高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件54

1、科學(xué)出版社,二、直接積分法,三、不定積分的第一類換元積分法,一、 不定積分概念,第四節(jié),不定積分,第五章,四、不定積分的第二類換元積分法,五、分部積分法,六、有理函數(shù)的積分,七、三角函數(shù)有理式的積分,八、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分,科學(xué)出版社,定義 1. 函數(shù),在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為,上的不定積分,其中, 積分號(hào);, 被積函數(shù);, 被積表達(dá)式., 積分變量;,若,可積，則,( C 為任意常數(shù) ),例如,記作,一、不定積分的概念,C 稱為積分常數(shù)，表示原函數(shù)全體，不可省略！,科學(xué)出版社,從不定積分定義可知:,或,或,利用逆運(yùn)算思想，直接寫出原函數(shù),二、 直接積分法,(1)式表明函數(shù)先積分再微分得

2、到的還是原來(lái)的函數(shù),而(2) 式表明先微分再積分則要增加一個(gè)常數(shù)!,科學(xué)出版社,科學(xué)出版社,或,或,科學(xué)出版社,不定積分的性質(zhì),推論: 若,則,科學(xué)出版社,例1.,解:,求,原式 =,例2. 求,解:,原式 =,原式 =,科學(xué)出版社,例3. 求,解:,原式 =,科學(xué)出版社,解:,例4.,求,原式 =,科學(xué)出版社,例5.,解:,例6.,解:,原式 =,求,求,原式 =,科學(xué)出版社,第一類換元法,設(shè),可導(dǎo),則有,三、不定積分的第一類換元積分法,第一類換元法又稱“湊微分法”，,湊出一個(gè)微分：,就是在被積函數(shù)中,科學(xué)出版社,解：,例8.,計(jì)算,解：,例7 .,看作u，直接湊微分,計(jì)算,科學(xué)出版社,計(jì)算

3、,解：,例11.,計(jì)算,解：,類似,例9.,例10.,計(jì)算,解：,原式,原式,原式,科學(xué)出版社,例12.,解:,令,則,想到公式,計(jì)算,原式,科學(xué)出版社,例13.,想到,解:,(直接湊微分),計(jì)算,科學(xué)出版社,例14.,解:,原式 =,計(jì)算,科學(xué)出版社,例15.,解法1,計(jì)算,科學(xué)出版社,解法 2,同樣可證,或,例9例13 可以作為基本積分公式記住.,科學(xué)出版社,計(jì)算,解：,例17.,計(jì)算,解：,例16.,科學(xué)出版社,解：,例18.,計(jì)算下列不定積分,科學(xué)出版社,例18.,解：,科學(xué)出版社,常用的幾種湊微分形式:,萬(wàn)能湊冪法,科學(xué)出版社,科學(xué)出版社,例19. 計(jì)算,解法1,解法2,結(jié)果一樣！,

4、科學(xué)出版社,例20.,計(jì)算下列不定積分:,解：,科學(xué)出版社,例21.,計(jì)算下列不定積分:,解：,科學(xué)出版社,例22.,計(jì)算下列不定積分:,解：,原式,科學(xué)出版社,例22.,計(jì)算下列不定積分:,解：,科學(xué)出版社,例23.,計(jì)算下列不定積分:,解：,科學(xué)出版社,例23.,解：,科學(xué)出版社,例24. 計(jì)算,解:,原式 =,科學(xué)出版社,例25.,解:,分析:,計(jì)算,原式 =,科學(xué)出版社,例26.,解:,計(jì)算,原式=,科學(xué)出版社,四、第二類換元法,第一類換元法解決的問(wèn)題,難求,易求,若所求積分,易求,則得第二類換元積分法 .,難求，,設(shè),是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) , 且,具有原函數(shù) ,則有換元公式,的反函數(shù).,科

5、學(xué)出版社,例27.,計(jì)算,解：,令,得,于是,再將,代回，整理得,（也可用湊微分法）,科學(xué)出版社,例28.,計(jì)算,解：,希望去掉根號(hào)，故令,于是,原式,科學(xué)出版社,例29. 求,解: 令,則, 原式,原式,科學(xué)出版社,例30. 求,解:,則, 原式,令,科學(xué)出版社,例31. 求,解:,則, 原式,科學(xué)出版社,注:,1. 被積函數(shù)含有,除采用三,采用雙曲代換,消去根式 ,所得結(jié)果一致 . 還可用代換,或,角代換外, 還可利用公式,2. 再補(bǔ)充兩個(gè)常用雙曲函數(shù)積分公式,科學(xué)出版社,倒代換,例32.,解:,則,當(dāng)x 0 時(shí), t 0,當(dāng) x 0 時(shí), 也有相同的結(jié)果.,計(jì)算下列不定積分:,故,(1)

6、令,科學(xué)出版社,例33.,(2),解:,令,則,于是,（也可用部分分式方法）,科學(xué)出版社,例34.,計(jì)算,解:,令,則,于是,（也可用部分分式方法）,科學(xué)出版社,例35.,計(jì)算,解:,因?yàn)楸环e函數(shù)中有,故可設(shè),則,于是,（也可用拆項(xiàng)法做）,科學(xué)出版社,注:,第二類換元法常見(jiàn)類型:,令,令,令,或,令,或,令,或,第八節(jié)講,科學(xué)出版社,由導(dǎo)數(shù)公式,得,實(shí)際操作程序：,(1) v 容易求得 ;,容易計(jì)算 .,五、分部積分法,移項(xiàng)后,湊一個(gè)微分dv,交換u、v位置,科學(xué)出版社,例36.,解: 令,則, 原式,同理,原式,計(jì)算,科學(xué)出版社,例37.,解: 取,則, 原式,當(dāng)被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù) (或三角

