（1）進(jìn)行坐標(biāo)變換：（2）3.10一棟三層樓房，如圖3-17，其剛度、質(zhì)量矩陣和固有頻率及振型如下：（1）確定模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度矩陣M，K；（2）若確定模態(tài)力；（3）確定穩(wěn)定響應(yīng)的表達(dá)式；（4）用模態(tài)位移法確定的響應(yīng)，并指出各階模態(tài)對(duì)響應(yīng)的貢獻(xiàn)，并列出當(dāng)激振頻率分別為時(shí)，的振幅隨截取模態(tài)數(shù)變化的表格。解： （1） （2） （3） （4）階數(shù)激振頻率N=1N=2N=30.3742

26、0.37420.37490.49660.49660.4992-0.1102-0.1102-0.10573.11 當(dāng)3.10 題中的柔度矩陣為（1）用模態(tài)加速度法，確定響應(yīng)的表達(dá)式；（2）像3-10題一樣，列出當(dāng)激勵(lì)頻率分別為時(shí)的的振幅隨截取模態(tài)數(shù)變化的表格，并對(duì)結(jié)果加以分析。解（1）（2）的振幅隨截取模態(tài)數(shù)變化的表格階數(shù)激振頻率N=1N=2N=30.37500.37500.37500.49910.49910.4992-0.10760.1076-0.1057和上一題所得結(jié)果比較可以看出：（1）兩種方法所得的結(jié)果基本相同，且隨項(xiàng)數(shù)增加，兩者差別變小。（2）用模態(tài)加速度法的收斂速度比位移法要快。 例如 當(dāng)時(shí)，用位移法各階模態(tài)相加才收斂到0.3749，而用加速度法第一項(xiàng)就收斂到0.3750。第四章 連續(xù)彈性體的振動(dòng)4.1一端固定，一端自由的均勻桿，在自由端有一彈簧常數(shù)為k的軸向彈簧支承（圖4-23），試推導(dǎo)縱向振動(dòng)的頻率方程，并對(duì)兩種極端情形：（1）,（2）,進(jìn)行討論。Lm,EAk圖423解： 其邊界條件為：處，；處，。將代入得：；得到縱向振動(dòng)頻率方程為當(dāng)時(shí)，=0 （）當(dāng)時(shí)， （）4.2 一均質(zhì)桿，兩端都是自由端，開始時(shí)在端部用相等的力壓縮，若將力突然移去，求其縱向振動(dòng)。