7、函數(shù)) 與冪函數(shù),相乘時(shí)，將后者取為u，前者取為v.,冪函數(shù)的冪次會(huì)降低，故稱 “降冪法”. 如上面兩例.,由于在運(yùn)算過(guò)程中,計(jì)算,注：,科學(xué)出版社,例38.,計(jì)算,解：,科學(xué)出版社,例39.,解: 令,則,原式 =,計(jì)算,科學(xué)出版社,例40.,計(jì)算,解：,原式 =,例39和例40給出的是“升冪法”，,三角函數(shù)) 與冪函數(shù)相乘時(shí).,用在被積函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù) (或反,冪函數(shù)的冪次會(huì)升高.,是由于在運(yùn)算過(guò)程中,科學(xué)出版社,例41.,計(jì)算,解：,原式 =,科學(xué)出版社,解:, 則,繼續(xù)湊微分,故,注: 也可設(shè),為三角函數(shù) , 但兩次所設(shè)類型,必須一致 .,本例及例43是循環(huán)法.,例42.,計(jì)算,取,科學(xué)

8、出版社,例43.,計(jì)算,解:,于是,科學(xué)出版社,將被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 ,按 “ 反對(duì)冪指三” 的,順序,前者為 后者為,例44. 求,解: 令,則,原式=,反: 反三角函數(shù) 對(duì): 對(duì)數(shù)函數(shù) 冪: 冪函數(shù) 指: 指數(shù)函數(shù) 三: 三角函數(shù),科學(xué)出版社,例45. 計(jì)算,解:,于是,可先用三角函數(shù)湊微分,科學(xué)出版社,例46. 計(jì)算,解: 若湊,則做分部積分后,不易運(yùn)算. 因此可考慮湊微分,于是,科學(xué)出版社,例47.,解:,則,得遞推公式,計(jì)算,令,科學(xué)出版社,注:,遞推公式,已知,利用遞推公式可求得,例如,科學(xué)出版社,例48.,證:,證明遞推公式:,設(shè),科學(xué)出版社,注:,分部積分題目的類型:,1

9、) 直接分部化簡(jiǎn)積分 ;,2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式 ;,(注意: 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型不變 , 解出積分后加 C ),3) 對(duì)含自然數(shù) n 的積分, 通過(guò)分部積分建立遞 推公式 .,科學(xué)出版社,例49.,的一個(gè)原函數(shù)是,求,解:,若先求出,再求積分反而復(fù)雜.,已知,科學(xué)出版社,例50.,解法1：,令,則,故,計(jì)算,先換元后分部,科學(xué)出版社,解法2：,直接用分部積分法,科學(xué)出版社,六、 有理函數(shù)的積分,有理函數(shù):,時(shí),為假分式;,時(shí),為真分式,有理函數(shù),多項(xiàng)式 + 既約真分 式,分解,若干部分分式之和,設(shè),是既約分式，,科學(xué)出版社,則部分分式中有形式：,其中,都是

10、待定的常數(shù).,科學(xué)出版社,例51.,解: 被積函數(shù)分解為可以寫成,為確定A1,的值, 在等式兩邊同乘以(x+3),再令x=-3 得,計(jì)算,A1=1.,為確定A2的值,在等式兩邊同乘以(x-2), 再令x=2,得A2=2.,科學(xué)出版社,因此,科學(xué)出版社,例52.,解:,在等式兩邊同乘以 x-1，再令x=1,得A=1,被積函數(shù)分解為可以寫成,計(jì)算,在等式同乘以(x2+1)2, 再令x=i 得-2i=Di+E，即D=-2，E=0,在等式兩邊同乘以x再令x=. 得B= -A= -1.,在等式兩邊令 x=0，得-2 = -1+C，即C=-1,科學(xué)出版社,故,于是 原式=,科學(xué)出版社,四種典型部分分式的積

11、分:,變分子為,再分項(xiàng)積分,科學(xué)出版社,例53.,解:,問(wèn)題:,提示:,變形方法同本例,并利用例47的遞推公式 .,計(jì)算,原式,求,科學(xué)出版社,例54. 求,解法1:,注: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便 ,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求,簡(jiǎn)便的方法.,由于我們可以把x2看成一個(gè)變量,被積函數(shù)為,兩邊乘以 x4,再令x=0, 得D=1; 兩邊乘以x2+1,再令x2=-1,得F=1;,兩邊乘以x2, 再令x2=,得B =-F=-1,于是,科學(xué)出版社,解法2：,于是,設(shè),科學(xué)出版社,解法3：,于是,設(shè),科學(xué)出版社,例55.,計(jì)算,解：,科學(xué)出版社,七、三角函數(shù)有理式的積分,設(shè),表示三角函數(shù)有理式 ,令,萬(wàn)能代換,轉(zhuǎn)化為t 的有理函數(shù)的積分.,則,科學(xué)出版社,則,萬(wàn)能代換,令,科學(xué)出版社,例56.,解:,令,可得,計(jì)算,科學(xué)出版社,雖然三角函數(shù)有理式的不定積分都可以用萬(wàn)能代換,化成有理函數(shù)的不定積分，,函數(shù)的積分往往比較繁，,方便的方法來(lái)解.,例57.,計(jì)算,解：,但是得到的有理,在很多情況下可以用其他更,原式,科學(xué)出版社,例58.,計(jì)算,解：,原式,科學(xué)出版社